Formale Sprachen und Komplexit¨ at
Sommersemester 2019
Zentral¨ ubung 09.05.2019: DFAs & NFAs
Prof. Dr. David Sabel
LFE Theoretische Informatik
DFA NFA
Zustandsmenge Z Z
Alphabet Σ Σ
Zustands¨ ubergang δ :: (Z × Σ) → Z δ : (Z × Σ) → P(Z)
Startzust. z 0 ∈ Z S ⊆ Z
Endzust¨ ande E ⊆ Z E ⊆ Z
Ubergang f. Worte ¨ b δ : (Z × Σ ∗ ) → Z b δ : (P(Z) × Σ ∗ ) → P (Z ) w ∈ L(M) b δ(z 0 , w) ∈ E b δ(S, w) ∩ E 6= ∅
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 2/17
Uhrzeiten erkennen
Aufgabe
Geben Sie einen NFA an, der genau alle g¨ ulten Uhrzeiten im
24-Stunden-Format der Form Stunde:Minute mit Stunde ∈ {0, . . . , 23}
und Minute ∈ {00, 01, . . . , 59} (zweistellig) erkennt.
Beachte: Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, :}
z 0 z 1
z 2
z 3
z 4 z 5 z 6
0,. . . ,9 0,. . . ,9 1
2 0,1,2,3
: 0,. . . ,5 0,. . . ,9
Aufgabe
Geben Sie einen NFA an, der genau alle g¨ ulten Uhrzeiten im
24-Stunden-Format der Form Stunde:Minute mit Stunde ∈ {0, . . . , 23}
und Minute ∈ {00, 01, . . . , 59} (zweistellig) erkennt.
Beachte: Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, :}
z 0 z 1
z 2
z 3
z 4 z 5 z 6
0,. . . ,9 0,. . . ,9 1
2 0,1,2,3
: 0,. . . ,5 0,. . . ,9
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 3/17
Uhrzeiten erkennen
Aufgabe
Geben Sie einen DFA an, der genau alle g¨ ulten Uhrzeiten im
24-Stunden-Format der Form Stunde:Minute mit Stunde ∈ {0, . . . , 23}
und Minute ∈ {00, 01, . . . , 59} (zweistellig) erkennt.
z 0 z 1
z 2
z 3
z 4 z 5 z 6
0,3,. . . ,9 0,. . . ,9 1
2 0,1,2,3
: 0,. . . ,5 0,. . . ,9
:
:
z 7
4,. . . ,9
:,6,. . . ,9 :
:,0,. .. ,9 0,. . . ,9
:,0,. . . ,9
:
Aufgabe
Geben Sie einen DFA an, der genau alle g¨ ulten Uhrzeiten im
24-Stunden-Format der Form Stunde:Minute mit Stunde ∈ {0, . . . , 23}
und Minute ∈ {00, 01, . . . , 59} (zweistellig) erkennt.
z 0 z 1
z 2
z 3
z 4 z 5 z 6
0,3,. . . ,9 0,. . . ,9 1
2 0,1,2,3
: 0,. . . ,5 0,. . . ,9
:
:
z 7
4,. . . ,9
:,6,.
. . ,9 :
:,0,.
.. ,9 0,. . . ,9
:,0,. . . ,9 :
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 4/17
NFAs konstruieren – Nichtdeterminismus ausnutzen
Aufgabe (vgl. Hopcroft,Motwani,Ullman)
Geben Sie einen NFA an, der Ziffernfolgen aus Σ = {0, . . . , 9} verarbeitet und Worte genau dann akzeptiert, wenn
a) die letzte Ziffer vorher schon mindestens einmal in der Folge vorkam b) die letzte Ziffer vorher nicht schon einmal vorkam
Nutzen Sie den Nichtdeterminismus m¨ oglichst gut aus.
a) die letzte Ziffer vorher schon mindestens einmal in der Folge vorkam
z
sz
e0,. . . ,9
z
1z
2z
3z
4z
5z
6z
7z
8z
90,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 6/17
a) die letzte Ziffer vorher schon mindestens einmal in der Folge vorkam
z
sz
e0,. . . ,9
z
0z
1z
2z
3z
4z
5z
6z
7z
8z
90,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0,. . . ,9 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b) die letzte Ziffer vorher nicht schon einmal vorkam
z
ez
1z
2z
3z
4z
5z
6z
7z
8z
90,2,. . . ,9 0,1,3,. . . ,9 0,. . . ,2,4,. . . ,9 0,. . . ,3,5,. . . ,9 0,. . . ,4,6,. . . ,9 0,. . . ,5,7,. . . ,9 0,. . . ,6,8,. . . ,9 0,. . . ,7,9 0,. . . ,8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 7/17
b) die letzte Ziffer vorher nicht schon einmal vorkam
z
ez
0z
1z
2z
3z
4z
5z
6z
7z
8z
91,. . . ,9 0,2,. . . ,9 0,1,3,. . . ,9 0,. . . ,2,4,. . . ,9 0,. . . ,3,5,. . . ,9 0,. . . ,4,6,. . . ,9 0,. . . ,5,7,. . . ,9 0,. . . ,6,8,. . . ,9 0,. . . ,7,9 0,. . . ,8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Aquivalenz der Formalismen: ¨
Regul¨ are Grammatiken
DFAs NFAs
Konstruktion DF A in reg.
