Aktienkurs

Zu Beginn soll die Sensitivität des Modells auf Änderungen im Aktienkurs S_t unter-sucht werden. Hierzu wird in Abbildung 6.1 die Wertentwicklung eines CoCo Bonds P_t^EM(S_t|T = 5) mit fünfjähriger Sperrfrist (roter Graph) und die eines kündbaren CoCo BondsP_t^EM(S_t|T = 0) (blauer Graph) gegenübergestellt.

Abbildung 6.1: Einuss des Aktienkurses auf den Wert des CoCo Bonds

Abbildung 6.1 zeigt den Einuss des Aktienkurses St auf den Wert eines CoCo Bonds innerhalb (roter Graph) und auÿerhalb (blauer Graph) der Kündigungssperrfrist im erweiterten Modell. Die horizontale graue Linie gibt den Wert einer riskanten KuponanleiheRt(T)mit Kuponcund Rest-laufzeitT an. Die gestrichelten vertikalen Linien markieren die Trigger SchwelleSund die optimale KündigungsschwelleS^∗. Die untere gestrichelte horizontale schwarze Linie kennzeichnet den Wert des CoCo Bonds bei Wandlung P und die obere gestrichelte horizontale schwarze Linie den Kün-digungspreis P. Der Wert des CoCo Bonds entspricht P bei Wandlung und P bei Kündigung.

Folgende Parameter unterliegen der Abbildung: S = 3, S = 12,76, P = 50,P = 100, N = 100, c= 6,T = 5, σ= 0,35,r= 0,02,q= 0,01,λ= 0,01undRt(T = 5) = 119,03.

Es zeigt sich, dass beide Graphen mit steigendem Aktienkurs ebenfalls steigen. Der Wert des kündbaren CoCo Bonds steigt bis zum Aktienkurs von S^∗ = 12,76 monoton. An dieser Stelle kündigt der Emittent den CoCo Bond zum Preis P = 100. Solange sich der Emittent rational verhält und optimal kündigt, kann der Wert eines kündbaren Co-Co Bonds nicht über den Kündigungspreis hinaussteigen. Im Falle eines Co-CoCo-Co Bonds innerhalb der Sperrfrist ist dies allerdings möglich, denn auch, wenn der Aktienkurs die Kündigungsschwelle überschreitet und es somit absehbar ist, dass der Emittent mit Ab-lauf der Sperrfrist kündigen wird, erhält der Investor noch bis zum AbAb-lauf der Sperrfrist die Kuponzahlungen. Auÿerdem ist der CoCo Bond in geringerem Maÿe der Gefahr einer Wandlung ausgesetzt, da sich der Aktienkurs von der Trigger Schwelle wegbewegt und somit die Wahrscheinlichkeit des Trigger Events sinkt. Der Wert des CoCo Bonds steigt folglich mit steigendem Aktienkurs über den Kündigungspreis hinaus und konvergiert für einen hinreichend hohen Aktienkurs gegen einen konstanten Wert, der in Abbildung 6.1 als horizontale graue Linie gekennzeichnet ist. In diesem Bereich ist die Trigger Schwelle so weit entfernt, dass der Werteinuss der Wandlung verschwindet und der CoCo Bond mit Kündigungssperrfrist den Charakter einer kreditrisikobehafteten Kuponanleihe annimmt.

Der Wert R_t(T) dieser Anleihe ist gegeben durch² R_t(T) = c

r+λ ·

1−e^{−(r+λ)·(T−t)}

+N ·e^{−(r+λ)·(T−t)}. (6.1) Im betrachteten Beispiel beläuft sich der Wert auf R_t(T = 5) = 119,03. Am unteren Ende des Denitionsbereichs, welches durch die Trigger Schwelle S = 3 gegeben ist, liegt der Wert beider CoCo Bonds mit und ohne Kündigungssperrfrist bei P = 50. Da der CoCo Bond unabhängig von einer etwaigen Kündigungssperrfrist unmittelbar gewandelt wird, sobald der Aktienkurs die Trigger Schwelle erreicht, ist diese Ergebnis konsistent mit den realen Vertragsbedingungen von CoCo Bonds, wonach unverzüglich bei Eintritt des Trigger Events gewandelt wird. Im Gegensatz hierzu stimmt im Modellrahmen von De Spiegeleer und Schoutens (2012) der Wert von CoCo Bonds mit unterschiedlichen Restlaufzeiten an dieser Stelle nicht überein. Dies ist auf die Konstruktion des Wand-lungsmechanismus zurückzuführen, da im Falle eines CoCo Bonds mit Aktienwandlung im Trigger Event der Knock-in Forward Kontrakt mit Fälligkeit zum Ende der Kündi-gungssperrfrist greift. Da der Besitzer eines Forwards keine Dividendenzahlungen erhält, besitzen zwei CoCo Bonds mit unterschiedlichen Restlaufzeiten aber sonst identischen Konditionen im Zeitpunkt des Trigger Events unterschiedliche Preise.

