Höhere Mathematik 4 Formelsammlung (Sommersemester 2014)

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

Mathematik 4

1. N¨ utzliches Wissen e

^ix

= cos(x) + i · sin(x)

1.1. Sinus, Cosinus

sin²(x)+cos²(x) = 1

x 0 π/6 π/4 π/3 ¹₂π π 1¹₂π 2π ϕ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ sin 0 ¹₂ √¹

2

√3

2 1 0 −1 0

cos 1

√ 3 2 √1

2 1

2 0 −1 0 1

tan 0

√ 3

3 1 √

3 ±∞ 0 ∓∞ 0

Additionstheoreme Stammfunktionen cos(x−^π

2) = sinx ´

xcos(x) dx= cos(x) +xsin(x) sin(x+^π₂) = cosx ´

xsin(x) dx= sin(x)−xcos(x) sin 2x= 2 sinxcosx ´

sin²(x) dx=¹₂ x−sin(x) cos(x) cos 2x= 2 cos²x−1 ´

cos²(x) dx=¹₂ x+ sin(x) cos(x) sin(x) = tan(x) cos(x) ´

cos(x) sin(x) =−¹₂cos²(x) Sinus/Cosinus Hyperbolicussinh,cosh

sinhx=¹₂(e^x−e^−x) =−i sin(ix) cosh²x−sinh²x= 1 coshx=¹₂(e^x+e^−x) = cos(ix) coshx+ sinhx=e^x Kardinalsinussi(x) =^sin(x)_x genormt:sinc(x) =^sin(πx)_πx

1.2. Integrale

´

e^xdx=e^x= (e^x)⁰ Partielle I:´

uw⁰=uw−´

u⁰w=w(b)u(b)−w(a)u(a)−´_b au⁰w Substitution:´

f(g(x))g⁰(x) dx=´ f(t) dt

F(x) f(x) f⁰(x)

[

0.1em]1q+ 1x^q+1 x^q qx^q−1 [

0.1em]2√ ax³3

√ax ₀^[.1em]a2√ ax

xln(ax)−x ln(ax) ^a_x

1

a2e^ax(ax−1) x·e^ax e^ax(ax+ 1) ax

ln(a) a^x a^xln(a)

−cos(x) sin(x) cos(x)

cosh(x) sinh(x) cosh(x)

−ln|cos(x)| tan(x) ₀^[.1em]1cos²(x)

´e^atsin(bt) dt=e^{at asin(bt)+b}_{a2 +b2}^cos(bt)

´ √dt at+b= ²

√at+b a

´t²e^atdt=^{(ax−1)2 +1} a3 e^at

´te^atdt=^at−1

a2 e^at ´

xe^ax2dx=_2a¹e^ax2

1.3. Wichtige Formeln

Dreiecksungleichung:

|x| − |y|

≤ |x±y| ≤ |x|+|y|

Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

x^>·y

≤ kxk · kyk Bernoulli-Ungleichung: (1 +x)ⁿ≥1 +nx Aritmetrische Summenformel

n P k=1

k= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ Geometrische Summenformel

n P k=0

q^k= ^1−qn_1−q⁺¹

Binomialkoeffizient _n

k

= _n n−k

=_k!·(n−k)!^n!

i =√

−1 |z|²=zz^∗=x²+y²

r=p

x²+y², ϕ=tan⁻¹(^y_x), x=rcos(ϕ), y=rsin(ϕ)

1.4. Determinante von

A∈K^n×n

:

det(A) =|A|

det A e

0 C e

e D f

!

= det A e

B 0 e e

D f

!

= det(A e

)·det(D f ) HatA

e

2 linear abh¨ang. Zeilen/Spalten⇒ |A e

|= 0 Entwicklung. n.iter Zeile:|A

e

|= n P i=1

(−1)^i+j·a_ij· |A e

ij|

Inverse2×2:

"

a b

c d

#−1

= _ad−bc¹

"

d −b

−c a

#

1.5. Exponentialfunktion und Logarithmus

e⁰=e^i2π= 1 a^x=e^xlna log_ax= ^lnx_lna lnx≤x−1 ln(x^a) =aln(x) ln(^x_a) = lnx−lna log(1) = 0

