Deskriptive Statistik
In der beschreibenden Statistik werden Methoden behandelt, mit deren Hilfe man Daten übersichtlich darstellen und kennzeichnen kann. Die Urliste (=Daten in der Reihenfolge ihrer Erhebung) ist meist umfangreich und läßt kaum Aussagen über die Struktur der Population zu. Daher müssen die Werte geordnet und verdichtet werden.
Tabellen und graphische Darstellungen
Eine Form der Aufbereitung von umfangreichem Datenmaterial besteht darin, Untersuch- ungseinheiten mit gleichen oder ähnlichen Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammenzufassen und festzustellen, wieviele Einheiten auf jede Klasse entfallen. So entsteht eine Häufigkeitsverteilung, die tabellarisch und graphisch dargestellt werden kann.
Die Anzahl (ni, i=1,..,k, kn) der Beobachtungen in einer Klasse wird als absolute Häufigkeit (Besetzungszahl) in dieser Klasse bezeichnet. Nach Division durch die Gesamtzahl der Beobachtungen (n) erhält man die relative Häufigkeit (hi) einer Klasse.
Während bei nominalen Daten die Reihenfolge der Klassen keine Rolle spielt, muß bei allen höheren Messniveaus die Rangordnung der Klassen beachtet werden. Bei nominalen oder ordinalen Daten ergeben sich zumeist natürliche Klassengrenzen, doch bei größerem metrischen Datenmaterial ist es notwendig, eine Klasseneinteilung vorzunehmen.
Klasseneinteilung, Klassierung
Die Klasseneinteilung ist notwendig, um eine Überbewertung des Zufallseinflusses zu vermeiden und die Struktur (Verteilungstyp, Gesetzmäßigkeit) der Beobachtungsreihe besser erkennen zu können. Die Wahl einer geeigneten Klasseneinteilung ist stets willkürlich, aber es sollten einige Regeln beachtetet werden:
1. Die Klasseneinteilung muß alle Beobachtungswerte umfassen (also in der ersten Version auch extreme Werte).
2. Die Klassengrenzen sind so zu wählen, dass die Beobachtungswerte eindeutig den Klassen zugeordnet werden können, z.B. sollen die Klassenenden auf Werte, die messtechnisch nicht vorkommen, fallen (etwa eine Dezimale mehr als gemessen wird) oder man verwendet halboffene Klassen (z.B. von 32 bis unter 40). Man wähle gleiche Klassenbreiten.
3. Die Klassenmitte repräsentiert die übrigen Messwerte der Klasse.
4. Je kleiner die Klassenanzahl umso größer die Klassenbreite und umso größer ist der Informationsverlust. Je größer die Klassenanzahl, umso mehr kommt die nichtinteressie- rende Wirkung von Zufallseinflüssen zur Geltung. Die Erfahrung führt zu folgenden Faustregeln:
k n, k 5log n (k: Klassenanzahl, n: Anzahl der Beobachtungswerte)
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Die gebräuchlichsten graphischen Darstellungsformen sind:
Stab-, Balkendiagramm (bar chart)
Kreisdiagramm (pie chart)
Histogramm
Häufigkeitspolygon
Stamm- und Blatt Darstellung (stem and leaf plot)
Beim Stabdiagramm ist die Höhe der Stäbe proportional zu den Besetzungszahlen bzw. rel.
Häufigkeiten in den einzelnen Klassen. Breite und Abstand spielen keine Rolle. Es eignet sich für qualitative, ordinale und quantitativ diskrete Merkmale (z.B. Blutgruppe, Schulnoten, Anzahl kariöser Zähne bei Volksschulkindern)
Das Kreisdiagramm (als spezielles Flächendiagramm) wird in Segmente proportional zu den beobachteten Anzahlen (rel. Häufigkeiten) zerlegt.
Histogramme müssen flächentreu sein - d.h. die Fläche (und nicht die Höhe) muss proportional der Häufigkeit ni bzw.hi sein. Daher kann nur bei konstanter Klassenbreite (x) ni bzw. hi als Ordinate der Rechtecke verwendet werden.
