Onthetimingofinnovationandimitation BillettedeVillemeur,EtienneandRuble,RichardandVersaevel,Bruno MunichPersonalRePEcArchive

Munich Personal RePEc Archive

On the timing of innovation and imitation

Billette de Villemeur, Etienne and Ruble, Richard and Versaevel, Bruno

Université de Lille LEM (CNRS - UMR 9221), EMLyon Business School GATE (CNRS - UMR 5824), EMLyon Business School GATE (CNRS - UMR 5824)

18 December 2015

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MPRA Paper No. 69161, posted 03 Feb 2016 05:43 UTC

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❜② ❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ s❤♦❝❦ ✭Y_t✮ r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ♠❛r❦❡t s✐③❡ t❤❛t ❢♦❧❧♦✇s ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥

✭dYt=αY_tdt+σY_tdZ_t✇❤❡r❡(Z_t)_t≥0 ✐s ❛ st❛♥❞❛r❞ ❲✐❡♥❡r ♣r♦❝❡ss✮✱ s♦ ❛s t♦ r❡✢❡❝t t❤❡ ✐❞❡❛ t❤❛t

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❝♦st K^∗ =∞✮✳

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✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s str✐❝t✮✱ α < r✱ ❛♥❞0< Y0<(r−α)I/π_M✱^✼ s♦ t❤❛t ❛❜s❡♥t ❝♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ❛♥ ✐♥♥♦✈❛t✐♥❣

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♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❣r♦✇t❤ ✐♥ ❞❡♠❛♥❞✱ ♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t②✱ ♦r s♦♠❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t✇♦✳

✻❖✉r ❢♦❝✉s ✐s t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♠✐t❛t✐♦♥✱ ❜✉t ♦t❤❡r ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡s ❝❛♥ ❛❧s♦ ❧❡❛❞ t♦ ❛s②♠♠❡tr✐❝

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r❡❛❧ ❡st❛t❡ ♦r ♥❛t✉r❛❧ r❡s♦✉r❝❡ ❡①tr❛❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ t❤❡ ✐♠✐t❛t♦r ♠❛② ❢❛❝❡ ❛ ❤✐❣❤❡r ❝♦st ✭K > I✮✳ ❲❡ ❞♦ ♥♦t ♣✉rs✉❡ t❤✐s

✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❛❝t✐✈❡❧②✳ ❖♥❡ ❛r❡❛ ✇❤❡r❡ ❞♦✐♥❣ s♦ ✇♦✉❧❞ ♠❛❦❡ ❛ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✏t✐❡s✑✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡

t❤❛t ✐❢ ❜♦t❤ ✜r♠s s❡❡❦ t♦ ❛♥❞ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ✐♥✈❡st s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧②✱ t❤❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❝♦st ✐s I✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ max{I, K}

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✷✳✷ ❚❤r❡s❤♦❧❞ str❛t❡❣✐❡s ❛♥❞ ❧❡❛❞❡r ❛♥❞ ❢♦❧❧♦✇❡r ♣❛②♦✛s

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❆t ❛♥② t✐♠❡t≥0❛t ✇❤✐❝❤ ✐t ❤❛s ♥♦t ②❡t ✐♥✈❡st❡❞✱ t❤❡ str❛t❡❣② ♦❢ ❛ ✜r♠i✱i∈ {1,2}✱ ❝♦♥s✐sts

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t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ✜r♠ ❛s ✐♥♥♦✈❛t♦r ♦r ✐♠✐t❛t♦r✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ t❤r❡s❤♦❧❞s ✭Y1 =Y2✮✱ ❛ t✐❡✲

❜r❡❛❦✐♥❣ r✉❧❡ t❤❛t ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❣❛♠❡

r❛♥❞♦♠❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ r♦❧❡s ♦❢ ❡❛❝❤ ✜r♠✳ ❯♥❞❡r t❤❡s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ✐♥❞✉str② ❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ t❤❡

♣r♦❞✉❝t ♠❛r❦❡t ♠❛② ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ t✇♦ st❛❣❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✉♥❢♦❧❞s ♦✈❡r t✐♠❡✱

