Polynomdivision
Zu Polynomen p und q mit m = Grad q ≤ Grad p = n gibt es eindeutig bestimmte Polynome f und r mit
p = fq + r, Grad f = n − m, Grad r < m .
Diese Zerlegung kann durch Division mit Rest bestimmt werden, analog zur schriftlichen Division nat¨ urlicher Zahlen.
Ist q ein Linearfaktor, d.h. q(x) = x − t, so ist Grad f = n − 1 und r (x) = r
0= p(t), insbesondere r(x) = 0 f¨ ur eine Nullstelle t von p.
Die Koeffizienten f
kvon f (x) = f
n−1x
n−1+ · · · + f
0k¨ onnen in diesem Spezialfall mit dem Horner-Schema aus den Koeffizienten p
kvon p(x) = p
nx
n+ · · · + p
0berechnet werden:
f
n−1= p
nf
k−1= tf
k+ p
k, k = n − 1, . . . , 1 r
0= tf
0+ p
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Diese Rekursion l¨ aßt sich mit Hilfe des Tableaus p
np
n−1· · · p
1p
0% ∗t tf
n−1· · · tf
1tf
0+ f
n−1f
n−2· · · f
0r
0durchf¨ uhren. Man addiert die sukzessive berechneten Produkte der zweiten Zeile zu den Koeffizienten von p in der ersten Zeile. Da r
0= p(t),
erm¨ oglicht das Horner-Schema die Auswertung eines Polynoms vom Grad
n in 2n Operationen.
Beweis
(i) Division von p durch q:
p
nx
n+ · · ·
| {z }
p(x)
= p
nq
mx
n−m(q
mx
m+ · · · )
| {z }
q(x)
+ ˜ p (x) mit Rest ˜ p(x) = ˜ p
n−1x
n−1+ · · ·
erneute Division, falls m ≤ n − 1:
˜
p(x) = p ˜
n−1q
mx
n−1−mq(x) + ˜ ˜ p(x)
¨ uberspringe den Schritt, falls ˜ p
n−1= 0, d.h. setze ˜ ˜ p = ˜ p
Abbruch, wenn der Grad des Restpolynoms kleiner als m ist, d.h.
sp¨ atestens nach n − m + 1 Schritten sukzessives Einsetzen der Produkte
f (x) = p
nq
mx
n−m+ p ˜
n−1q
mx
n−1−m+ · · ·
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(ii) Division durch einen Linearfaktor:
q (x) = x − t = ⇒
p(x) = (f
n−1x
n−1+ · · · + f
0)(x − t) + r
0x = t = ⇒ p (t) = f (t) · 0 + r
0, d.h. r
0= p(t) (iii) Horner-Schema:
q (x) = x − t = ⇒
p
nx
n+ · · · + p
0= (f
n−1x
n−1+ · · · + f
0)(x − t) + r
0Koeffizientenvergleich
x
n: p
n= f
n−1x
n−1: p
n−1= f
n−2− tf
n−1· · ·
x
1: p
1= f
0− tf
1x
0: p
0= r
0− tf
0Beispiel
Division der Polynome
p(x) = 9x
5+ 12x
4+ 10x
3+ 4x
2+ 4x + 2 q(x) = 3x
2+ 2x + 1
verfahre analog zur schriftlichen Division
( 9x5 + 12x4 + 10x3+ 4x2+ 4x+ 2 ) : (3x2+ 2x+ 1) = 3x3+ 2x2+x+r(x)q(x)
−( 9x5 + 6x4 + 3x3 ) 6x4 + 7x3+ 4x2
−( 6x4 + 4x3+ 2x2 ) 3x3+ 2x2+ 4x
−( 3x3+ 2x2+ x )
3x+ 2 =r(x)
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Schritt 1:
Division der Terme h¨ ochsten Grades von p und q 9x
5/3x
2= 3x
3Subtraktion des Produktes 3x
3q(x) = 9x
5+ 6x
4+ 3x
3von p Rest ˜ p(x) = 6x
4+ 7x
3+ 4x
2+ · · ·
Schritt 2:
Division der Terme h¨ ochsten Grades von ˜ p und q 6x
4/3x
2= 2x
2Subtraktion des Produktes 2x
2q(x) = 6x
4+ 4x
3+ 2x
2von ˜ p Rest ˜ ˜ p(x) = 3x
3+ 2x
2+ 4x + · · ·
. . .
Abbruch, wenn der Grad des Restes kleiner als Gradq = 3 ist; in diesem Beispiel Abbruch mit dem Rest
r(x) = 3x + 2
Zerlegung:
9x
5+ 12x
4+ 10x
3+ 4x
2+ 4x + 2
| {z }
p(x)
= (3x
3+ 2x
2+ x )
| {z }
f(x)
(3x
2+ 2x + 1)
| {z }
q(x)
+ (3x + 2)
| {z }
r(x)
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Beispiel
Horner-Schema f¨ ur
p(x) = 3x
3− 2x
2− 7x − 2 und verschiedene Linearfaktoren q (x) = x − t Polynomdivision
p(x) = (f
2x
2+ f
1x + f
0)(x − t) + r
0mit r
0= p(t)
Berechnung von f
kund r
0mit dem Tableau
3 −2 −7 −2
% ∗t tf
2tf
1tf
0+ f
2= 3 f
1f
0r
0des Horner-Schemas, bei dem in der ersten Zeile die Koeffizienten von p
(i) t = 3:
Einsetzen von t = 3
3 −2 −7 −2
% ∗3 9 21 42
+ 3 7 14 40
Zerlegung
3x
3− 2x
2− 7x − 2 = (3x
2+ 7x + 14)(x − 3) + 40 und p(3) = 40
(ii) t = 2:
3 −2 −7 −2
% ∗2 6 8 2
+ 3 4 1 r
0= 0
Faktorisierung
3x
3− 2x
2− 7x − 2 = (3x
2+ 4x + 1)(x − 2) kein Rest, da t = 2 eine Nullstelle von p ist
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