Die Polygondarstellung verwendet man meist, wenn mehrere Häufigkeitsverteilungen verschiedener Gruppen in einem gemeinsamen Diagramm verglichen werden sollen.
Stamm- und Blatt- Darstellung:
Das Histogramm stellt die Häufigkeit für alle Werte innerhalb einer bestimmten Klasse dar.
Demzufolge kann man die Häufigkeit eines Einzelwertes dieser Klasse nicht mehr erkennen.
Eine graphische Repräsentation der Häufigkeitsverteilung ohne diesen Informationsverlust ist die Stamm- und Blatt-Darstellung (stem and leaf plot). Im Stamm werden jene Ziffern, welche die Klasseneinteilung repräsentieren, eingetragen und im Blatt erfolgt die Eintragung der Ziffern der nächsten Stelle der Größe nach.
Kenngrößen
Kenngrößen dienen dazu, die Datenmenge zu einigen wenigen Zahlen zu komprimieren, welche bestimmte Eigenschaften der Daten möglichst gut beschreiben.
Wir wollen
die mittlere Tendenz der Daten
die Streuung der Daten um die mittlere Tendenz charakterisieren.
Maßzahlen der Lage
Lagemaßzahlen beschreiben zentrale Eigenschaften einer Verteilung. Sie charakterisieren das Zentrum der Häufigkeitsverteilung, also den Wert (Ort) mit der größten Häufigkeit bzw.
Wahrscheinlichkeit des Auftretens. Darüber hinaus werden durch Lagemaßzahlen Positionsmerkmale (Ordnungsstatistiken) einer der Größe nach geordneten Datenmenge wiedergegeben (z.B. die Position in der Zahlenreihe, bis zu welcher 90 % der
Beobachtungswerte auftreten). Die Statistik braucht eine Reihe verschieden definierter Lagemaßzahlen, um der Vielfalt der Verteilungen statistischer Datenmengen gerecht zu werden.
Arithmetisches Mittel (mean)
Gegeben sei eine Stichprobe x1,x2 ,...,xn vom Umfang n. Das arithmetische Mittel ist definiert als
n
i
xi
x n
1
1
Nachteile des arithmetischen Mittels:
Es gibt extremen Werten zu viel Gewicht, und ist daher nur verwendbar, wenn man es mit eingipfeligen nicht allzu schiefen Verteilungen zu tun hat.
Die errechnete Durchschnittszahl hat im Falle diskreter Merkmale keine Entsprechung in der Wirklichkeit. (Beispiel: Die durchschnittliche Zahl der Verletzten auf der Autobahn an einem Urlaubswochenende beträgt 103,25 Personen).
Median (median)
Der Median oder Zentralwert ist die mittlere Beobachtung der Daten xi, i=1,2,...,n, die der Größe nach sortiert wurden x1 x2 x3 ...xn .Er hat die Eigenschaft, dass mindestens 50% der Meßwerte kleiner oder gleich dem Median x~
sind.
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Für ungerades n ~ 1/2
x n
x
Für gerades n
/2 /21
2
~ 1
xn xn x
Vorteile des Medians:
Der Median ist unempfindlich gegenüber extremen Werten.
Er eignet sich als Lokationsmaß für schiefe Verteilungen und ordinal skalierte Daten.