✇❤❡r❡ ✐♥ t❤❡ ✜rst st❛❣❡ ✭✇❤✐❝❤ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ♦♥s❡t ♦❢ t❤❡ ♠♦♥♦♣♦❧② ♣❤❛s❡✮ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧

❡♥tr② t❤r❡s❤♦❧❞s ✭Y1, Y2✮ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ r♦❧❡s ♦❢ t❤❡ ✜r♠s✱ ❛♥❞ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❛❣❡ ✭t❤❡ ♦♥s❡t ♦❢

t❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ♣❤❛s❡✮✱ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ✜r♠ ❡♥t❡rs ❛t ❛ t❤r❡s❤♦❧❞ ♦❢ ✐ts ❝❤♦✐❝❡ t❤❛t ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② Y_F^∗

✭✇✐t❤ Y_F^∗ ≥Y_i✮ ❢♦r t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♥❞ s♣❡❝✐❢② ❢✉rt❤❡r ❜❡❧♦✇✳

❚❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♣❛②♦✛s ❢♦r ✐♥♥♦✈❛t♦rs ❛♥❞ ✐♠✐t❛t♦rs ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s♣❡❝✐✜❝ ❢♦r♠s✿

L(Y_i, Y_F^∗) = π_M

r−αY_i−I Y_t Y_i

β

+π_D−π_M r−α Y_F^∗

Y_t Y_F^∗

β

✭✐♥♥♦✈❛t♦r ♣❛②♦✛✮ ✭✶✮

❛♥❞

F(Y_i;K) = π_D

r−αY_i−K Yt

Y_i β

✭✐♠✐t❛t♦r ♣❛②♦✛✮ ✭✷✮

✇❤❡r❡ ✐♥ ❜♦t❤ ✭✶✮ ❛♥❞ ✭✷✮✱β ✐s s❤♦rt❤❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs

β(α, σ, r) := 1 2− α

σ² + s1

2− α σ²

2

+ 2r

σ²✳ ✭✸✮

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ β ❣✐✈❡♥ ✐♥ ✭✸✮ ✐s ❛ st❛♥❞❛r❞ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐♥ r❡❛❧ ♦♣t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s✱ s❛t✐s❢②✐♥❣ β > 1

❛♥❞ lim_σ→0β = r/α✳ ❆ ❧♦✇❡r ✈❛❧✉❡ ♦❢ β ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❣r❡❛t❡r ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✇❛✐t ✭✐t ✐s

✽

str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t ∂β/∂α <0✱ ∂β/∂σ <0✱ ❛♥❞ ∂β/∂r >0✮✱ s♦ β ♠❛② ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞

❛s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ✏✐♠♣❛t✐❡♥❝❡✑✳ ❚❤❡(Y_t/·)^β t❡r♠s ✐♥ ✇❤✐❝❤β♦❝❝✉rs r❡✢❡❝t t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❞✐s❝♦✉♥t✐♥❣

♦❢ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ✉♥✐ts t❤❛t ❛r❡ r❡❝❡✐✈❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❝❡ss r❡❛❝❤❡s t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t t❤r❡s❤♦❧❞s

❢♦r t❤❡ ✜rst t✐♠❡✳^✽

❚❤❡ ❧❡❛❞❡r ✭✐♥♥♦✈❛t♦r✮ ♣❛②♦✛ ✐s ❝♦♠♣r✐s❡❞ ♦❢ t✇♦ t❡r♠s✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ♠♦♥♦♣♦❧②

♣r♦✜t ✢♦✇ ♦❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♥❣ ✜r♠ ❛♥❞ t❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤✐s ♣r♦✜t ✢♦✇ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞

✜r♠✬s ❡♥tr②✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇❡r ✭✐♠✐t❛t♦r✮ ♣❛②♦✛ ❤❛s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠ ♦❢ ❛ ❣r♦✇t❤ ♦♣t✐♦♥✳ ❇♦t❤