Auch der partielle Werteekt von Aktienkursänderungen stellt eine relevante Sensitivi-tätskennzahl des CoCo Bonds dar. Hierzu wird auf die aus der Optionsbewertung bekannte

2Die Herleitung der Bewertungsformel für die riskante Kuponanleihe in Gleichung (6.1) kann in An-hang C nachvollzogen werden.

Kennzahl Delta zurückgegrien, welche der ersten partiellen Ableitung der Bewertungs-funktion des CoCo Bonds nach dem Aktienkurs entspricht.³

Abbildung 6.2: Delta eines CoCo Bonds

Abbildung 6.2 zeigt die Kennzahl Delta des CoCo Bonds in Abhängigkeit des Aktienkurses S_t. Diese wird für einen CoCo Bond mit (roter Graph) und ohne (blauer Graph) Kündigungssperre im erweiterten Modell dargestellt. Die horizontale Linie markiert den Wert16,67, welcher der Anzahl an Aktien entspricht, die der Investor im Trigger Event erhält. Die gestrichelten vertikalen Linien markieren die Trigger Schwelle S und die optimale Kündigungsschwelle S^∗. Folgende Parameter unterliegen der Abbildung:S= 3,S^∗= 12,76,P= 50,P = 100,N = 100,c= 6,T = 5,σ= 0,35, r= 0,02, q= 0,01undλ= 0,01.

Abbildung 6.2 zeigt das Delta eines CoCo Bonds mit Aktienwandlung mit fünfjähriger Sperrfrist (roten Graph) und ohne Sperrfrist (blauer Graph). Die Graphen sind als Wer-tänderung des CoCo Bonds bei einer Änderung im Aktienkurs zu interpretieren und entsprechen somit der Steigung des jeweils korrespondierenden CoCo Bond Graphen in Abbildung 6.1. Es zeigt sich, dass der Wert beider betrachteten CoCo Bonds für Akti-enkurse knapp oberhalb der Trigger Schwelle extrem sensibel auf Änderungen im Ak-tienkurs reagiert, da hier über den Eintritt eines möglichen Trigger Events entschieden wird. Unmittelbar vor Wandlung konvergiert das Delta der CoCo Bonds gegen die An-zahl an Aktien, die der Investor im Trigger Event erhält. Im vorliegenden Beispiel sind das

3Da die partielle Ableitung im erweiterten Modell innerhalb der Kündigungssperrfrist nicht in ge-schlossener Form formuliert werden kann, werden die Ableitungen durch den zentralen Dierenzenquoti-enten numerisch approximiert (vgl. Brandimarte (2013), S. 470):

∂F(X)

∂X ≈F(X+ ∆X)−F(X−∆X)

2∆X .

n= ¹⁰⁰₆ = 16,67Aktien.⁴ Mit steigendem Aktienkurs nimmt das Delta ab, da die Wand-lungswahrscheinlichkeit reduziert wird und somit der Fremdkapitalcharakter des CoCo Bonds in den Vordergrund rückt. Hierbei fällt das Delta bei einer vorhandenen Kün-digungssperre langsamer, da jede weitere Entfernung des Aktienkurses von der Trigger Schwelle einen zusätzlichen Schutz der Kuponzahlungen während der Sperrfrist bedeutet.

Bei einem kündbaren CoCo Bond wird das Delta bei Erreichen der KündigungsschwelleS null, da der Emittent sofort kündigt und somit keine Abhängigkeit vom Aktienkurs mehr besteht, da der CoCo Bond nicht länger existiert.