Notizen 1097
Beitrag zur Berechnung der strahlenden Rekombinationswahrscheinlichkeit B von eigenleitendem Silicium
T h. W asserrab
Technische H ochschule Aachen Z. Naturforsch. 33 a, 1 0 9 7 -1 0 9 8 (1978);
eingegangen am 23. Juni 1978
Contribution to the Calculation of the Radiative Recombina
tion Probability B in Intrinsic Silicon
Q uan titative calculations o f Varshni, using th e theory o f radiative recom bination o f van Roosbroeck and Shock
ley yield ed a slight increase o f th e recom bination probabi
lity B w ith temperture T. M easurement o f Schlangenotto e t al dem onstrated in contrast a strong decrease o f B w ith
T. I t is poin ted out, th a t this discrepancy is on ly a conse
quence o f using approxim ative n% values (intrinsic carrier concentration) by Varshni. Introduction o f new, corrected data o f ni yields now a remarcable agreem ent betw een calculation and measurement.
V an R oosbroeck und Shockley [1] haben b e k a n n t
lich fü r den Fall des therm odynam ischen Gleich
gew ichts u n d ausgehend vom P rinzip des detaillier
te n Gleichgewichts die Zahl d er strahlenden R ekom binationsvorgänge je Zeit- u n d V olum eneinheit be
rechnet. Sie erhielten (m it der A bkürzung u — hv/IcBT) fü r die R ekom binationsrate Bi
Bi = 8 n c h • c
oo
' S ' - . n^2u2
du (1)
(Lichtgeschw indigkeit c, B oltzm ann-K onstante kb , F requenz v, T em peratur T, W irkungsquantum h, Absorptionskoeffizient oc, B rechungsindex n^).
Bei Abweichungen vom therm odynam ischen Gleichgewicht (mit der Trägerdichte ni) gilt bei in jizierter T rägerdichte (n = p ) ^> n i fü r die R ekom b in atio n srate
E = n • p ( R i / n i 2) = n2 • B , (2)
wobei B = B i / n i2 als R ekom binationsw ahrschein
lichkeit bezeichnet w ird.
V arshni [2] h a t (1) fü r Si q u a n tita tiv ausgew ertet u n d Bi num erisch fü r diejenigen T em peraturen be
rechnet, fü r die a u f die sorgfältigen M essungen des A bsorptionskoeffizienten oc von M acfarlane et al. [3]
zurückgegriffen w erden konnte. V arshni h a t sodann fü r die E rm ittlu n g von B die Eigenleitungs-Träger- dichte ni in M odifizierung einer diesbezüglichen Form el von M orin u n d M aita [4] nach der B e
ziehung
ni2 = 1,575 • 1031 T 3 exp ( - [E g {kB T)]) (3) berechnet, m it Z ahlenw erten für den B an d ab stan d E g von M acfarlane u n d R oberts [5]. D am it erhielt er die in T ab. 1 eingetragenen Zahlen.
Die von V arshni berechneten B-W erte sind auch in Abb. 1 eingetragen w orden u n d zeigen einen schw achen A nstieg m it der T em peratur. E rgänzend sei erw ähnt, daß auch H all [6] einen nahezu ü b er
einstim m enden Zahlen w ert von B = 2 • 10-5 cm 3/s fü r T — 300 K angegeben h a tte . Es ist d ah er v er
ständlich, d aß diese Zahlen werte seither allgemein ak zep tiert w urden (vgl. z.B . Michaelis u n d P ilkuhn [7]). U m so unv erstän d lich er w ar das E rgebnis einer von Schlangenotto, M aeder un d Gerlach [8] k ü rz lich veröffentlichten Messung, wonach, wie eben
falls in Abb. 1 ersichtlich, die 5-M eßw erte eine m it T sta rk fallende T endenz aufweisen. Diese krasse D iskrepanz — die anfangs zu der Auffassung führte, d aß eine w esentliche V erbesserung der Theorie er
forderlich w äre —, findet jedoch eine einfache A uf
klärung, w enn m an s ta tt der von V arshni verw ende
te n %i-Formel (3) eine der vom A utor [9] ange
gebenen genaueren Beziehungen
r T
n t = 5,71 • 1019[
(4)
2,365
300 K e x p ( — 6 7 3 3 K/ T ) c n r 3
T 90 195 290 K
Ri 5,9 io--42 3,4 IO“6 9,2 104 c m - V 1
Varshni, Tabelle 2 •Ui 6,8 io--14 4,9 104 7,2 109 cm -3 LB 1,27 10-15 1,43 1 0 -15 1,79 1 0 -1 5 c m V 1
Gl. (4) rnt 1,0 io--14 2,0 104 4,3 109 cm -3
B 5,9 io--14 8,5 t-H o V iO 5,0 1 0 - ! 5 c m V 1
Gl. (5) nt 6,0 io--15 1,4 104 3,4 109 cm -3
B 1,64 io--13 1,7 1 0 -1 4 8,0 IO“15 cm 3s_1
Tab. 1. V on Y . P. Varshni [2] und dem A utor berechnete Zahlen für die R ekom binationsrate Ri, die Träger
dichte ni und die R ekom binations
w ahrscheinlichkeit B für eigenlei
tendes Si.
