UMNW, Mathematik 1, L¨osung Serie 7
Thomas Kuster 5. November 2005
1
1.1
x(t) = F¨ullh¨ohe (in Meter) zur Zeitt (in Minuten) x(0) = 10
x(120) = 5
x(t+h) = x(t) +αx(t)h x(t+h)−x(t)
h = +αx(t)
h→0lim
x(t+h)−x(t)
h = αx(t)
˙
x(t) = αx(t) x(t) = ceαt
c eα0
|{z}
1
= 10
⇒c = 10 10·eα120 = 5
eα120 = 1 2 α120 = ln1
2 α = ln12 120 α = −ln 2
120
1
UMNW, Mathematik 1, L¨osung Serie 7 2
1.2
x(t+h) =x(t) + αx(t)h
| {z } Ausfluss V2
+ bh
|{z}
konstanter Ausfluss
˙
x(t) =αx(t)
| {z }
homogener Teil
+ b
|{z}
inhomogener Teil x(t) =xhomogen(t) +xpartikul¨ar(t) 1.3
2
Zu Ordnung der Differtialgleichungen zu den Richtungsfeldern
˙
x=tx2+t2 x˙ =x−t x˙ =−xt
˙
x= x−tx x˙ =x x˙ =t
˙
x= xt x˙ = x−2t−1 x˙ = 2
2.1
x→∞lim
2 +x3cosx+ 1.5x
2 +x2 = lim
x→∞
2 2 +x2
| {z }
=0
+ lim
x→∞
x3cosx 2 +x2
| {z }
=[−1,1]·∞
+ lim
x→∞
1.5x 2 +x2
| {z }
∞
da jedoch gilt
|lim
x→∞
x3cosx
2 +x2 |<|lim
x→∞
1.5x
2 +x2| ⇒ lim
x→∞f(x) =∞
x→−∞lim
2 +x3cosx+ 1.5x
2 +x2 = lim
x→−∞
2 2 +x2
| {z }
=0
+ lim
x→−∞
x3cosx 2 +x2
| {z }
=[−1,1]·∞
+ lim
x→−∞
1.5x 2 +x2
| {z }
0
⇒ lim
x→−∞f(x) oszilliert zwischen−∞ und ∞ 2.2
> fsolve(f,x=-20..-15); # kann man nicht alle auf einmal\
> suchen ohne zu programmieren?
-17.27914744
Aus dem Graph der Funktion kann man ablesen, dass es 13 oder 14 Nullstel- len geben muss. Durch suchen in weiteren Intervallen findet man folgende 13 Nullstellen:
UMNW, Mathematik 1, L¨osung Serie 7 3
-17.27914744 -14.13645783 -10.99708682 -7.849761028 -4.732642621 2.075250069 4.626169720 7.907978386 10.92960813 14.24973935 17.07298153 20.98723434 22.59175091
2.3
d dx
f g
= f0g−f g0 g2
f = 2 +x3cosx+ 1.5x⇒f0 = 3x2cosx−x3sinx+ 1.5xln 1.5 g = 2 +x2 ⇒g0 = 2x
f0g−f g0
g2 =
(3x2cosx−x3sinx+ 1.5xln 1.5)(2 +x2)−(2 +x3cosx+ 1.5x)2x
(2 +x2)2 =
6x2cosx−x5sinx+x4cosx−2x3sinx−4x+ 1.5x(ln 2.25 + ln 1.5x2−2x) (2 +x2)2
3
3.1
x→0lim tanx
x
B d’ H
= lim
x→0
1
cos2(x)·1 = 1 oder Taylor Reihe f¨ur tanx=x+. . .⇒ xx = 1
UMNW, Mathematik 1, L¨osung Serie 7 4
3.2
cos (1 +h) ≈ cos 1−sin 1·h+ah2 suche d dh2
−sin (1 +h) ≈ −sin 1 + 2ah
−cos (1 +h) ≈ 2a
−cos (1 +h)
2 ≈ a
4
˙
w(t) = w(t)−w2(t) x(t) := kw(akt) a, k ∈R
˙
x(t) = ax(t) (k−x(t))
˙
x(t) = akx(t)−ax2(t)
kw(akt)ak˙ = ak2kw(akt)−ak2w2(akt)
˙
w(akt) = w(akt)−w2(akt) mittn=akt
˙
w(tn) = w(tn)−w2(tn)