♣❛②♦✛ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ q✉❛s✐❝♦♥❝❛✈❡ ♦✈❡r t❤❡✐r ❞♦♠❛✐♥s ❛♥❞ ❛tt❛✐♥ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❣❧♦❜❛❧ ♠❛①✐♠❛ ❛t YL := (β(r−α)I)/((β−1)πM) ❛♥❞ YF := max{Yt,(β(r−α)K)/((β−1)πD)} r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

❲❡ r❡❢❡r t♦ t❤❡s❡ t❤r❡s❤♦❧❞s ❛s t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ st❛♥❞❛❧♦♥❡ ❧❡❛❞❡r ❛♥❞ ❢♦❧❧♦✇❡r t❤r❡s❤♦❧❞s✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛✐r

♦❢ str❛t❡❣✐❡s {Y_L, Y_F} ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ♦♣❡♥ ❧♦♦♣ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❜② ❘❡✐♥❣❛♥✉♠ ❬✸✵❪✳^✾

❆ ❦❡② ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ♣❛②♦✛ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ✐s ✉s❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t ♦✉r ❛♥❛❧②s✐s ✐s t❤❛t t❤❡ ❧❡❛❞❡r

♣❛②♦✛ ✐s ♥♦♥❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✐♠✐t❛t✐♦♥ ❝♦st ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇❡r ✐♥✈❡sts ❛t t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❢♦❧❧♦✇❡r t❤r❡s❤♦❧❞ ✭∂L(Yi, Y_F^∗)/∂K ≥ 0✮✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇❡r ♣❛②♦✛ ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✐♠✐t❛t✐♦♥ ❝♦st

✭∂F(Y_i;K)/∂K <0✮✳

▲❛st❧②✱ ❜♦t❤ ✜r♠s ♠❛② ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡✐r r❡s♣❡❝t✐✈❡ ♣r♦❞✉❝ts ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ❛t t❤❡ s❛♠❡ ♠♦♠❡♥t✱

✐♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛s❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡② ✐♥❝✉r t❤❡ s❛♠❡ ✜①❡❞ ❝♦st✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣❛②♦✛ ✐s ❞❡♥♦t❡❞

❜② M(Y_i) :=L(Y_i, Y_i)✭=F(Y_i;I)✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞ ❛t Y_S := (β(r−α)I)/((β−1)π_D)✳

✷✳✸ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠

❲❡ ❝❤♦♦s❡ t♦ ❢♦❝✉s ♦♥ s②♠♠❡tr✐❝ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ❖♥❡ r❡❛s♦♥ ❢♦r t❤✐s ✐s t❤❛t ❛s ✜r♠s ❛r❡ t❛❦❡♥ t♦

❜❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❡①✲❛♥t❡✱ ✐t s❡❡♠s ♥❛t✉r❛❧ t♦ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡② ❤♦❧❞ s②♠♠❡tr✐❝ ❜❡❧✐❡❢s ❛❜♦✉t ❡❛❝❤

♦t❤❡r✬s ♣❧❛② ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❣❛♠❡✳ ■♥ s♦ ❞♦✐♥❣✱ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ❜❡❧♦✇ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❡❛r❧✐❡r ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ♦❢ ❋✉❞❡♥❜❡r❣ ❛♥❞ ❚✐r♦❧❡ ❬✶✸❪ ❛♥❞

❍❡♥❞r✐❝❦s ❡t ❛❧✳ ❬✶✽❪✳^✶✵ ❆♥♦t❤❡r r❡❛s♦♥ t♦ ❢♦❝✉s ♦♥ s②♠♠❡tr✐❝ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐s t❤❛t ✐t r❡s✉❧ts ✐♥

r❡♥t ❞✐ss✐♣❛t✐♦♥✱ ❛ ❢❡❛t✉r❡ t❤❛t ✐s ❡♠♣❤❛s✐③❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡❛r❧② t✐♠✐♥❣ ❣❛♠❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ❛s s✉r✈❡②❡❞ ❜②