Grammatik
Konstruktion reg.
Grammatik
in NF A
Potenmengenkonstruktion
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 8/17
Nochmal: Beweisstruktur
Seien
D = Menge der durch DFAs akzeptierten Sprachen N = Menge der durch NFAs akzeptierten Sprachen R = Menge der regul¨ aren Sprachen
Wir haben gezeigt D ⊆ R R ⊆ N N ⊆ D
Daraus folgt: D = R = N
Ein Spiel
Spielfeld:
1 2 3
Aktionen:
l und r: Wechseln um ein Feld nach links bzw. rechts.
l bei Feld 1 und r bei Feld 3 bleiben wirkungslos.
Geben Sie einen DFA ¨ uber dem Alphabet Σ = {l, r} an, der alle Folgen von Spielz¨ ugen akzeptiert, sodass der Spieler auf Feld 1 beginnt und auf Feld 3 das Spiel beendet.
z 1 z 2 z 3
l r
r r
l l
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 10/17
Ein Spiel
Spielfeld:
1 2 3
Aktionen:
l und r: Wechseln um ein Feld nach links bzw. rechts.
l bei Feld 1 und r bei Feld 3 bleiben wirkungslos.
Aufgabe
Geben Sie einen DFA ¨ uber dem Alphabet Σ = {l, r} an, der alle Folgen von Spielz¨ ugen akzeptiert, sodass der Spieler auf Feld 1 beginnt und auf Feld 3 das Spiel beendet.
z 1 z 2 z 3
l r
r r
l
l
Spielfeld:
1 2 3
Aktionen:
l und r: Wechseln um ein Feld nach links bzw. rechts.
l bei Feld 1 und r bei Feld 3 bleiben wirkungslos.
Aufgabe
Geben Sie einen DFA ¨ uber dem Alphabet Σ = {l, r} an, der alle Folgen von Spielz¨ ugen akzeptiert, sodass der Spieler auf Feld 1 beginnt und auf Feld 3 das Spiel beendet.
z 1 z 2 z 3
l r
r r
l l
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 10/17
DFA → reg. Grammatik
Aufgabe
z 1 z 2 z 3
l r
r r
l l
Geben Sie zum gezeigten DFA eine regul¨ are Grammatik an, welche die vom DFA akzeptierte Sprache erzeugt.
Erinnerung: DFA → regul¨ are Grammatik
F¨ ur DFA M = (Z, Σ, δ, z 0 , E) konstruiere G = (V, Σ, P, S) mit V = Z, S = z 0 , P = {z i → az j | δ(z i , a) = z j }
∪ {z i → a | δ(z i , a) = z j ∧ z j ∈ E}
∪ {z 0 → ε | falls z 0 ∈ E}
Aufgabe
z 1 z 2 z 3
l r
r r
l l
Geben Sie zum gezeigten DFA eine regul¨ are Grammatik an, welche die vom DFA akzeptierte Sprache erzeugt.
Erinnerung: DFA → regul¨ are Grammatik
F¨ ur DFA M = (Z, Σ, δ, z 0 , E) konstruiere G = (V, Σ, P, S) mit V = Z, S = z 0 , P = {z i → az j | δ(z i , a) = z j }
∪ {z i → a | δ(z i , a) = z j ∧ z j ∈ E}
∪ {z 0 → ε | falls z 0 ∈ E}
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 11/17
DFA → regul¨ are Grammatik (2)
z 1 z 2 z 3
l r
r r
l l
Regul¨ are Grammatik dazu:
G = (V, Σ, P, S) mit V = {z 1 , z 2 , z 3 }
P = {z 1 → lz 1 , z 1 → rz 2 , z 2 → lz 1 , z 2 → rz 3 , z 3 → lz 2 , z 3 → rz 3 , z 2 → r, z 3 → r}
S = z 1
Regul¨ are Grammatik → NFA
Aufgabe
G = ({S, A, D, E}, {l, r}, P, A) beschreibt Spielzugfolgen, mit
P = {S → lA | rS, A → lD | lE | l | rS, D → l | lD | rA | lE, E → l | lD}.
