Hans Walser, [20150214]
Kegelverdoppelung 1 Worum geht es?
Wenn wir bei einem Kegel die Höhe verdoppeln, verdoppelt sich auch das Volumen.
Wie lässt sich das durch Cavalieri-Zerlegung zeigen?
Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
2 Cavalieri
Es werden drei Varianten des Cavalieri-Prinzips vorgestellt.
Wir arbeiten jeweils mit zwei kongruenten Kegeln (rot und blau), welche volumenmä- ßig „addiert“ werden sollen.
Die Cavalieri-Zerlegung wird meist erst im Achsenschnitt sichtbar und verständlich.
2.1 Kreisscheiben
Die beiden Kegel werden in horizontale Scheiben zerlegt. Der Scheibenradius nimmt linear mit der Positionshöhe der Scheibe ab.
Grundvorstellung: Scheiben einer runden Frucht, etwa Apfelscheiben, Ananasscheiben ohne Loch.
Die Scheiben der beiden Kegel werden nun im Wechsel neu aufeinander geschichtet. Es entsteht ein doppelt so hoher Kegel mit gleicher Grundfläche.
Die Abbildungen 1, 2 und 3 zeigen Ansicht, Frontalansicht und Achsenschnitt.
Abb. 1: Scheiben
Abb. 2: Frontalansicht
Abb. 3: Achsenschnitt
Das Verfahren funktioniert entsprechend für die Addition von drei oder mehr Kegeln.
2.2 Hohlzylinder
Die beiden Kegel werden in ineinandergeschobene Hohlzylinder zerlegt. Die Hohlzy- linderhöhe nimmt linear mit dem Radius ab.
Grundvorstellung: Kartonrolle einer aufgebrauchten WC-Rolle.
Äußerlich besteht kein Unterschied zur Zerlegung in Scheiben.
Für die Volumenaddition werden die Hohlzylinder des blauen Kegels über die Hohlzy- linder des roten Kegels gestülpt. Der rote Kegel bleibt also unverändert, verschwindet aber fast vollständig im Innern des Summenkegels.
Die Abbildungen 4, 5 und 6 zeigen Ansicht, Frontalansicht und Achsenschnitt.
Abb. 4: Hohlzylinder
Abb. 5: Frontalansicht
Abb. 6: Achsenschnitt
Das Verfahren funktioniert entsprechend für die Addition von drei oder mehr Kegeln.
2.3 Hohlkegel
Die beiden Kegel werden in Hohlkegel zerlegt. Höhe und Radius der Hohlkegel sind linear.
Grundvorstellung: Kartonhütchen bei „Wer schnappt den Hut“.
Für die Volumenaddition werden die Hohlkegel des blauen Kegels in umgekehrter Rei- henfolge über den roten Kegel gestülpt. Der rote Kegel bleibt unverändert, verschwindet aber fast vollständig im Innern des Summenkegels.
Die Abbildungen 7, 8 und 9 zeigen Ansicht, Frontalansicht und Achsenschnitt.
Abb. 7: Hohlkegel
Abb. 8: Frontalansicht
Abb. 9: Achsenschnitt
Das Verfahren funktioniert auch für die Addition von drei oder mehr Kegeln (Abb. 10 und 11).
Abb. 10: Addition von drei Kegeln
Abb. 11: Pagode
3 Was leistet die Cavalieri-Zerlegung 3.1 Volumina
Die Cavalieri-Zerlegung ist keine echte geometrische Zerlegung, sondern lediglich eine Approximation der Volumina. Sie ist nur für Volumenüberlegungen brauchbar.
3.2 Oberflächen
Für die Oberflächenberechnung liefert die Cavalieri-Zerlegung falsche Resultate, wie das folgende Beispiel zeigt.
Ein Kegel mit dem Radius r und der Höhe h hat die Mantelfläche (ohne Grundfläche):
M =rπ r2+h2
Wenn wir nun etwa mit der Scheiben-Zerlegung (Abb. 1) arbeiten, erhalten wir für die
„Mantelfläche“ (ohne die Grundfläche):
MCavalieri=r2π+ 2πhrϑdϑ
0
∫
h =rπ(
r+h)
Dabei ist der Summand r2π der waagerechte Anteil (Sonnenterrasse) der „Mantelflä- che“.
Es ist M <MCavalieri. Die falsche Gleichsetzung von r2+h2 mit r+h ist ein klassi- scher Schülerfehler (kommt auch bei Mathematikdoktoranden vor).
4 Modellbau
Scheibenmodelle aus Holz oder Kunststoff lassen sich einfach herstellen. Damit die Scheiben nicht seitlich abrutschen, werden sie in der Mitte gelocht und auf einen Dorn aufgeschichtet. Dabei besteht eine gewisse Verletzungsgefahr.
Hohlzylinder und Hohlkegel sind ohne technische Hilfsmittel schwierig herzustellen.
Statt für Kreiskegel können die Überlegungen auch für Pyramiden gemacht werden. Die benötigten Hohlquader sind einfach herzustellen. Mit etwas Geschick und Geduld kön- nen auch Hohlpyramiden hergestellt werden.
