Lösungen zum Grundwissen 10

Lösungen zum Grundwissen 10 1. Kreis und Kugel

Beispiel 1:

Bestimmung von Flächeninhalt und Umfang der eingefärbten Fläche in Abhängigkeit von der Seitenlänge a des Quadrats.

Flächeninhalt:

Vom Flächeninhalt des Achtelkreises um B wird der Flächeninhalt des blauen Segments subtrahiert. Der Flächeninhalt des blauen Segments ist wiederrum die Differenz aus dem Flächeninhalt des Viertelkreises um F mit Radius ^𝑎

2 und dem Flächeninhalt des Dreiecks ∆𝐹𝐵𝑀.

A=AKreissktor um B−ASegment Kreis um F= 45°

360°πa²−[ 90° 360°π(a

2)

2

−1 2⋅1

2a⋅1 2 a]=

1

8a²π−[ 1

16a²⋅π−1

8a²]= 1

16a²π+ 1 8a²= 1

16a²⋅(π+2) Umfang:

Beachte: E liegt auf einem Kreis mit Radius a um B. Also gilt: 𝐵𝐸 = 𝐵𝐶 = 𝑎 Außerdem gilt 𝑀𝐵 =¹

2∙ 𝐷𝐵 =¹

2∙ √2 ∙ 𝑎 (Pythagoras) Somit folgt:

U=BC+b_CE+EM+b_MB=BC+b_CE+ (EB−MB)+b_MB=

=a+ 45°

360°⋅2πa+ (a−

√ ⁽

⁾

⁽

⁾

=a+ 1

4πa+a−

√

^√

^√

⁽

^√

⁾

Beispiel 2: Kegel Volumen und Oberfläche Volumen:

ℎ_{𝐾𝑒𝑔𝑒𝑙} = √(2,5𝑟)²− (2𝑟)² = 1,5𝑟 (Pythagoras) V=V_Kegel−V_Halbkugel=1

3π⋅h_Kegel⋅r_Kegel² −1 2⋅4

3⋅πr³_Kugel=

=1

3π1,5r⋅(2r)²−1 2⋅4

3π⋅r³=2πr³−2

3πr³=4 3πr³ Oberfläche:

O=M_Kegel+O_Halbkugel+ A_Kreisring=M_Kegel+O_Halbkugel+Agroßer Kreis−Akleiner Kreis=

=π⋅2r⋅2,5r+1

2⋅4πr²+π(2r)²−πr=5πr²+2πr²+4πr²−πr²=10πr²

2. Geometrische und funktionale Aspekte der Geometrie

Beispiel 1: Bestimmung von Winkeln a) 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −0,6088 und 𝛼 ∈ [0°; 360°]

Betrachtungen am Einheitskreis oder am Graphen der Sinusfunktion:

Der Taschenrechner liefert: 𝛼^′≈ −37,5°

Die Lösungen lauten somit: 𝛼₁ ≈ 180° + 37,5° = 217,5° ; 𝛼₂ ≈ 360° − 37,5° = 322,5°

Im Bogenmaß:

α₁=217,5°

360° ⋅2π≈3,80 ∨ α₂=322,5°

360° ⋅2π≈5,63 b) 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 0,9309 und 𝛽 ∈ [0°; 360°]

Betrachtungen am Einheitskreis oder am Graphen der Kosinusfunktion:

Der Taschenrechner liefert: 𝛽 ≈ 21,4°

Also: 𝛽₁ ≈ 21,4° ; 𝛽₂ ≈ 360° − 21,4° = 338,6°

Im Bogenmaß:

β₁=21,4°

360° ⋅2π≈0,37 ∨ β₂=338,6°

360° ⋅2π≈5,91

Beispiel 2: Lösungen von 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 09211 Zunächst wieder die graphische Lösung:

Der TR liefert: 𝑥₁ ≈ 0,40 ⟹ 𝑥₂ = 2𝜋 − 𝑥₁ ≈ 5,88

Da die Periode der Kosinusfunktion 2𝜋 ist, gilt für alle Lösungen:

𝑥 ≈ 0,40 + 𝑘 ∙ 2𝜋 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑥 ≈ 5,88 + 𝑘 ∙ 2𝜋 mit 𝑘 ∈ ℤ Beispiel 3: 𝑓(𝑥) =³

