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f¨urMathematik Prof.Dr.B.Hofmann5.Januar2017 HereMathematikI(frMB)¨oh¨u ¨ U13.bung:AbleitungI 13.1AufwelchenIntervallensinddieFunktionendefiniert,wosindsie differenzierbar,undwielautetihreAbleitung? lnx13x f(x)=xa,a>0,f(x)=,f(x)=,1232x1−x 2xxe2 f(x)=,f(x)=sinx,f(x)=cos(cosx),456 lnx x+121/32/3 f(x)=(tanx),f(x)=x(1−x),f(x)=arcsin,789 x−1 2 f(x)=|2x−1|,f(x)=x|x|,f(x)=ln|tanx|101112 13.2FindenSiedieGleichungderTangenteandiedurch r 2x−3 f(x)=8 23x+4 bestimmteKurvey=f(x)imPunktP(2,f(2))derx-y-Ebene. 13.3UnterwelchemWinkelschneidensichdieGraphender Funktionenf(x)=sinxundg(x)=cosx¨uberdemIntervall[0,π]? 13.4BerechnenSiemittelslogarithmischerDifferentiationdieAbleitungvon 1πsinxxg(x)=x,x>0,g(x)=(cotx),0<x<12 2 13.5BestimmenSiedien-teAbleitung(n∈N). 1xf(x)=3,f(x)=lnx,f(x)=(a∈R)123 1+ax ′13.6ErmittelnSie(arccosx)ausderFormelf¨urdieAbleitungder ′UmkehrfunktionunterBeachtungvon(cosx)=−sinxund 22cosx+sinx=1. AufgabenundL¨osungenimWeb:www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
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f¨urMathematik Prof.Dr.B.Hofmann5.Januar2017 HereMathematikI(frMB)¨oh¨u ¨ U14.bung:AbleitungII 14.1BerechnenSiedieGrenzwerte. lim x→1
3√ x−1 √ x−1,lim x→πtanx sin2x,lim x→π 4
sinx−cosx cos2x,lim x→∞2+3ex 5+7x 14.2BerechnenSiedieGrenzwerte. lim x→+0xlnx,lim x→∞xln x−1 x+1 ,lim x→+0(cotx)sinx 14.3FindenSiedengr¨oßtenunddenkleinstenWertderFunktion f(x)=3−x2−1 xaufdemIntervall[0.5,1]. 14.4UntersuchenSiedieFunktion f(x)=x−2 x+4,x6=−4 aufMonotonieundaufExistenzeinerUmkehrfunktionf−1. GebenSieDefinitions-undWertebereichvonf−1an. 14.5UntersuchenSiedieFunktion f(x)=x3ex,x∈R aufMonotonieundKonvexit¨at. BestimmenSiedieExtremstellenundWendepunktevonf. 14.6AuseinemzylindrischenBaumstamm(RadiusR)solleinBalkenmit Rechteckquerschnitt(Breiteb,H¨oheh)soherausgeschnittenwerden, dassdasWiderstandsmomentW=1 6bh2maximalist. WieistdasVerh¨altnish/bzuw¨ahlen? 14.7ViergleicheSt¨abederL¨angel=2[m]sollendasGer¨ust
f¨ureinZeltin FormeinerquadratischenPyramidebilden. BestimmenSiedessenVolumeninAbh¨angigkeitvondemWinkelα zwischeneinerDiagonalenderquadratischenGrundfl¨acheundeinem anliegendenStab(Kante). WelchenmaximalenWertkanndasVolumenannehmen? AufgabenundL¨osungenimWeb:www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
