Ubungsblatt VII ¨

Ubung Grundlagen Elektrodynamik¨ (SoSe 2014) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus

Ubungsgruppen:¨

I: Bj¨orn Eichmann & Marcio Keßler (Donnerstags, 12-14 Uhr, NB6/99) II: Isaac Saba & Lukas Merten (Donnerstags, 14-16 Uhr, NB6/173)

Ubungsblatt VII ¨

Aufgabe 19: Tensoren und Vektoren (10 Punkte)

Gegeben sei ein Tensor T^µν und einen Vektor V^µ, mit den Komponenten

T^µν =









5 3 1 −1

−1 0 3 0

0 1 −3 0

−2 2 1 −2









, V^µ= (−4,1,3,2).

Berechnen Sie die Komponenten folgender Objekte:

(a) T^µ_ν (b) T_µ^ν (c) T^λ_λ (d) V^µV_µ

Hinweis: Wir verwenden g_µν = diag (1,−1,−1,−1) als Metrik.

Aufgabe 20: E-Feld einer Punktladung in gleichf¨ormiger Bewegung (10 Punkte) Eine Punktladung q ruht zun¨achst im System I₀ im Ursprung. Im Folgenden sei nun das elek- trische Feld derselben Ladung im System I, welches sich mit relativistischer Geschwindigkeit v₀ in positive x−Richtung relativ zu I₀ bewegt, zu bestimmen.

Zeigen Sie, dass das Feld beschrieben werden kann durch E~ = 1

4π ₀

q(1−v₀²/c²) [1−(v₀²/c²) sin²θ]^3/2

~e_R R² ,

mit dem Einheitsvektor~e_R von q zum FeldpunktP(x, y, z), welcher zur x-Achse den Winkel θ aufspannt. (Beachten Sie, dass das Koordinatensystem in I eine beliebige Ausrichtung der y−

und z−Achse annehmen kann!)

BONUS-Aufgabe: Der elektrische Feldst¨arketensor (10 Bonus-Punkte)

Analog zum Vierervektor-Formalismus zur Beschreibung der Raumzeit ist der elektrische Feldst¨arke- tensor F^µν definiert, um die Elektrodynamik auf die Raumzeit zu verallgemeinern. In einer flachen Raumzeit l¨asst sich der Feldst¨arketensor in kartesischen Koordinaten schreiben als:

F^µν =









0 −E_x/c −E_y/c −E_z/c E_x/c 0 −B_z B_y E_y/c B_z 0 −B_x E_z/c −B_y B_x 0







 .

Dabei bezeichnenE_i undB_i das elektrische bzw. magnetische Feld im dreidimensionalen Raum und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

(a) Weisen Sie nach, dass sich folgendes Lorentz-invariantes Skalar ergibt:

F^µνF_µν = 2 B²−E²/c² .

(b) Bestimmen Sie, wie sich das elektrische Feld E~ und das magnetische Feld B~ bei einer Rotation des Koordinatensystems um die y-Achse um den Winkel α transformieren, in- dem Sie die zugeh¨orige Koordinatentransformation im Vierervektor-Formalismus auf den Feldst¨arketensor anwenden.

(c) Bestimmen Sie, wie sich das elektrische Feld E~ und das magnetische Feld B~ bei einem Lorentzboost des Koordinatensystems mit Boostfaktorγentlang der z-Achse transformie- ren, indem Sie die zugeh¨orige Koordinatentransformation im Vierervektor-Formalismus auf den Feldst¨arketensor anwenden.