1.6. Reihen

∞ P n=1

1 n→ ∞ Harmonische Reihe

∞ P n=0

q^n|q|<1= _1−q¹ Geometrische Reihe

∞ P n=0

zn n! =e^z Exponentialreihe

2. Grundlagen der Numerik

Begriffe:

Numerik liefert zahlenm¨aßige L¨osung eines Prob. mit Algo Kondition Ein Maß wie stark sich Eingabefehler auf die Ausgabe

auswirken.κ=^kδfk_kδxk→ |f⁰(x)|

f(x) Mathematisches Problemfmit exakter Eingabex f(˜˜x) Numerischer Algorithmusf˜mit gerundeter Eingabex˜

2.1. Zahlen und Arithmetik im Rechner

Gleitkommazahlen nach IEEE 754: W ert= (−1)^s·2^e−127·1.f s∈

−1; 1 : Vorzeichen,e∈Z: Exponent,f∈N: Mantisse Anzahl der Maschinenzahlen|M|= 2a(b−1)b^t−1+ 1 Maschinengenauigkeit (Abstand von 1 zur n¨achst gr¨oßeren Zahl) In MATLAB: 64bit :eps≈2∗10⁻¹⁶ 32bit:eps≈1∗10⁻⁷var=1;

while 1+var>1; var=var/2; end; maschgen=var*2

2.2. Kondition:

κ_abs(x) = f⁰(x)

κ_rel(x) = f0(x)

·|x|

|f(x)| κ(A) = A⁻¹

· kAk Nichtlin. Gl.:f(¯x) = 0∩f∈C¹→κ_abs=

(f⁰(¯x))⁻¹ Fallsκ_rel100: gute Konditionierung. Pr¨ufe noch obdet(A

e )6= 0!

Verkettungh=g(f(x)) κ^h_abs(x) =κ^g_abs(f(x))κ^f_abs(x)

2.3. Fehler

Absolut:

f(x)˜ −f(x)

Relativ:

f(x)−f(x)˜ kf(x)k

2.4. Stabilit¨ at

∀x∈X ∧ x˜:^kx−˜_kxk^xk=O(_b,t) Vorw¨artsstabil:

f(x)−f( ˜˜ x)

kf(x)k =O(_b,t) R¨uckw¨artsstabil:∀x∈X: ˜f(x) =f(˜x)

Horna-Schema f¨ur Polynome:(...((an)x+an−1)x+...+a1)x+a0

3. Matrix Zerlegung

3.1. LR-Zerlegung von Matrizen (Lower and Upper)

Geeignetes L¨osungsverfahren f¨urA

e

x=b, fallsn <500 A

e

=L e

·R e

mitR e

ist obere Dreiecksmatrix Gaußverfahren durch Matrixmultiplikaiton

•Zerlegen des ProblemsA e

x=bin das ProblemL e

(R e

x) =bmit A

e

=L e R

e bzw.L

e y=P

e

b(mit Pivotisierung)

•Zerlegungsmatrix (f¨ur2×2):

A e

=

"

a b

c d

#

→

"

a b

c

a d−_a^cb

#

=A e

∗mit den Eliminations-

faktorenl_ik= ^aik akk

z.B.= ^c_a

•F¨ur jede Spalte der unteren Dreiecksmatrix wiederholen.

F¨ur eine3×3Matrix br¨auchte man 2 Durchl¨aufe, da 3 Spalten Elimationsfaktoren bestimmt werden m¨ussen.

•R e

=triu(A e

∗)

(obere Dreiecksmatrix vonA e

∗, inkl. Diagonalelemente)

•L e

=tril(A e

∗,−1) +1

(untere Dreiecksmatrix mite 1en auf der Diagonale.

•Vorw¨artseinsetzen:L e

y=bbzw.L e

y=P e

b(mit Pivotisierung) (L¨ose nachy)

•R¨uckw¨artseinsetzen:R e

x=y (L¨ose nachx) 3.1.1 Pivotisierung (Spaltenpivotsuche) PermutationsmatrixP

e

>=P e

−1vertauscht Zeilen, damit LR Zerlegung bei 0 Eintr¨agen m¨oglich ist. Tausche so, dass man durch die betragsm¨aßig gr¨oßte Zahl dividiert (Pivoelement)

3.2. QR-Zerlegung

A

e

=Q e R

e mitQ

e

−1=Q e

>

Verfahren: Housholder (numerisch stabil) , Gram-Schmidt, Givens Rotati- on.

