Grundlagen der Kinetik
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Geschwindigkeit ist definiert als der pro Zeiteinheit zurückgelegte Weg eines Körpers
t v= s
bzw.
t v s
∆
= ∆ .
Die Beschleunigung ist definiert als die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit:
t a= v
bzw.
t a v
∆
= ∆ .
Geradlinig gleichförmige Bewegung
Für geradlinige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit gelten allgemein die Gleichungen:
a(t)=0,
v(t)=v0 =const., s(t)=v0⋅t+s0.
Dabei ist v die (Anfangs-) Geschwindigkeit, 0 s ist der (Anfangs-) Ort zum Zeitpunkt 0 t=0.
Gleichmäßig beschleunigte (geradlinige) Bewegung
Für geradlinige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung a gelten allgemein die 0 Gleichungen:
a(t)=a0 =const., v(t)=a0⋅t+v0,
a0 t2 v0 t s0
2 ) 1 t (
s = ⋅ ⋅ + ⋅ +
Diese Gleichungen müssen je nach Problem miteinander kombiniert werden.
Beispiel: Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand heraus über eine Strecke von 100m auf die Geschwindigkeit 100km/h. Wie groß ist die (konstant angenommene) Beschleunigung?
Das Problem wird beschrieben durch die beiden Gleichungen t
a v= 0⋅ ,
2 0 t 2 a s= 1⋅ ⋅
formal haben wir dabei zwei Unbekannte, nämlich die eigentlich interessierende Beschleuni- gung a , aber auch die Zeit t, nach der der Weg s zurückgelegt wurde. Da die Zeit t hier 0 nicht interessiert, wird sie eliminiert:
t a
v= 0⋅ → a0
t = v
0 2 2
0 0 2
0 2 a
v a
a v 2 t 1 2 a s 1
= ⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
0 2
a 2 s v
= ⋅ →
s 2 a v
2
0 = ⋅ bzw. 2
2
0 3,858m/s
m 100 2
) s / 6m , 3 (100
a =
= ⋅ .
Vertikale Bewegung im Schwerefeld
Speziell haben wir hier g a0 =− ,
wenn der Weg von unten nach oben gezählt wird. Es ist also a(t)=−g=const.,
v(t)=−g⋅t+v0,
g t2 v0 t s0
2 ) 1 t (
s =− ⋅ ⋅ + ⋅ + .
Die Konstanten v und 0 s werden dem jeweiligen konkreten Problem entsprechend aus den 0 sogenannten Anfangsbedingungen ermittelt.
Freier Fall
Beim freien Fall ist zum Zeitpunkt t=0: v0 =0 und s0 =h. Damit haben wir die Gleichungen:
v(t)=−g⋅t,
g t h
2 ) 1 t (
s =− ⋅ ⋅ 2+ .
Der fallende Körper kommt am Boden an, wenn
h t 2 g 0 1 ) t t (
s = Fall = =− ⋅ ⋅ 2Fall+
Auflösen nach der Fallzeit tFall liefert
g h tFall = 2⋅ .
Die Auftreffgeschwindigkeit erhält man einfach, indem man diese Fallzeit in die Geschwindigkeitsgleichung einsetzt:
2 g h
g h g 2 t
g ) t (
v Fall =− ⋅ Fall =− ⋅ ⋅ =− ⋅ ⋅ .
s
h t=0
g
Vertikaler Wurf nach oben
Zum Zeitpunkt t=0 ist beim vertikalen Wurf nach oben ist v0 >0 (Anfangsgeschwindigkeit) und s0 =0 (Start am Boden). Damit haben wir die Gleichungen:
v(t)=−g⋅t+v0,
g t v t
2 ) 1 t (
s =− ⋅ ⋅ 2+ 0⋅ .
Wenn der nach oben geworfene Körper den höchsten Punkt erreicht, ist seine Geschwindigkeit 0; daraus errechnet sich zunächst die Steigzeit tSteig:
0 v t g ) t t (
v = Steig =− ⋅ Steig + 0 =
und damit
g tSteig = v0 .
Einsetzen der Steigzeit in die Gleichung für den Weg liefert die Steighöhe h:
g 2
v g v g v 2 1 g v v g g v 2 ) 1 t t ( s h
2 0 2 0 2 0 0
0 2 0 Steig
= ⋅ +
⋅
−
=
⋅
+
⋅
⋅
−
=
=
= ,
also
g 2 h v
2 0
= ⋅ .
Aus der Bedingung
0 t v t 2 g ) 1 t t (
s = ges =− ⋅ ⋅ 2ges+ 0⋅ ges =
erhält man nach Division durch tges die gesamte Flugzeit tges bis zum Wiederauftreffen auf dem Boden:
0 v t 2 g 1
0
ges+ =
⋅
⋅
− und daraus
s h
t=0 g v0
ges 0 2 tSteig g
2 v
t = ⋅ = ⋅ .