Konstruieren Sie einen NFA M mit L(M ) = L(G).
F¨ ur (V, Σ, P, S) erzeuge (Z, Σ, δ, S , E) mit Z = V ∪{z · E }
S 0 = {S}
E = {z E } ∪ {S | falls S → ε ∈ P}
δ(A, a) = {N | A → aN ∈ P} ∪ {z E | A → a ∈ P } δ(z E , a) = ∅
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 13/17
Regul¨ are Grammatik → NFA
Aufgabe
G = ({S, A, D, E}, {l, r}, P, A) beschreibt Spielzugfolgen, mit
P = {S → lA | rS, A → lD | lE | l | rS, D → l | lD | rA | lE, E → l | lD}.
Konstruieren Sie einen NFA M mit L(M ) = L(G).
Zur Erinnerung: Transformation reg. Grammatik in NFA F¨ ur (V, Σ, P, S) erzeuge (Z, Σ, δ, S 0 , E) mit
Z = V ∪{z · E } S 0 = {S}
E = {z E } ∪ {S | falls S → ε ∈ P}
δ(A, a) = {N | A → aN ∈ P} ∪ {z E | A → a ∈ P }
δ(z E , a) = ∅
Regul¨ are Grammatik → NFA (2)
Aufgabe
G = ({S, A, D, E}, {l, r}, P, A) beschreibt Spielzugfolgen, mit
P = {S → lA | rS, A → lD | lE | l | rS, D → l | lD | rA | lE, E → l | lD}.
Konstruieren Sie einen NFA M mit L(M ) = L(G).
Konstruktion des NFA: M = ({S, A, D, E, z E }, {l, r}, δ, {S}, {z E }) mit δ(S, l) = {A}
δ(S, r) = {S}
δ(A, l) = {D, E, z E } δ(A, r) = {S}
δ(D, l) = {D, E, z E } δ(D, r) = {A}
δ(E, l) = {D, z E } δ(E, r) = ∅ δ(z E , l) = ∅ δ(z E , r) = ∅
S l A D E zE
r
l l
l r
l
l l
r l
l
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 14/17
Regul¨ are Grammatik → NFA (2)
Aufgabe
G = ({S, A, D, E}, {l, r}, P, A) beschreibt Spielzugfolgen, mit
P = {S → lA | rS, A → lD | lE | l | rS, D → l | lD | rA | lE, E → l | lD}.
Konstruieren Sie einen NFA M mit L(M ) = L(G).
Konstruktion des NFA: M = ({S, A, D, E, z E }, {l, r}, δ, {S}, {z E }) mit δ(S, l) = {A}
δ(S, r) = {S}
δ(A, l) = {D, E, z E } δ(A, r) = {S}
δ(D, l) = {D, E, z E } δ(D, r) = {A}
δ(E, l) = {D, z E } δ(E, r) = ∅ δ(z E , l) = ∅ δ(z , r) = ∅
S l A D E zE
r
l l
l r
l
l l
r l
l
Alle Folgen um von Feld 3
zu Feld 1 zu kommen
NFA angeben
Aufgabe
Geben Sie einen NFA ¨ uber dem Alphabet Σ = {l, r} an, der alle Folgen von Spielz¨ ugen akzeptiert, sodass der Spieler auf
irgendeinem Feld beginnt und auf Feld 3 das Spiel beendet.
z 1 z 2 z 3
r r
l l
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 15/17
NFA angeben
Aufgabe
Geben Sie einen NFA ¨ uber dem Alphabet Σ = {l, r} an, der alle Folgen von Spielz¨ ugen akzeptiert, sodass der Spieler auf
irgendeinem Feld beginnt und auf Feld 3 das Spiel beendet.
z 1 z 2 z 3
l r
r r
l
l
Aufgabe
Uberf¨ ¨ uhren Sie den NFA
z 1 z 2 z 3
l r
r r
l l
in einen DFA durch Verwendung der Potenmengenkonstruktion.
Potenzmengenkonstruktion
F¨ ur NFA (Z, Σ, δ, S, E) konstruiere DFA (P (Z ), Σ, δ 0 , S, E 0 ) mit E 0 = {X ∈ P(Z) | E ∩ X 6= ∅} und δ 0 (X, a) = S
z∈X δ(z, a)
TCS | Zentral¨ubung 09.05.2019 | SoSe 2019 16/17