A e

−EZF−−−→H f A

e

−EZF−−−→H˜ f H f A e

=R e

⇒A e

=H f

>H˜ f

>R Aufgabe: Finde Vektorvder Senkrecht aufH e

f steht.

Q/R Zerlegung f¨urA e

∈R^m×n

•Setzea=s₁(erste Spalte) undv=a+ sgn(a₁)kake₁

•Konstruiere dieHouseholderTransformationsmatrix mit H

f v=E

e m− ²

v>vvv^>

•Erhalte die MatrixH f

vA e

die in der ersten Spalte bis auf das Element a₁₁nur Nullen enth¨alt

•SetzeQ e

1=H f v

•Wende den gleichen Algorithmus auf die UntermatrixA e

∗(H f

vA ohne erste Zeile und Spalte) an. e

•Setze anschließendQ e

2=H f

vund f¨ulle mit erweitere mitE_m(d.h.

erste Zeile und Spalte die vonE_m)

•Nachp= min

m−1, n Schritten:H f

vA e

∗ist obere Dreiecks- matrix→Disco, disco, party, party; )

•Somit ist mitQ e

=Q e

1· · ·Q e

pistQ e

>A e

=R

•R e e

=Q e

p· · ·Q e

1∗A e Anwendungen

L¨osen von LGSen mit der QR Zerlegung Bestimme x durch R¨uckw¨artssubsitution ausR

e x=Q

e

>b

Anwendung in der linearen Ausgleichsrechnung (Minimierung d. Re- stes)

L¨osen der NormalengleichungA e

>A e

x=A e

>b

•Bestimme eine reduzierte QR-Zerlegung A

e

= ˜Q e R˜ e

mitQ˜ e

∈R^m×n,R˜ e

∈R^n×n

•L¨oseR˜ e

x= ˜Q e

>b

b−A

e x

2= Q

e

>(b−A e x)

2=

˜b−R˜ e x

2+kck²≥ c²

4. Fixpunktiteration

Nullstellenproblemf(x) = 0

Fixpunktproblemϕ(x) =x mitϕ(x) =g(x)f(x) +x Rekursive L¨osung: x_i+1=ϕ(x)

MATLAB:x=s; for k=1:n; x=phi(x); end

4.1. Konvergenz von Iterationsverfahren

Falls(x_k)_kmitx₀=sundx_k+1=ϕ(x_k)dann ist der Grenzwert von (x_k)_kein Fixpunkt vonϕ, dennx= lim

k→∞ϕ(x_k) =ϕ( lim k→∞x_k) = ϕ(x)

Fehlere_k=|x_k−x∗|

Libschitzstetig:∃L <∞:kf(a)−f(b)k ≤Lka−bk Stabiler Fixpunkt bei:|ϕ⁰|<1

Globaler Konvergenzsatz von Banach f¨urϕ:D→Rⁿ Falls

• D⊆Rⁿist abgeschlossen (Bspl: beiD∈[0,1])

• f(D)⊆D(Selbstabbildung)

• ∃L= sup x∈D

ϕ⁰(x)

<1 (Kontraktion)

Dann konvergiertϕ∀x₀∈Deindeutig gegenx∗und es gilt folgende Fehlerabsch¨atzung:

• A-Priori:kx_k−x_∗k ≤_1−L^Lk kx₁−x₀k ≤ε

• A-posteriori:kx_k−x∗k ≤_1−L^L

x_k−x_k−1

• F¨ur Genauigkeitε:k≥ln _ε(1−L)

kx1−x0k

/ln(L) Lokale Konvergenz:ϕ([a, b])⊆[a, b] ∧

ϕ⁰([a, b]) <1 Lokale Konvergenz ohne Norm:Fallsmaxλ_i<1mitλ_iis EW vonJ

e ϕ

5. Iterative N¨ aherungsverfahren

Problemstellung

SchreibeA

e

x=bin ein Fixpunktproblem um:

FindeA e

=M f

−N f

mitM f

ist invertierbar. ⇒(M f

−N f

)x=b φ(x) =M

f

−1N f

x+M f

−1b=T e

x+C e F¨ur jedesx0∈Rⁿkonvergent, falls Spektralradiusρ(M

f

−1N f

)<1 Je kleiner der Spektralradius vonM

f

−1N f

desto bessere Konvergenz.