Die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf dem Boden erhält man durch Einsetzen von tges in die Geschwindigkeitsgleichung:
0 0 0
ges v v
g 2 v g ) t (
v =− ⋅ ⋅ + =− .
Der Körper trifft also mit der (betragsmäßig) gleichen Geschwindigkeit auf, mit der er abgeworfen wurde.
Horizontaler Wurf
y
h v0
x xw
t=0
Beim horizontalen Wurf überlagern sich zwei Bewegungsformen:
x-Richtung: geradlinig gleichförmige Bewegung mit Geschwindigkeit v . 0
vx(t)=v0,
x(t)=v0⋅t.
y-Richtung: freier Fall aus Höhe h
vy(t)=−g⋅t,
g t h
2 ) 1 t (
y =− ⋅ ⋅ 2+ .
Die Fallzeit tFall ist damit genauso groß wie beim freien Fall aus der Höhe h:
g h tFall = 2⋅ .
Die Wurfweite x ist der in der Fallzeit zurückgelegte Weg in x-Richtung: w
g h v 2
t v ) t t ( x
xw = = Fall = 0⋅ Fall = 0⋅ ⋅
g h v 2
xw = 0⋅ ⋅
Die Auftreffgeschwindigkeit setzt sich nun aus einem horizontalen Beitrag vx =v0 und einem vertikalen Beitrag vy = 2⋅g⋅h (freier Fall) zusammen. Diese Beiträge werden vektoriell addiert (hier einfach nach dem Satz des Pythagoras):
2 2
0 2
y 2
x v v ( 2 g h)
v
v= + = + ⋅ ⋅
v= v20+2⋅g⋅h
Die Gleichung der Bahnkurve (Wurfparabel) erhält man durch Elimination der Zeit aus den Gleichungen x(t) und y(t):
t v ) t (
x = 0⋅ → v0
t= x
v h g x 2 h 1 t 2 g y 1
2
0
2 +
⋅
⋅
−
= +
⋅
⋅
−
=
x h
v 2 ) g x (
y 2 2
0
+
⋅ ⋅
−
=
Schiefer Wurf
y h
t=0 v0
x xw
α
Der Wurf erfolgt mit der Anfangsgeschwindigkeit v in einem Winkel 0 α gegen die
Horizontale. Diese Anfangsgeschwindigkeit kann man sich zerlegt denken in eine horizontale Komponente v0x und in eine vertikale Komponente v : 0y
v0x =v0⋅cosα und v0y =v0⋅sinα
Dann überlagern sich beim schiefen Wurf zwei Bewegungsformen ähnlich wie beim horizontalen Wurf:
x-Richtung: geradlinig gleichförmige Bewegung mit Geschwindigkeitv . 0 vx(t)=v0x =v0⋅cosα,
x(t)=v0x⋅t=v0⋅cosα⋅t.
y-Richtung: vertikaler Wurf nach oben vy(t)=−g⋅t+v0y =−g⋅t+v0⋅sinα,
g t v sin t
2 t 1 v t 2 g ) 1 t (
y =− ⋅ ⋅ 2+ 0y⋅ =− ⋅ ⋅ 2+ 0⋅ α⋅ .
Die Steigzeit tSteig ist identisch mit der Steigzeit beim vertikalen Wurf nach oben, wobei hier nur v durch 0 v0y =v0⋅sinα zu ersetzen ist:
g sin v g
tSteig = v0y = 0⋅ α.
Entsprechendes gilt für die Steighöhe
g 2
sin v g 2 h v
2 2 0 2
y 0
⋅ α
= ⋅
= ⋅ .
und für die gesamte Flugzeit tges bis zum Wiederauftreffen auf dem Boden:
ges 0y 0 2 tSteig
g sin 2 v
g 2 v
t = ⋅ = ⋅ ⋅ α = ⋅ .
Die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf dem Boden ist betragsgleich der Anfangsgeschwindigkeit v . 0
Die Gleichung der Bahnkurve (Wurfparabel) erhält man wie beim horizontalen Wurf durch Elimination der Zeit aus den Gleichungen x(t) und y(t):
t v ) t (
x = 0x⋅ →
x
v0
t= x
x 0 y 0 2
x 0 y
0 2
v v x v
g x 2 t 1 v t 2 g
y 1 + ⋅
⋅
⋅
−
=
⋅ +
⋅
⋅
−
=
α
⋅ ⋅ α
⋅
+
α
⋅ ⋅
⋅
−
= v cos
sin x cos v
v g x 2 y 1
0 0
2
0
x tan x
cos v 2 ) g x (
y 2 2 2
0
⋅ α + α⋅
⋅
− ⋅
=