-Quantil
Der Median ist lediglich ein Spezialfall aus einer Familie von Kenngrößen, die auf der Rangordnung der Daten beruhen - die Quantile. Ein -Quantil x ist derart definiert, dass mindestens % der Meßwerte kleiner oder gleich diesem Wert x sind. Die Berechnung erfolgt über
x = x k , falls n keine ganze Zahl ist (k=int(n)+1) x =
1
2 1
k
k x
x , falls n eine ganze Zahl ist (k=n)
Spezielle -Quantile: 1.Quartil ( = 0.25), 2.Quartil oder Median, 3.Quartil ( = 0.75),
Perzentile (Fraktile)
Modalwert (mode)
Bei nominalskalierten Merkmalen ist der Modalwert xmod der einzige anzuwendende
Kennwert. Er ist definiert als der Wert, der am häufigsten in der Meßwertreihe vorkommt. Bei quantitativen Merkmalswerten wird der Modalwert durch die Klassenmitte der am dichtesten besetzten Klasse repräsentiert. Er eignet sich für schiefe Häufigkeitsverteilungen oder zur Charakterisierung von mehrgipfeligen Verteilungen (bimodal, multimodal).
Beispiele einiger Maßzahlen der Lage und der Streuung
(SPSS-Output entstanden durch Analysieren – Deskriptive Statistiken – ExplorativeDatenanalyse... )
Univariate Statistiken
399,5385 10,9102 375,7671
423,3099 399,4872 403,0000 1547,436 39,3375 325,00 475,00 150,00 50,0000
,043 ,616
,291 1,191 326,3333 6,6981 312,4772
340,1894 325,8519 322,5000 1076,754 32,8139 268,00 395,00 127,00 36,7500
,214 ,472
-,305 ,918
Mittelwert
Untergrenze Obergrenze 95% Konfidenzintervall
des Mittelwerts
5% getrimmtes Mittel Median
Varianz
Standardabweichung Minimum
Maximum Spannweite Interquartilbereich Schiefe
Kurtosis Mittelwert
Untergrenze Obergrenze 95% Konfidenzintervall
des Mittelwerts
5% getrimmtes Mittel Median
Varianz
Standardabweichung Minimum
Maximum Spannweite Interquartilbereich Schiefe
Kurtosis GRUPPE
Kontroll- Gruppe
Therapie - Gruppe ZUNAHME
Statistik
Standardf ehler
Zulässige Lagemaße bei den verschiedenen Skalenniveaus:
Skalenniveau zulässige Lage-Kenngrößen Nominalskala Modalwert
Ordinalskala Modalwert, Median Metrische Skalen Modalwert, Median, Mittelwert
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Maßzahlen der Streuung
Durch Mittelwerte allein läßt sich eine Datenmenge nicht ausreichend charakterisieren, da sie keine Auskunft geben, wie die einzelnen Werte sich um den Mittelwert verteilen. Wie bei den Lagemaßen sind in der Statistik auch verschiedene Streuungsmaße üblich, um die
unterschiedlichen Skalen und Verteilungen von Daten ausreichend gut beschreiben zu können.
Spannweite (range)
Das einfachste Maß für die Streuung ist die Spannweite, die Differenz aus dem größten und kleinsten Meßwert. Sie ist für kleine Proben brauchbar, wird aber durch extreme Werte sehr stark beeinflußt.
R = Maximum - Minimum xn x1
Varianz (variance) und Streuung (standard deviation)
Die Varianz s2 gibt die durchschnittliche, quadrierte Abweichung der Meßwerte vom arithmetischen Mittel wieder.
n
i
i x
n x s
1 2 2
1 1
Die Standardabweichung: s s2
Die Standardabweichung eignet sich wesentlich besser zur Einschätzung der Variabilität eines Merkmals als s2, da sie die gleiche Dimension wie die Beobachtungen hat.
Auch diese Maße werden durch Ausreißer beeinflußt.
Interquartilsabstand (interquartile range)
Eine weitere Kennzahl zur Beschreibung der Variabilität um den zentralen Wert ist der
Interquartilsabstand IQR. Er ist die Differenz zwischen dem 75%-Quantil (3.Quartil) und dem 25%-Quantil (1.Quartil). In diesem Bereich des IQR liegen somit 50% der Meßwerte.
25 , 0 75 ,
0 x
x IQR
Der IQR ist gegenüber extremen Werten unempfindlich.
Eine graphische Darstellung für den Median, die Spannweite und den Interquartilsabstand (5- Zahlen-Zusammenfassung) ist der Box-and-Whiskers Plot. Ausgehend von dieser
Konstruktion gibt es zahlreiche Modifikationen.