A e

=M f

−N f

Systemmatrix D

f

Diagonalmatrixdiag(diag(A e )) L

e

negative linke untere Dreiecksmatrix R

e

negative rechte obere Dreiecksmatrix

Wichtige Begriffe

Diagonaldominante Matrix:Diagonalelemente sind gr¨oßer als die restli- chen Elemente der selben Zeile:|a_ii|>P

j|a_ij|mitj6=i Spektralradiusρ(A

e

)einer MatrixA e

:Betragsm¨aßig gr¨oßter Eigenwert.

Konvergenzbeweis aller Verfahren: Gershgorinkreise um die Null mitr≤ 1

5.1. Jacobiverfahren

Konvergiert∀x₀∈Rⁿ, fallsA

e

strikt diagonaldominant.

x₀=s∈Rⁿ A e

=D f

−(L e

+R e ))

x_k+1=φ(x_k) =D f

−1·(b+ (L e

+R e

)·x_k) Komponentenweise:x_k+1= (a⁻¹_ii (b_i− P

j=1,j6=i a_ijx_k,j)_i

f u n c t i o n R = c h o l e s k y ( A )% O : 1 / 3 * n ^ 3 + 1 / 2 * n ^ 2 + 1 / 6 * n [ m , n ]=s i z e( A ) ;

if m ~= n , e r r o r(’ A m u s s q u a d r a t i s c h s e i n . ’) ; end R =z e r o s( n ) ; R (1 ,1) =s q r t( A (1 ,1) ) ;

if n ==1 r e t u r n;end R (1 ,2: n ) = A (1 ,2: n ) / R (1 ,1) ; R (2: n←- ,2: n ) = c h o l e s k y ( A (2: n ,2: n ) - R (1 ,2: n ) ’* R←- (1 ,2: n ) ) ;

end

Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bittesofortmelden. von LaTeX4EI - Mail:info@latex4ei.de Stand: 14. Juli 2014 um 12:01 Uhr 1

5.2. Gauß-Seidel Verfahren

Unterschied zu Jacobi: Komponentenweise Berechnung vonxmit bereits iterierten Werten. (K¨urzere Iterationszyklen)

Konvergenz:A e

ist strikt diagonaldominantoderA e

ist positiv definint.

Komponentenweise Darstellung:

x^(k+1)_i =a⁻¹_ii



b_i− i−1 X j=1

a_ijx^(k+1)_j − n X j=i+1

a_ijx^(k)_j





Matrixdarstellung:

x^(k+1)= (D f

−L e

)⁻¹· R e

x^(k)+b MitA

e

= (D f

−L e

)−R x_neu=N f

b+M f

x_alt

5.3. SOR (Successive Over-Relaxation) Verfahren

Konvergenz:f¨ur0< ω <2und positiv definitesA

e x^(neu)_k+1 =ωx^(alt)_k+1 + (1−ω)x_k

Bestimmeωso, dass die Konvergenz besser wird:ωopt= _2−λ² 1−λ2 Matrixdarstellung:

x_k+1= (1 e

n−ωD f

−1L e

)⁻¹((1−ω)1 e

n+ωD f

−1R e

)x_k+ω(1_n− ωD

f

−1L e

)⁻¹D f

−1b A

e

= (_ω¹D f

−L e

)− (_ω¹ −1)D

f +R

e Komponentendarstellung:

x^k+1_i =ωa⁻¹_ii b_i− i−1

P j=1

a_ijx^(k+1)_j − Pⁿ j=i+1

a_ijx^(k)_j

! + (1−

ω)x^(k)_i

6. Nichtlineare Gleichungen

Problemstellung

Gegeben nichtlineare, stetige Funktion f: [a₀, b₀]→R, f(a₀)·f(b₀)<0

6.1. Bisektionsverfahren

Globale, lineare Konvergenz mit|x^∗−x_k| ≤ ¹ 2k(b0−a0) Bisektionsverfahren

• x_k=¹₂(a_k+b_k)

• a_k+1=a_k, b_k+1=x_k , fallsf(a_k)f(x_k)<0 a_k+1=x_k, b_k+1=b_k , sonst

• Abbruch falls|b_k−a_k|< εoder maxiter erreicht

6.2. Newton-Raphson-Verfahren

Funktion durch Gerade ann¨ahern und Nullstelle bestimmen. An dieser Stelle den Vorgang wiederholen. Nur geeignet f¨ur einfache Nullstellen.