✽■♥ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❝❛s❡ ✭σ= 0✮ ❛♥❞ ❧❡tt✐♥❣ti := inf{τ✱Yτ ≥Yi}✱(Yt/Yi)^β = exp(−r(ti−t))✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡

st❛♥❞❛r❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❞✐s❝♦✉♥t✐♥❣ t❡r♠ ✉♥❞❡r ❝❡rt❛✐♥t②✳

✾❋♦r s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧♦✇ ✈❛❧✉❡s ♦❢ K ✭K ∈ [0, Kl)✱ Kl := (πD/πM)I✮✱ YF < YL✳ ■♥ t❤✐s r❛♥❣❡✱ ✐❢ r♦❧❡s ✇❡r❡

❡①♦❣❡♥♦✉s❧② ❛ss✐❣♥❡❞✱ ❛ ❢♦❧❧♦✇❡r ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✇✐❧❧✐♥❣ t♦ ♣❛② ✐ts r✐✈❛❧ t♦ ✐♥❞✉❝❡ ✐t t♦ ✐♥✈❡st ❡❛r❧✐❡r✳ ❲❡ ♠❡♥t✐♦♥ t❤✐s

♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❢♦r ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❜✉t t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞Kl❞♦❡s ♥♦t ♣❧❛② ❛ s✐❣♥✐✜❝❛♥t r♦❧❡ ✐♥ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s✳

✶✵P❛rt✐❝✉❧❛r❧② ✐♥ ❛ttr✐t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s✱ ❛✉t❤♦rs ❤❛✈❡ s♦♠❡t✐♠❡s ♣r♦❝❡❡❞❡❞ ❞✐✛❡r❡♥t❧②✳ ◆♦t❛❜❧②✱ ❍♦♣♣❡ ❬✷✵❪ ❢♦❝✉s❡s ♦♥

❛s②♠♠❡tr✐❝ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐♥ ♣✉r❡ str❛t❡❣✐❡s✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛♣♣❧✐❡s ✐❢✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t❤❡ s❛♠❡ ❡♥tr② ❣❛♠❡ ✐s ♣❧❛②❡❞ ✐♥

s❡✈❡r❛❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠❛r❦❡ts ❛♥❞ ♣r❡✲♣❧❛② ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❡♥❛❜❧❡s ✜r♠ ❝♦♦r❞✐♥❛t✐♦♥✱ ❜✉t ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❛❧❧♦✇ ❢♦r t❤✐s

♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❤❡r❡✳

✾

❋✉❞❡♥❜❡r❣ ❛♥❞ ❚✐r♦❧❡ ❬✶✹❪✱ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ r❛t✐♦♥❛❧✐③❡s ❛ s♠♦♦t❤ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♦♥ ✐♠✐t❛t✐♦♥

❝♦st t❤❛t ✐s ♦❢ ❝♦♠♣❡❧❧✐♥❣ s✐♠♣❧✐❝✐t②✳

❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❢♦r♠ ❣❛♠❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✷ ♦❝❝✉rs ✐♥ t✇♦ st❛❣❡s✳ ❋✐rst✱ ✜r♠s ❝♦♠♣❡t❡ ✐♥

❡♥tr② t❤r❡s❤♦❧❞s t❤❛t ❡♥❞♦❣❡♥♦✉s❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡✐r r♦❧❡s ❛s ✐♥♥♦✈❛t♦rs ♦r ✐♠✐t❛t♦rs✱ ❛♥❞ s❡❝♦♥❞✱

❛t ♦♥❝❡ ❛❢t❡r ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥tr② ❤❛s ♦❝❝✉rr❡❞✱ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ✜r♠ s❡❧❡❝ts ✐ts ♦✇♥ ❡♥tr② t❤r❡s❤♦❧❞✳ ❲❡

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❞❡t❡r♠✐♥❡ ✐♥♥♦✈❛t♦r ❛♥❞ ✐♠✐t❛t♦r r♦❧❡s❀

• ❙t❛❣❡ ✷✿ ✐❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ✜r♠ ✭i✮ ✐♥♥♦✈❛t❡s✱ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ✜r♠ ✭−i✮ t❤❡♥ s❡❧❡❝ts ✐ts ✐♠✐t❛t♦r ❡♥tr② t❤r❡s❤♦❧❞✳

