Übungsblatt 4 zur Algorithmischen Algebraischen Geometrie

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Universität Konstanz Tom-Lukas Kriel Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Wintersemester 2015/2016

Übungsblatt 4 zur Algorithmischen Algebraischen Geometrie

Auf dem ganzen Blatt seiKein Körper,Cein algebraisch abgeschlossener Oberkörper undAⁿ:

=

Cⁿfürn

∈

_N₀.

Aufgabe 1. (5P)(Kreuzprodukt von irreduziblen Varietäten)

Beweise oder widerlege: Für jeden beliebigen KörperKund jeden beliebigen algebraisch abgeschlossenen OberkörperCgilt: SeienV

⊆

_A^mundW

⊆

_Aⁿirreduzible affine K-Varietäten. Dann istV

×

W

⊆

_A^m⁺ⁿebenfalls eine irreduzible affineK-Varietät.

Aufgabe 2. (5P)(Berechnungen zum Zariskiabschluss)

Berechne denR-Zariskiabschluss inC² der folgenden Mengen:

(a)

{(

n, 2ⁿ

) |

n

∈

_N

}

(b)

{(

n,n²

) |

n

∈

_N

}

(c) n

v

|

n

∈

_N, v

=

n,

( √

2

+

^√^◦^ı

2

)

ⁿ_,

k

v

k <

₅₀^o Aufgabe 3. (2P)(Affine Varietäten sind quasikompakt)

IstM eine Menge, so nennt man eine MengeU von Teilmengen vonM mitM

=

^S_U eine Überdeckung von M. Ist dabei M sogar ein topologischer Raum und besteht U nur aus offenen Teilmengen von M, so nennt manU eine offene Überdeckung von M.

Ein topologischer Raum heißtquasikompakt, wenn es für jede offene Überdeckung U eine endliche ÜberdeckungU⁰

⊆

_U vonM gibt („endliche Teilüberdeckung“). Zeige, dass jeder noethersche topologische Raum quasikompakt ist.

Aufgabe 4. (4P)(Was istV

(

I : J

)

?)

Überzeuge Dich davon, dass für alle Ideale I,J in einem kommutativen Ring Aauch I : J

= {

a

∈

A

| ∀

b

∈

J : ab

∈

I

}

wieder ein Ideal ist von Aist und zeige dann:

(a) SeienVundW K-Untervarietäten vonAⁿ. Dann istV

= (

V

∩

W

) ∪

V

\

W (b) Für Ideale I,J

⊆

K

[

X

]

giltV

(

I

)\

V

(

J

) ⊆

V

(

I : J

) ⊆

V

(

I

)

.

(c) Für IdealeI,J

⊆

K

[

X

]

giltV

(

I

) =

V

(

I

+

J

) ∪

V

(

I : J

)

.

Abgabe bis Mittwoch, den 18. November 2015, 11:44 Uhr in die Zettelkästen neben F411.