∃UmgebungUmitf⁰(x)6= 0∀x∈U x_k+1=x_k− f(x_k)

f⁰(x_k) x_k+1=x_k−J

e

−1

f (x_k)f(x_k) MATLAB:

x=x−J e

f\f Abbruchkriterium:

x_k−x^∗

≤ k∆xk+c x_k−x^∗

Konvergenz: Startwerte in Bereiche von FP und 0-Stellen einteilen, Grenzen testen, Ableitung sagt zu welcher Grenze es Konvergiert.

6.2.1 Vereinfachtes Newtonverfahren

Man benutzt die Jacobimatrix ¨uber mehrer Iterationen.

Bemerkungen: Es gibt keine Existenz und Eindeutigkeitsaussage zur L¨osbarkeit des Nullstellenproblems

J e

f(x) =





∂f1

∂x1

∂f1

∂x2

∂f2

∂x1

∂f2

∂x2





7. Optimierung

Problemstellung

f:

Zielfunktion X

Zul¨assigkeitsbereich⊆R^d→R gesucht:minf= max−f

∇f(x^∗) = 0undH f

f(x^∗)pos. definit. (Numerische Katastrophe)

7.1. Abstiegsverfahren / Gradientenverfahren

Konvergenz: linear

Abstiegsverfahren

•Bestimme Abstiegsrichtungv_k:∇f(x_k)v_k<0 Gradientenverfahren:v_k=−∇f(x_k)

•Bestimme Schrittweiteh_k:f(x_k+h_kv_k)< f(x_k) Armijo:maxh_k∈

1,¹₂,¹₄,¹₈, ...

f(x_k+h_kv_k)< f(x_k) +h_kγ∇f(x_k)^>v_k γ∈]0,1[

•Setzex_k+1=x_k+h_kv_k

•Abbruch, fallsx_kapproximativ station¨ar ist.

7.2. Das lokale Newton-Optimierungsverfahren

Geg:f∈ C², Ges:x^∗:∇f(x^∗) = 0

lokales Newton-Optimierungsverfahren

•W¨ahle Startpunktx₀∈R^d

•Falls∇f(x_k) = 0→Stop: Ergebnisx_k

•Bestimmev_kdurch l¨osen vonH f

f(x_k)v_k=−∇f(x_k)

•Setzex_k+1=x_k+v_k

7.3. Das globale Newton-Optimierungsverfahren

Geg:f∈ C², Ges:x^∗:∇f(x^∗) = 0

globales Newton-Optimierungsverfahren

•Bestimmev_kdurch l¨osen vonH f

f(x_k)v_k=−∇f(x_k) Falls∇f(x_k)^>v_k0→Newtonschritt

Falls∇f(x_k)^>v_k60→Gradientenverfahren mit Armijo

•Setzex_k+1=x_k+v_k

•Abbruch, fallsx_kapproximativ station¨ar ist.

8. Funktionentheorie (Komplexe Funktionen)

8.1. analytische (holomorphe, regul¨ are) Funktionen

f Eine Funktionfist

analytisch/holomorph fallsfinGkomplex differenzierbar ist.

ganz fallsfin ganzCkomplex differenzierbar ist.

konform falls Kurven Winkel- und Orientierungstreu bleiben.

fist genau dann holomorph, fallsf(x+yi) =u(x, y) + iv(x, y)und

•u, vsind stetig partiell diffbar

•Cauchy-Riemann DGLs sind erf¨ullt (mitf(z) =f₁(z) +if₂(z)):