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✜r♠s ❤❛s ♦❝❝✉rr❡❞✱ ❛♥② ✜r♠ t❤❛t r❡♠❛✐♥s ♦✉t ♦❢ t❤❡ ♠❛r❦❡t ❤♦❧❞s ❛ st❛♥❞❛r❞ ❣r♦✇t❤ ♦♣t✐♦♥✳ ■t

♣r❡❢❡rs t♦ ✇❛✐t ✐❢ t❤❡ ✜rst ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦❝❝✉rs ❡❛r❧② ❡♥♦✉❣❤ ✭❜❡❢♦r❡Y_F ✐s r❡❛❝❤❡❞✮✱ ❛♥❞ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✐t

♣r❡❢❡rs t♦ ✐♥✈❡st ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❢♦❧❧♦✇❡r ♣♦❧✐❝② ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ✜rst ✐♥✈❡st♠❡♥t t❤r❡s❤♦❧❞Yi

✐s t❤❡r❡❢♦r❡Y_F^∗ = max{Y_i, Y_F}✱ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇❡r ✈❛❧✉❡F(Y_F^∗;K)✳ ❇② ❜❛❝❦✇❛r❞ ✐♥❞✉❝t✐♦♥✱

t❤❡ ✜rst st❛❣❡ ❧❡❛❞❡r ♣❛②♦✛ ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ L(Y_i, Y_F^∗)✳

■♥ t❤❡ ✜rst st❛❣❡✱ ❛ ❣✐✈❡♥ ✜r♠ i✬s ♣❛②♦✛ ✐s t❤✉s

V (Y_i, Y_−i) =









L(Y_i, Y_F^∗) ✐❢ Y_i < Y−i

p(Y_i;K)L(Y_i, Y_F^∗) +p(Y_i;K)F(Y_F^∗;K) + (1−2p(Y_i;K))M(Y_i) ✐❢ Y_i =Y_−i

F(Y_F^∗;K) ✐❢ Yi > Y−i

✭✹✮

✇❤❡r❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❧✐♥❡ ♦❢ ✭✹✮ ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡s t❤❡ t✐❡✲❜r❡❛❦✐♥❣ r✉❧❡ ♦❢ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❢♦r♠ ❣❛♠❡✱ ✇❤✐❝❤

r✉♥s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ■❢ ❛t ❛ ❣✐✈❡♥ ♠♦♠❡♥t ❜♦t❤ ✜r♠s s❡❡❦ t♦ ✐♥✈❡st✱ ✇❤❡r❡❛s ✐t ✇♦✉❧❞ ♦♥❧② ❜❡ ♦♣t✐♠❛❧

❢♦r ♦♥❡ t♦ ❞♦ s♦ ✭✐✳❡✳ ✐❢ F(Y_F^∗;K) > M(Y_i)✮✱ t❤❡♥ t❤❡② ❢❛❝❡ ❛ ❦♥♦✇♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

✭❋✉❞❡♥❜❡r❣ ❛♥❞ ❚✐r♦❧❡ ❬✶✸❪✮✳ ■❢ ❝♦♦r❞✐♥❛t✐♦♥ ✐s s✉❝❝❡ss❢✉❧✱ ❡✐t❤❡r ✜r♠ ✐s ❡q✉❛❧❧② ❧✐❦❡❧② t♦ ✐♥✈❡st ❛s

❛ ❧❡❛❞❡r ♦r ❛s ❛ ❢♦❧❧♦✇❡r✱ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p(Y_i;K) =





F(^Y_F^∗;K)^−M(Yi)

L(Yi,Y_F^∗)+F(Y_F^∗;K)−2M(Yi) ✐❢ L(Y_i, Y_F^∗)≥F(Y_F^∗;K)

0 ✐❢ L(Y_i, Y_F^∗)< F(Y_F^∗;K) ✳ ✭✺✮

❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ (1−2p(Yi;K)) ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ✏♠✐st❛❦❡♥✑ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦❝✲