2∙ 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 −²

3𝜋) + 0 =³

2∙ 𝑠𝑖𝑛 (2 ∙ (𝑥 −^𝜋

3)) + 0

Amplitude: 𝑎 =³

2 Periode: ^2𝜋

2 = 𝜋 Verschiebung in x-Richtung: ²

3𝜋 ∶ 2 =^𝜋 Verschiebung in y-Richtung: keine 3

Beispiel 4:

Ablesen am Graphen:

Amplitude: 0,5 Verschiebung in y-Richtung: 1 Einheit nach oben Verschiebung in x-Richtung: 0

Periode: 4𝜋 ⟹ 𝑏 =^2𝜋

4𝜋= 0,5 (Vorfaktor vor x) Funktionsgleichung:

3. Exponentialfunktion und Logarithmus Beispiel 1:

a) siehe Grundwissenskatalog

b) 𝑓(−1) = −6 ⟺ (𝐼) 𝑏 ∙ 𝑎⁻¹= −6 ⟺ 𝑏 = −6𝑎 𝑓(3) = −3

8 ⟺ (𝐼𝐼) 𝑏 ∙ 𝑎³ = −3 8 (𝐼) 𝑖𝑛 (𝐼𝐼): −6𝑎 ∙ 𝑎³ = −³

8 ⟺ 𝑎⁴ = ¹

16 ⟹ 𝑎 = ±0,5

(𝑎 = −0,5 entfällt, da für die Basis a einer Exponentialfunktion 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 gelten

muss.)

mit (𝐼) folgt: 𝑏 = −3 Also: 𝑓: 𝑥 ⟼ −3 ∙ 0,5^𝑥

symmetrisch dazu: 𝑥 ⟼ −3 ∙ 2^𝑥 Beispiel 2:

a)

7⋅1,3^x+4=18+1,3^x |−1,3^x−4 6⋅1,3^x=14 ⇔ 1,3^x=7

3 | log_1,3...

x=log_1,37 3≈3,23 b)

log_x

√

log_x81

1

5=−0,4 |x^...

81

1

5=x^−0,4 ⇔ 81

1 5=x⁻

2

5 |...⁻

5 2

x=

(

)

√

1 9 c)

9⋅4^−x−4=−0,25^x+5 |+4+0,25^x

9⋅4^−x+

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

x=log_0,250,9≈0,076 d)

log_x

√

3 ⇔ log_x

√

3 ⇔ log_x5

4 3=−8

3 |x^...

5

4 3=x⁻

8 3 | ...⁻

3 8

x=

(

)

√

Beispiel 3:

a) siehe Grundwissenskatalog b)

−log_a

√

2⋅log_au+log_a(u−1)+log_a(u−1)=

=−log_au

1 2−3

2log_au+log_a(u+1)(u−1)=

=−1

2log_au−3

2log_au+log_a(u²−1)=−2⋅log_au+log_a(u²−1)=

=−log_au²+log_a(u²−1)=log_au²−1 u² Beispiel 4:

a) siehe Grundwissenskatalog b)

3⋅5^x=7⋅3^x | :3 :3^x 5^x

3^x=7

3 ⇔

(

)

...

x=log₅

3

7

3≈1,659 c)

16^x−5⋅4^x+6=0

Substitution: 𝑢 = 4^𝑥 ⟹ 𝑢²− 5𝑢 + 6 = 0

u_1;2=5±

√

2⋅1 =5±1

2 ⇔ u₁=3 ; u₂=2 Resubstitution:

4^x=3 ⇔ x=log₄3≈0,792 ∨ 4^x=2 ⇔ x=log₄2=1 2 d)

−1+4^x=2⋅4^−x ⇔ −1+4^x=2 4^x Substitution: 𝑢 = 4^𝑥 ⟹ −1 + 𝑢 =²

𝑢 |∙ 𝑢

−𝑢 + 𝑢² = 2 |−2 𝑢²− 𝑢 − 2 = 0

𝑢_1,2= ^{1 ± √(−1)2− 4∙1∙(−2)}

2 = ^{1 ±3}

2 ⟹ 𝑢₁ = 2 ; (𝑢₂ = −1)

Da für alle Exponentialfunktionen 𝑎^𝑥 > 0 gilt, entfällt die 2. Lösung.