∂₁f₁(z) =∂₂f₂(z) ∂₁f₂(z) =−∂₂f₁(z) Holomorph:exp,sin,cosh, Polynome,f±g,f g,^f_g,f(g)

f u n c t i o n[ x , n ]= b i s e k t i o n ( f , a , b , TOL ) fa =f e v a l( f , a ) ; fb =f e v a l( f , b ) ;

n =0;

if fa = = 0 ; x = a ; r e t u r n;end if fb = = 0 ; x = b ; r e t u r n;end

if fa * fb >0; e r r o r(’ sgn ( f ( a ) ) == sgn ( f ( b ) ) ’) ;end if a > b ; e r r o r(’a > b , l e e r e s I n t e r v a l l ’) ;end w h i l e b - a > TOL

x = a + 0 . 5 * ( b - a ) ; fm =f e v a l( f , x ) ; if fm = = 0 ; b r e a k; end if fa * fm >0 , a = x ; fa = fm ;else, b = x ; fb = fm ;end n = n +1;

end

8.2. harmonische Funktionen

u, v ubzw.vsind harmonisch, falls gilt:

∆u=∂_xxu+∂_yyu= 0 ∆v=∂_xxv+∂_yyv= 0 oder fallsf(z) =u+ ivholomorph ist; denn mit Satz von Schwarz:

∆u=∂_yxv−∂_xyv= 0 ∆v=−∂_yxu+∂_xyu= 0 Bestimmung der harmonischen Konjugierten

•geg: harm. Fkt.u:G→R,(x, y)→u(x, y)

•ges: harm. Fkt. v : G → R,(x, y) → v(x, y) so, dass f:G→V, f(z) =u(x, y) + iv(x, y)

•v(x, y) =´

uxdymit Integrationskonstanteg(x)

•vx=−u_y⇒g⁰(x)

•g(x) =´

g⁰(x) dx⇒vbis auf KonstanteCbestimmt

•zugeh¨orige holomorphe Fkt.f(z) =u(x, y) + iv(x, y)

8.3. M¨ obiustransformation

Cˆ=C∪

∞

Einzige bijektive, holomorphe, konforme Abbildung vonˆCauf sich selbst.

f:C\−^d

c →C\−^d

c ,f(z) =^az+b_cz+d ad−bc6= 0 f⁻¹(w) =_−cw+a^dw−b

8.4. Komplexes Kurvenintegral

f¨urD⊂CGebiet,f :D→Cstetig,γ: [t₁, t₂]→stetig diffbar orientierte Kurve.

So brechnet man ein komplexes Kurvenintegral

•Bestimme Parametrisierung vonγ=γ₁+. . .

•Stelle Inegrale auf

´

γif(z) dz=^bi´ ai

f γ_i(t)

·. γ_i(t) dt

Fallsfholomorph:´

γf(z) dz=F γ(b)

−F γ(a)

•Berechne die Integrale und addiere:

´ γ

f(z)dz= P^h i=1

´

γif(z) dz

8.5. Cauchy-Integralformel

(falls Unstetigkeitsstelle auf GebietG) Fallsγgeschl. doppelpunktfreie Kurve in einfach zsh. GebietGmit holomorphen Fkt.f, gilt f¨ur jedes z0∈G

f(z₀) = 1 2πi

ˆ γ

f(z) z−z₀dz f^(k)(z₀) =_2πi^k! ¸

γ f(z) (z−z0 )k+1dz

8.6. Integralsatz von Cauchy

Falls keine Unstetigkeitsstelle innerhalb der Kurveγ

f:G→Ckomplex diffbar auf offenem, einfach zusammenh¨angendem GebietG⊂C.γsei einfach geschlossene Kurve inG(keine Doppel- punkte).¸

γ

f(z) dz= 0

8.7. Singularit¨ aten

Isolierte Singularit¨atz₀: f:G\

z₀ →C (einzelne Punkte) Hebbare Sing., fallsfauf punktierter Umgebung beschr¨ankt ist.

Polmter Ordnung:(z−z_o)^mf(z)ist hebbar inz₀ Wesentliche Singularit¨at: Sonst.