In SPSS ist folgender Boxplot realisiert. Die untere Grenze der Box stellt das 25% Quantil, die obere das 75% Quantil dar. Die Linien (whiskers) reichen bis zu den Werten, die
innerhalb x0.25 - 1.5 IQR (bzw. x0.75 + 1.5 IQR) liegen. Gibt es Werte außerhalb dieser Grenze,
so werden sie bis x0.25 - 3 IQR (bzw. x0.75 + 3 IQR) durch O (outliers) gekennzeichnet. Werte, die diese Grenzen übersteigen, gelten als „weit außerhalb“ und werden mit * (extremes) bezeichnet.
* x > x0.75 + 3 IQR O x > x0.75 + 1.5 IQR
x x0.75 + 1.5 IQR oder xmax
x0.75
x0.5
x0.25
x x0.25 - 1.5 IQR oder xmin
O x < x0.25 - 1.5 IQR
* x < x0.25 - 3 IQR
Schematische Darstellung eines Boxplots
Der Boxplot eignet sich besonders gut für den visuellen Vergleich mehrerer Meßwertreihen.
51 170
100 152 49
104 N =
Altersgruppen
13-16 Jahre 9-12 Jahre
5-8 Jahre
Einsekundenkapazität in l
6
5
4
3
2
1
0
Geschlecht
weiblich männlich
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Variationskoeffizient:
Ob die Streuung von Meßwerten als stark oder gering anzusehen ist, erweist sich oft erst, wenn man die Streuung im Verhältnis zum Mittelwert betrachtet. Der Quotient
Vk s
x
wird als Variationskoeffizient bezeichnet. Er wird häufig in Prozent angegeben. In der Praxis interpretiert man Vk bis zu 10% als geringe Variabilität, zwischen 10% und 25% als normal und über 25% als starke Streuung des Beobachtungsmaterials. Er ist gegen Ausreißer anfällig.
Er wird zum Vergleich von Streuungen verschiedener Meßreihen verwendet (ist unabhängig von der gewählten Einheit).
Skalenniveau zulässige Streuungskenngrößen Nominalskala Keine
Ordinalskala Spannweite, Quartilsabstand Metrische Skalen Spannweite, Quartilsabstand,
Standardabweichung, Variationskoeffizient
Zur deskriptiven Statistik existieren auch mehrere Web Applikationen, die eine anschauliche Darstellung der Methodik zeigen:
Verwendung von SPSS in der Deskriptiven Analyse
Metrisches Merkmal:
Häufigkeiten:
Mit dem Befehl Häufigkeiten... erfahren wir, wie oft eine Ausprägung eines zu
untersuchenden Merkmals vorkommt. Zusätzlich können wir im Untermenü Statistik...
zulässige Kenngrößen für dieses Merkmal auswählen und im Untermenü Diagramme... ein Histogramm auswählen.
Deskriptive Statistik: (nur bei metrischen Merkmalen anwenden!) Mit dem Befehl Deskriptive Statistiken... aus dem Menü Analysieren –
DeskriptiveStatistiken kann man selbst auswählen, welche Kennzahlen für eine Variable ausgegeben werden sollen. Im Untermenü Optionen... steht zur Auswahl: Mittelwert, Summe;
als Lagemaße der Streuung die Std.-Abweichung, Varianz, Spannweite, Minimum, Maximum sowie Std.-Fehler und als Maßzahlen zur Beschreibung der Verteilungsform die Kurtosis und Schiefe.
Explorative Datenanalyse:
Für eine deskriptive Datenanalyse eines metrischen Merkmals hält SPSS den Befehl
Explorative Datenanalyse... im Menü Analysieren – Deskriptive Statistiken bereit. Es werden bestimmte statistische Kennzahlen ausgegeben (siehe Beispiel Seite 5). Hier besteht
außerdem die Möglichkeit die deskriptive Statistik nach einem Faktor gruppiert auszugeben.