Resubstitution: 4^𝑥 = 2 ⟺ 𝑥 = log₄2 = ¹

2

e)

• ohne Zinseszins:

𝑡 ∙ 0,04 ∙ 𝐾 + 𝐾 = 2𝐾 |−𝐾 (t : Zeit in Jahren; K : Anfangskapital) 𝑡 ∙ 0,04 ∙ 𝐾 = 𝐾 |: (0,04 ∙ 𝐾)

𝑡 = 1

0,04= 25

• mit Zinseszins 𝐾 ∙ 1,04^𝑡 = 2𝐾 |: 𝐾

1,04^𝑡 = 2 | log_1,04( ) 𝑡 = log_1,042 ≈ 17,7

f) Wenn 85% der vorhandenen Kerne zerfallen sind, sind nur noch 15% der Kerne übrig.

N(t)=N₀⋅0,5

t t_H

15 %⋅N₀=N₀⋅0,5

t

8d ⇔ 0,15=0,5

t

8d | log_0,5...

t

8d=log_0,50,15 ⇔ t=8d⋅log_0,50,15≈21,9d

g) Ein Blatt Papier verdoppelt die Dicke, wenn wir es falten. Die Zahl der Faltungen soll mit x bezeichnet werden.

0,0001m⋅2^x=384 000⋅10³m ⇔ 2^x=384⋅10¹⁰m | log₂...

x=log₂384⋅10¹⁰≈41,80

Also bereits nach 42 Faltungen.

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

30 Kinder; 21 Mädchen; 12 BrillenträgerInnen; 5 Jungs tragen Brille Vierfeldertafel:

M: Mädchen; B: Brillenträger; unbekannte Felder grau

B B

M 7 14 21

M 5 4 9

12 18 30

Die Wahrscheinlichkeit für:

...einen brillentragenden Jungen: ^PB(M)=

P(B∪M) P(B) = 5

12

… ein Mädchen ist und eine Brille trägt: ^P(M∪B)=

(A∪B) Ω = 7

30

Aber die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen aus der Klasse eine Brille trägt:

P_M(B)=P(M∪B) P(M) = 7

21=1 3

5. Ganzrationale Funktionen Beispiele:

a) 𝑓(𝑥) =¹

4𝑥⁴−¹³

4 𝑥²+ 9

Hier liegt eine biquadratische Gleichung vor, deswegen ist die elegantere Lösungsmethode die Substitution 𝑢 = 𝑥². Wer möchte kommt aber mit der doppelten Polynomdivision auch zum Ziel.

1

4u²−13 4 u+9

!

= 0 ⇔ u_1;2= 13

4 ±

√ ⁽

⁾

2⋅1 4

= 13

4 ±5 4 1 2 u₁=9 ∨ u₂=4

Resubstitution: ^{x2=9 ∨ x2=4} x₁=−3 ; x₂=−2 ; x₃=2 ; x₄=3

⟹ 𝑓(𝑥) =1

4∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 3) b) 𝑓(𝑥) = 𝑥⁴ − 𝑥³ − 12𝑥²− 4𝑥 + 16

Probieren liefert 𝑓(1) = 0. Also:

(x⁴−x³−12x²−4x+16):(x−1)=x³−12x−16

−(x⁴−x³)

0−12x² −4x

−(−12x²+12x)

−16x+16

−(−16x+16)

Probieren liefert wiederum (−2)³− 12 ∙ (−2) − 16 = 0. Also:

¿

(x³ −12x−16):(x+ 2)=x²−2x−8

−(x³+2x²)

−2x²−12x

−(−2x² −4x)

−8x−16

−(−8x−16)

Lösungsformel:

x²−2x−8=0 ⇔ x_3;4=2±

√

2⋅1 =2±6

2 ⇔ x₃=4 ; x₄=−2 Somit ergibt sich: 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)²∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 4)

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 6𝑥²− 12𝑥 − 8 Probieren liefert 𝑓(2) = 0. Also:

¿

(x³−6x²±12x−8):(x−2)=x²−4x+ 4

−(x³−2x²)

−4x²−12x

−(−4x²−8x) 4x−8

−(4x−8)

Somit ergibt sich: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥²− 4𝑥 + 4) = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 2)² = (𝑥 − 2)³

6. Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen siehe Grundwissenskatalog