1098 Notizen
u n d
Abb. 1. Strahlende R ekom binationsw ahrscheinlichkeit B v on eigenleitendem Si in A bhängigkeit von der Tem pera
tur T.
1: R echnung von Varshni [2] m it approxim ierten rii-Zah
len.
2: Messung von Schlangenotto e t al [8].
3 a, b: R echnung m it korrigierten nt-Zahlen [9],
nt = 1,22 • 1020 m n m v m02
0,75 T
300 K 1,5
e x p (— 7003 Kj T ) cm -3 (5) verw endet. (Sie sind in der erw ähnten A rbeit m it
(1.14) u n d (2.3) bezeichnet.) Die nach diesen Glei
chungen berechneten 2?-Zahlenwerte sind ebenfalls in Tab. 1 u n d Abb. 1 eingetragen un d zeigen n u n m ehr die gleiche T em peraturabhängigkeit wie die M eßwerte [8]. D am it dürfte der wesentliche S ch ritt zur A nnäherung von Messung und R echnung getan sein. Indessen sind noch weitere U ntersuchungen nötig, um auch die noch verbleibende q u a n tita tiv e Differenz zu verringern. Wie die beiden vorstehen
den Wj-Gleichungen (4), (5) zeigen und wie bereits in [9] ausführlicher dargelegt wurde, bedarf die von B arb er [10] angegebene T em peraturabhängigkeit der effektiven Massen noch der sorgfältigen Verifi
zierung.
Die R echnung liefert B als Q uotienten von zwei sehr sta rk tem peraturabhängigen Zahlen. D em ge
m äß können schon geringe Abweichungen von Bi u n d rii erheblichen Einfluß a u f B haben. Insofern ist die d irek te Messung von B nicht nu r fü r die q u a n tita tiv e E rfassung der strahlenden R ekom bi
n ation, sondern auch für die Präzisierung wichtiger K enngrößen von großem W ert.
[1] W . van R oosbroeck and W . Shockley, P hys. R ev. 94, 1558 (1954).
[2] Y . P. Varshni, phys. stat. sol. 19, 459 (1967).
[3] G. G. M acfarlane, T. P . M cLean, J . E . Quarrington, and V. R oberts, P hys. R ev. 111, 1245 (1958).
[4] F. J. Morin and J. P. Maita, P h ys. R ev. 96, 28 (1954).
[5] G. G. M acfarlane and V. R oberts, P h ys. R ev. 98, 1865 (1955).
[6] R . N . H all, Proc. IE E (London) 106B, Suppl. 17, 923 (1959).
[7] W . M ichaelis and M. H. Pilkuhn, phys. stat. sol. 36, 311 (1969).
[8] H . Schlangenotto, H . Maeder, and W. Gerlach, phys.
stat. sol. (a) 21, 357 (1974).
[9] Th. W asserrab, Z. Naturforsch. 32a, 746 (1977).
[10] H . D . B arber, Solid State E l. 10, 1039 (1967).