% O : 2* n ^2 im k - ten Schritt , f a l l s A v o l l b e s e t z t f u n c t i o n[ x , N ] = g a u s s _ s e i d e l ( A , b , d e l t a ) x = b ; N =0;

for i = 1 : 2 0 0

x =t r i l( A ) \( b -t r i u( A ,1) * x ) ; N = N +1;

if n o r m( b - A * x ) < d e l t a r e t u r n; end end

e r r o r(’ K e i n e K o n v e r g . n a c h 200 I t e r a t i o n e n ’) ; end

8.8. Taylorreihe und Laurentreihe

Taylorreihe:fallsfholomorph:

f(z) =

∞ X k=0

f^(k)z₀ k! (z−z0)^k Laurentreihe:Fallsfnicht holomorph ist.

∞ X k=−∞

c_k(z−z₀)^k

zerf¨allt in P^∞ k=1

d_kw^kmitd_k=c_−kundw=_z−z¹

0 (Hauptteil) und

∞ P k=0

c_k(z−z₀)^k(Nebenteil)

Konvergenz falls Hauptteil und Nebenteil konvergiert.

Konvergenzradien:R= lim

ck ck+1

∈[0,∞]

Resiudensatz:Resz0f=c−1=_2πi¹ ¸ f(z) dz Allgemeiner Residuensatz GGebiet:f :G\

z₁, . . . , z_n →C hol.

∀ doppelpunktfrei, geschlossene und pos. orientierte Kurven γ mit z₁, . . . z_nliegen im Inneren vonγ:

¸

γf(z) dz= 2πiPn

k=1Res_zkf Resz0

g h= _h^g(z_0(z^{0 )}

0 ) Resz0 g(z) (z−z0 )m =^g

(m−1) (z0 ) (m−1)!

Resz0g^h_h⁰ =mg(z₀) m:Ordnung der Polstelle

9. MATLAB

% A u f w a n d : 2* n ^2( m - n /3) = O ( n ^3)

% A n w e n d u n g : [ Q , R ] = qr ( A ) ; x = R \( Q ’* b ) ; f u n c t i o n A = Q R h o u s e h o l d e r ( A )

[ m , n ] =s i z e( A ) ; for k = 1:min( m -1 , n )

v = A ( k :end, k ) ; na = n o r m( v ) ; if v (1) >= 0 , s = 1;

else, s = -1; end;

v (1) = v (1) + s * na ; v = [1; v (2:end) / v (1) ];

A ( k :end, k +1:end) = A ( k :end, k +1:end) - ( 2 / ( v ’* v ) * v ) *( v ’* A ( k :end, k +1:end) ) ; A ( k , k ) = - s * na ;

A ( k +1:end, k ) = v (2:end) ; end

% A u f w a n d : 2 / 3 * n ^3 + 1 / 2 * n ^2 - 1 / 6 * n

% A n w e n d u n g ( i n t e g r i e r t ) : [ L , R , P ] = lu ( A ) ; f u n c t i o n A = LR ( A ) [ n ,~] = s i z e( A ) ;

if ~all(s i z e( A ) == n ) , e r r o r(’ A m u s s q u a d r a t i s c h ←- s e i n . ’) ; end

for k = 1: n I = k +1: n ;

A ( I , k ) = A ( I , k ) / A ( k , k ) ; A ( I , I ) = A ( I , I ) - A ( I , k ) * A ( k , I ) ; end

f u n c t i o n [ x , k ] = n e w t o n ( f , Df , x , maxit , TOL ) for k =1: m a x i t

x _ a l t = x ; x = x - f ( x ) / Df ( x ) ; f p r i n t f(’ % 1 . 1 5 e \ n ’, x )

if n o r m( x - x _ a l t ) < TOL , b r e a k; end end

f u n c t i o n [ A , p ] = L R _ p i v o t ( A ) [ n , m ] =s i z e( A ) ; p = 1: n ;

if m ~= n , e r r o r(’ A m u s s q u a d r a t i s c h s e i n . ’) ; end for k = 1: n

[~ , j ] = max(abs( A ( p ( k : n ) , k ) ) ) ; j = j + ( k -1) ; p ([ k , j ]) = p ([ j , k ]) ;

I = k +1: n ;

A ( p ( I ) , k ) = A ( p ( I ) , k ) / A ( p ( k ) , k ) ;

A ( p ( I ) , I ) = A ( p ( I ) , I ) - A ( p ( I ) , k ) * A ( p ( k ) , I ) ; end

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