Im Beispiel auf Seite 5 wurde die Ausgabe aufgeteilt nach dem Faktor „Gruppe“, der 2 Faktorstufen aufweist: Kontroll-Gruppe / Therapie-Gruppe.
Grafiken:
Zum Boxplot und Histogramm gelangt man über das Menü Grafiken. Ein anderer Weg führt im Zuge der Erstellung einer deskriptiven Analyse im Menü ExplorativeDatenanalyse zum Untermenü Diagramme.... Hier besteht auch die Möglichkeit sich neben einem Boxplot und Histogramm ein Stengel-Blatt-Diagramm ausgeben zu lassen.
Ordinales Merkmal:
Häufigkeiten:
Mit dem Befehl Häufigkeiten... erfahren wir, wie oft eine Ausprägung eines zu
untersuchenden Merkmals vorkommt. Zusätzlich können wir im Untermenü Statistik...
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zulässige Kenngrößen für dieses Merkmal auswählen und im Untermenü Diagramme... ein Balken- oder ein Kreisdiagramm auswählen.
Explorative Datenanalyse:
Für ordinale Merkmale steht uns ebenfalls die Explorative Datenanalyse... zur Verfügung, wo wir Median und Quartilsabstand bestimmen können.
Grafiken:
Neben der oben beschriebenen Möglichkeit über den Befehl Häufigkeiten lassen sich Boxplot, Balkendiagramm und Kreisdiagramm auch über das Menü Grafiken erstellen.
Nominales Merkmal Häufigkeiten:
Mit dem Befehl Häufigkeiten... erfahren wir die absoluten und relativen Häufigkeiten der einzelnen Ausprägungen des nominalen Merkmals und falls gewünscht ein Balken- oder Kreisdiagramm.
Kreuztabellen
Wollen wir 2 nominale Merkmale (oder auch ordinale Merkmale mit wenigen Ausprägungen) zueinander in Beziehung setzen, so steht der Befehl Kreuztabellen zur Verfügung. Ein
Merkmal ergibt die Spalten der Kreuztabelle, das 2. Merkmal die Zeilen. Man kann auch Prozentwerte für die Zellen anfordern.
Grafiken:
Neben der oben beschriebenen Möglichkeit über den Befehl Häufigkeiten lassen sich Balken- und Kreisdiagramm auch über das Menü Grafiken erstellen.
Kennzahlen zur Beschreibung der Verteilungsform
Im folgenden werden Kennzahlen eingeführt, die als Maß für die Schiefe und die Wölbung einer eingipfeligen Verteilung herangezogen werden können.
Mit Hilfe der verschiedenen Lagemaße lassen sich bereits Aussagen über die Schiefe einer eingipfeligen Verteilung treffen:
Verteilungsform Bedingung rechtsschief (linkssteil) x ~x xmod
linksschief (rechtssteil) x~x xmod symmetrisch x ~x xmod
Schiefe (Skewness)
Mit Hilfe des Schiefemasses g1 ist man nun in der Lage, durch einen einzigen Kennwert Auskunft über die Schiefe und deren Richtung zu erhalten.
31
2 1
3
1
1 1
i i i
i
x n x
x n x
g
Ist g1 0, so kann man davon ausgehen, dass die Meßwerte symmetrisch um x verteilt liegen. Bei linksschiefen Verteilungsformen wird g1 negativ, bei rechtschiefen positiv.
Exzeß und Wölbung (Kurtosis)
3 1
1
2
1
2 1
4
2
i i i
i
x n x
x n x
g
Der Exzeß gibt an, ob, bei gleicher Varianz, das absolute Maximum der Verteilung größer als bei der Dichte der Normalverteilung ist. Der theoretische Wert von g2 für normalverteilte Merkmalswerte ist 0. Ist g2 > 0 (g2 < 0), so liegen im Zentrum der Verteilung mehr (weniger) Merkmalswerte als bei der Normalverteilung.