❝✉rs✳^✶✶

✶✶❖♥❡ ❝♦♥tr❛st ❜❡t✇❡❡♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ r❡❛❧ ♦♣t✐♦♥ ❣❛♠❡ ✐s t❤❛t t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❧❡❛❞❡r ❛♥❞ ❢♦❧❧♦✇❡r

✶✵

◆♦t❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ❦✐♥❞s ♦❢ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s t❤❛t ❝❛♥ ❛r✐s❡ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✳

■❢ ♦♥❡ ✜r♠ ✐♥✈❡sts ✜rst ❛♥❞ t❤❡r❡❜② t❛❦❡s t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ✐♥♥♦✈❛t♦r✱ ❜✉t ❞♦❡s s♦ ❛t ❛ s✉✣❝✐❡♥t❧② ❤✐❣❤

t❤r❡s❤♦❧❞ ✭Y_i ≥ Y_F✮✱ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ✜r♠ t❤❡♥ ❝❤♦♦s❡s t♦ ✐♥✈❡st ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❛❢t❡r✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ✐t t❛❦❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇❡r r♦❧❡ s♦ ✐ts ♣❛②♦✛ ✐sF(Y_i;K)✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✐❢ ❜♦t❤ ✜r♠s ❛tt❡♠♣t t♦ ✐♥✈❡st s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② ✇✐t❤♦✉t ❝♦♦r❞✐♥❛t✐♥❣ t❤❡✐r ✐♥✈❡st♠❡♥ts✱ t❤❡② r❡❝❡✐✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣❛②♦✛ M(Y_i)✳

■♥ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ t❤❛t ❢♦❧❧♦✇s✱ ✇❡ ❡st❛❜❧✐s❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ✐♠✐t❛t✐♦♥ ❝♦st✱ ✇❤✐❝❤

✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② K✱b ^✶✷ t❤❛t ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ✐♥✈❡st♠❡♥t ❣❛♠❡✳ ❚❤✐s ✐♠✐t❛t✐♦♥

❝♦st ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✐♠♣❧✐❝✐t❧② ❜② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❛t ✜r♠s ❛r❡ ✐♥❞✐✛❡r❡♥t ✐♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡

✐♥♥♦✈❛t♦r ❛♥❞ ✐♠✐t❛t♦r ♣❛②♦✛s ✇❤❡♥ t❤❡s❡ ❛r❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ❛t t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ st❛♥❞❛❧♦♥❡ t❤r❡s❤♦❧❞s✱ t❤❛t

✐sL(Y_L, Y_F^∗) =F

Y_F^∗;Kb

✭♥♦t❡ t❤❛tY_F^∗ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢K✮✳ ❋♦rK ≥Kb s♦ t❤❛t ✐t ✐s ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞

✐♥ [Y_t,∞)✱ ❞❡✜♥❡ ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ s❤♦❝❦ Y_t✱ t❤❛t ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② Y_P✱ ❛s t❤❡

❧♦✇❡r r♦♦t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ L(Y_P, Y_F^∗) = F(Y_F^∗;K)✳ ❚❤✐s t❤r❡s❤♦❧❞ ✐s ✉s✉❛❧❧② r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡

♣r❡❡♠♣t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞✱ ❛♥❞ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ♣♦✐♥t ♦❢ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥♥♦✈❛t✐♥❣ ❛♥❞ ✐♠✐t❛t✐♥❣✳

❚❤❡♥✱^✶✸

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ❚❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ✐♥✈❡st♠❡♥t ❣❛♠❡ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts

❛ t❤r❡s❤♦❧❞ ✐♠✐t❛t✐♦♥ ❝♦st Kb ≤I s✉❝❤ t❤❛t✿

(i) ✐❢ t❤❡ ✐♠✐t❛t✐♦♥ ❝♦st ✐s ❧♦✇ ✭K <Kb✮✱ ✜r♠s ♣❧❛② ❛ ❣❛♠❡ ♦❢ ❛ttr✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✐♥♥♦✈❛t♦r ✐♥✈❡st♠❡♥t t❤r❡s❤♦❧❞ ✭YeI = minn

