Mathematik II
Teil Systemanalyse 1. Vordiplom
für dieAbteilunegn VII, XB, XC
Die 3 Aufgaben sind auf eine Prüfungszeit von 60 Minuten ausgelegt. Sie
tragen zu einem Drittel zur gesamten Prüfung bei. Die Maximalpunktzahl
dieser Teilprüfung ist20 Punkte.
BeschriftenSiejedesabgegebeneBlattmitIhrerImmatrikulationsNummer!
VielErfolg!
Aufgabe 1 7 Punkte
Die Entwicklung einer Fischpopulation in einem grossen Teich, lasse sich
durch folgendelogistische Gleichung modellieren.
dx
dt
=rx rx
2
k
Dabeisind r=2a 1
undk =100gm 3
. xistdas LebendgewichtderFische
pro Wasservolumen in[gm 3
].
a) BestimmenSiedenStationärzustand(bzw. dieStationärzustände,falls
es mehrere gibt) des Modelles. Beurteilen Sie deren Stabilität. 3 Punkte
b) Wie sieht das Fischpopulationsmodell aus, wenn die Fischpopulation
zusätzlichmiteiner Fangrateu[gm 3
a 1
]reduziert wird. Formulieren
sie dieDierentialgleichung 1 Punkt
c) WiegrossmussdieFangrateu[gm 3
a 1
]gewähltwerden,wennsichdie
Fische weiterhinnachobigemModellentwickeln undder Fischbestand
langfristig bei80 gm 3
stabil bleiben soll? 1.5Punkte
d) WiegrossdarfdieFangrateumaximalsein,damitdieFischpopulation
im Teichnichtausstirbt. 1.5Punkte
Wir betrachten ein Modell zur Beschreibung der Reaktion zweier in Wech-
selwirkung stehender Substanzen. Die Reaktion nde in einem vollständig
durchmischten Reaktor statt. FolgendeProzesse werden berücksichtigt:
Die Substanz B werde aus A mitder linearenRate k
1
produziert.
Die Substanz B reagierezurück zu A miteiner Rate k
2
BeideSubstanzenwerdenmitder Ratek
3
ausdemReaktorausgespült.
Dem Reaktor werde kontinuierlich die Menge M
in
vom Sto A zuge-
führt.
Nehmen Sie für die Teilaufgaben c) bis f) folgende Zahlenwerte an. M
in
=
180 kgh 1
, k
1
=k
2
=4h 1
, k
3
=10h 1
a) Zeichnen SieeinSchema (Boxmodell) fürdie oben beschriebene Reak-
tion. 1 Punkt
b) Schreiben Sie diedynamischen Modellgleichungenauf. 1 Punkt
c) Berechnen Sieden Stationärzustand(bzw. dieStationärzustände, falls
es mehrere gibt.) 2 Punkt
d) Wie verändert sich der Stationärzustand von A und B (absolut oder
relativ), wenn M
in
um 20 Prozent erhöht wird? 1 Punkt
e) Betrachten Siedas dynamische Verhalten vonC =A+B. Wieschnell
passt sich die totale Konzentartion C einem neuen Stationärzustand
bis auf 13% an, wenn der Input M
in
zum Zeitpunkt t =0 schlagartig
verdoppeltwird. 2 Punkte
Nützliche Werte (Für alle Teilaufgaben)
e 1
0:36 e 2
0:13 e 3
0:05 e 4
0:018
Querschnitt B= 0.25 m2 Querschnitt A = 1 m2
Distanz s = 10 m
1 2
Abbildung 1: Sikzze zu Aufgabe3
Ein oener und ein geschlossener vollständig durchmischter Wasserbehälter
seien durch eine Röhre verbunden in der diusiver Transport möglich ist,
(sieheAbb.1). DerersteBehältersteheimGasaustauschmitderLuft,inihm
ndekeineReaktionmitSauerstostatt. ImzweitenBehälterwerdesostark
Sauersto gezehrt, dass man im Behälter von einer Sauerstokonzentration
von C
2
=1mgl 1
ausgehen kann.
a) Wie gross ist die Sauerstokonzentration C
1
im Stationärzustand im
ersten Behälter, wenn man weiss, dass dem Behälter durch Gasaus-
tausch pro Tag 3 g Sauersto zugeführtwerden. Die Gasaustauschge-
schwindigkeit v
g
sei 1 md 1
. Die Sauersto-Sättigungskonzentration
im Wasser in Kontaktmit Luft istC
s
=14mgl 1
. 1.5Punkte
b) Skizzieren Sie die Sauerstokonzentration in der Röhre für einen sta-
tionären Zustand. (Der Diusionskoezient K [m 2
d 1
] sei im innern
der Röhre konstant.) 1 Punkt
c) Benützen SiedieResultate von a)und b), um den horizontale Diusi-
onskoezient K imStationärzustand zu berechnen. 1.5Punkte
d) Wie sieht das Konzentrationsprol in der Röhre qualitativ aus, wenn
zusätzlich noch einAbbau von Sauersto stattndet? (Betrachten Sie
wieder den Stationärzustand) 1 Punkt
e) VomZeitpunktt
0
anwerde miteinerPumpedem erstenBehälter eine
Wassermenge von 1 ls 1
zugeführt. Die entsprechende Wassermenge
iesst in die zweite Boxe ab. Die Sauersto Konzentration im zuies-
senden Wasser betrage11 mgl 1
. Wie siehtder Konzentrationsverlauf
von Sauersto eine Stunde nach Inbetriebnahme der Pumpe in etwa
aus? (Abschätzung genügt!) 1 Punkt
