UMNW, Mathematik 1, L¨osung Serie 5

UMNW, Mathematik 1, L¨osung Serie 5

Thomas Kuster 8. Dezember 2003

1

siehe serie5 loesung aufgabe1 maple.pdf

2

∂S(m, q)

∂q

=! 0

∂

∂q

n

X

i=0

(mxi+q−yi)² = 0

n

X

i=0

2(mxi+q−yi) = 0

m

n

X

i=0

xi+nq−

n

X

i=0

yi = 0 mn¯x+nq−n¯y = 0

m¯x+q−y¯ = 0

q = ¯y−m¯x

1

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∂S(m, q)

∂m

= 0!

∂

∂m

n

X

i=0

(mxi+q−yi)² = 0

n

X

i=0

2(mxi+q−yi)xi = 0

2

n

X

i=0

(mxi+ ¯y−m¯x−yi)xi = 0

n

X

i=0

mx²i−m¯xxi+xiy¯−xiyi = 0

m

n

X

i=0

x²_i−xx¯ i+

n

X

i=0

xiy¯−xiyi = 0

m

n

X

i=0

x²i−xx¯ i = −

n

X

i=0

xiy¯−xiyi

m = −Pn

i=0xiy¯−xiyi

Pn

i=0x²_i−xx¯ i

m =

Pn

i=0xiyi−xiy¯ Pn

i=0x²_i−xx¯ i

m =

Pn

i=0xiyi−^xi_n^yi Pn

i=0x²_i−^x

2 i n

m =

Pn

i=0nxiyi−xiyi

Pn

i=0nx²_i−x²_i

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zu beweisen ist dasm=

Pn

i=0(xi−¯x)(yi−¯y) Pn

i=0(xi−¯x)² ist Pn

i=0(xi−x)(y¯ i−y)¯ (xi−x)¯²

=?

Pn

i=0nxiyi−xiyi

Pn

i=0nx²_i−x²_i Pn

i=0(xi−x)(y¯ i−y)¯ (xi−x)¯² = m Pn

i=0xiyi−xi¯y−xy¯i+ ¯x¯y Pn

i=0x²_i−2xix¯+ ¯x² = m Pn

i=0xiyi−xi¯y−xy¯i+ ¯x¯y Pn

i=0x²_i−2xix¯+ ¯x² = m Pn

i=0xiyi−^2x_n^iyi+^x_n^iy2i Pn

i=0x²_i−^2x_n^ixi+^x

2 i n²

= m

n²Pn

i=0n²xiyi−2nxiyi+xiyi

n²Pn

i=0n²x²_i−2nxixi+x²_i = m Pn

i=0(n²−2n+ 1)xiyi

Pn

i=0(n²−2n+ 1)x²_i = m Pn

i=0(n−1)²xiyi

Pn

i=0(n−1)²x²_i = m (n−1)Pn

i=0(n−1)xiyi

(n−1)Pn

i=0(n−1)x²_i = m Pn

i=0nxiyi−xiyi

Pn

i=0nx²_i−x²_i = Pn

i=0nxiyi−xiyi

Pn

i=0nx²_i−x²_i

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3

f(x, y) = (sinx)^y f(x, y) = e^{ln ((sinx)y)} f(x, y) = e^{yln sinx}

3.1 DefinitionsbereichDf¨urf(x, y)∈R Betrachte zuerst die Funktiong(a, b) =a^b

D ⊃ R⁺×Rda Wurzeln von Zahlen <0∈/R D ⊃ Z×Zfallsb <0 gilt 1

a

−b

∈Q

nun gilta= sinxundb=y

D ⊃ 2kπ6x6(2k+ 1)π×R k∈Z D ⊃ x=k2π−π

2×Z k∈Z

⇒D = {2kπ < x <(2k+ 1)π|k∈Z} ×R k∈Z

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3.2 Partielle Ableitungen

fx(x, y) = ysinx^y−1cosx fy(x, y) = e^{yln sinx}ln sinx fy(x, y) = (sinx)^yln sinx

fxy(x, y) = ∂

∂yy(sinx)^y−1cosx fxy(x, y) = ∂

∂yye(y−1) ln sinx

cosx fxy(x, y) = ∂

∂yye^yln sinx−ln sinxcosx fxy(x, y) = e(y−1) ln sinx

cosx+y

e(y−1) ln sinx

ln (sinx) cosx+ 0 fxy(x, y) = (sinx)^y−1cosx+y(sinx)^y−1ln (sinx) cosx

fyx(x, y) = ∂

∂x(sinx)^yln sinx

fyx(x, y) = y(sinx)^y−1cosxln sinx+ (sinx)^y 1 sinxcosx

⇒fxy(x, y) = fyx(x, y)

3.3 Punkt(x, y) = (^π₆,2)

fxy=fyx = (sinx)^y−1cosx+y(sinx)^y−1ln (sinx) cosx fxy=fyx = (sinπ

6)²⁻¹cosπ 6+ 2(sinπ

6)²⁻¹ln (sinπ 6) cosπ

6 fxy=fyx = sinπ

6cosπ 6+ 2 sinπ

6cosπ 6ln (sinπ

6) fxy=fyx = sinπ

6cosπ

6(1 + 2 ln (sinπ 6)) fxy=fyx = 1

2

√3

2 (1 + 2 ln1 2) fxy=fyx =

√3 4 −

√3 2 ln 2

4

xAist die Funktion von Anna (gepunktet) undxBdie Funktion von Beat (ausgezogen). Die Funktionen sind symetrisch mit der Symetrieachset= 5.

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Bei der Funktion von Beat handelt es sich um zwei Geraden mit Steigungen 10 bzw. -10. Ich nehme an, dass die Funktion von Anna eine Parabel ist

⇒at²+bt+c=ymit folgenden gegebenen Werten:xA(0) = 0,xA(5) = 50 undxA(10) = 0⇒xA(t) =−2t²+ 20t.

4.1

xA(10) =xB(10)X⇒beide sind gleichschnell.

4.2

max|xA(t)−xB(t)| ⇒ x˙A(t)−x˙B(t) = 0⇒

˙

xA(t) = x˙B(t)

−4t+ 20 = 10 t = 5

2⇒ zum Zeitpunktt=5

2undt= 5 +5 2 4.3

|x˙A(t)| = |−4t+ 20|mitt={2,7} ⇒ {12,8}

|x˙B(t)| = |±10|mitt={2,7} ⇒ {10,10}

4.4

|x˙B(t)|<|x˙A(t)| ⇒06t <⁵₂und 10−⁵2< t610