Ye1,Ye2

o✮ ✐s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ♦✈❡r ❛ ♣♦ss✐❜❧② ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞ s✉♣♣♦rt

❜♦✉♥❞❡❞ ❜❡❧♦✇ ❜② t❤❡ st❛♥❞❛❧♦♥❡ ❧❡❛❞❡r t❤r❡s❤♦❧❞ ✭Y_L✮✱ ❛♥❞ ✐♠✐t❛t♦r ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦❝❝✉rs ❡✐t❤❡r ❛t t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ st❛♥❞❛❧♦♥❡ ❢♦❧❧♦✇❡r t❤r❡s❤♦❧❞ ✭Y_F✮ ♦r ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❛❢t❡r t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t♦r✬s ❡♥tr②✳

(ii)✐❢ t❤❡ ✐♠✐t❛t✐♦♥ ❝♦st ✐s ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ✭K=K✮✱ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐♥♥♦✈❛t♦r ✐♥✈❡st♠❡♥t t❤r❡s❤♦❧❞s ❛r❡b Y₁^∗ = Y₂^∗ = Y_L✱ ❛♥❞ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ♦❝❝✉r ❛t t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ st❛♥❞❛❧♦♥❡ ❧❡❛❞❡r ❛♥❞ ❢♦❧❧♦✇❡r t❤r❡s❤♦❧❞s

✭Y_L, Y_F✮✳

(iii)✐❢ t❤❡ ✐♠✐t❛t✐♦♥ ❝♦st ✐s ❤✐❣❤ ✭K >K✮✱ ✜r♠s ♣❧❛② ❛ ❣❛♠❡ ♦❢ ♣r❡❡♠♣t✐♦♥✳ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐♥♥♦✈❛t♦rb

✐♥✈❡st♠❡♥t t❤r❡s❤♦❧❞s ❛r❡ Y₁^∗=Y₂^∗=Y_P✱ ❛♥❞ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ♦❝❝✉r ❛t t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞s ✭Y_P, Y_F✮✳

♣❛②♦✛s ❣❡♥❡r❛❧❧② ❞✐✛❡r ❛tYF ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛s②♠♠❡tr② ✐♥ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❝♦sts✳ ❋♦r s♦♠❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢K✱ t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢

t❤❡ ♠✐st❛❦❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②1−2p(Yi;K)✐s ♥♦♥✲♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✭❙❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ❄❄✮✳

✶✷❙❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ❆✳✷ ❢♦r ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢Kb:=

(1 +β((πM/πD)−1))/(πM/πD)^β1/(β−1)

I✳

✶✸◆♦t❡ t❤❛t s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ♥❡✈❡r ♦❝❝✉rs ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❢♦r s❡✈❡r❛❧ r❡❛s♦♥s✳ ■♥ t❤❡ ❛ttr✐t✐♦♥ r❛♥❣❡✱ t❤❡

s❡tt✐♥❣ ♦❢ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ st❛❣❡1t❤r❡s❤♦❧❞s ✭Ye1=Ye2✮ ✐s ❛ ③❡r♦ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❡✈❡♥t✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ✐❢ ✐t ❡✈❡r ✇❡r❡ t♦ ❤❛♣♣❡♥ ✜r♠s

✇♦✉❧❞ ✐♥✈❡st s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ t✐❡✲❜r❡❛❦✐♥❣ r✉❧❡✳ ■♥ t❤❡ ♣r❡❡♠♣t✐♦♥ r❛♥❣❡✱ ✜r♠s ❝❤♦♦s❡ ✐❞❡♥t✐❝❛❧

t❤r❡s❤♦❧❞s ✭Y1^∗=Y₂^∗✮ ❜✉t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s♦ t❤❛t ❡✐t❤❡r ✜r♠ ✐♥✈❡sts ❛s ❛ ❧❡❛❞❡r ✇✐t❤ ❡q✉✐♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳

✶✶