Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Technik - A I - Lösung mathphys-online

Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Technik - A I - Lösung

Teilaufgabe 1.0

Gegeben ist die reelle Funktion f mit f x( ) 4 1 ln 1( x) 1 x



 in ihrer größtmöglichen Definitions- menge Df .

Teilaufgabe 1.1 (3 BE)

Zeigen Sie, dass Df = ]∞ ; 1[ gilt, und berechnen Sie den exakten Wert der Nullstelle der Funktion f.

1 x0auflösen x x1 ⇒ D_f = ] ∞ ; 1 [

f x( )=0 ⇒ 1 ln 1( x)=0 auflösen x 1 e^1 x0 1e^1 Teilaufgabe 1.2 (4 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionsmenge.

∞ l'Hosp.

↑

∞ x

4 1 ln 1(  x) 1 x

 





lim 

 x ∞

4

1 1 x

1











lim



=

∞ x

4 1x







lim 



= → 0

↓ ↓

∞ ∞

∞

↑

1 x

4 1 ln 1(  x) 1x

 





lim 

 

∞



↓ 0⁺ Teilaufgabe 1.3 (7 BE)

Bestimmen Sie über die maximalen Monotonieintervalle Art und Lage des Extrempunktes des Graphen von f.

[ Teilergebnis: f' x( ) 4 ln 1(  x) 1x

( )²



 ]

f' x( ) 4 1x

( ) 1

1 x

  (1ln 1( x))(1)

1x

( )²



= 4 1 1 ln 1(  x)

1x

( )²



= 4 ln 1(  x)

1x

( )²



=

xW 1

0 1

ln 1( x)=0 ⇒ 1 x=1 ⇒ xE 0=

x=0 x 1

ln(1-x) pos neg

(1 - x)² pos pos nicht

definiert f 0( ) 4

f '(x) pos neg

Graph von f sms smf

Hochpunkt: H 0 4(  ) HP Polstelle

Teilaufgabe 1.4 (3 BE)

Bestimmen Sie die Wertemenge der Funktion f mithilfe bisheriger Ergebnisse.

1 x

f x( )

lim_  ∞

⇒ W = ] ∞ ; 4 ] Wegen Monotonie ist der Hochpunkt

absolutes Maximum

Teilaufgabe 1.5 (8 BE)

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f und ermitteln Sie die exakten Koordinaten seines Wendepunktes W.

f'' x( ) 4 1 x ( )² 1

1 x

 ln 1( x)2(1x)(1)

1 x

( )⁴



= 4 12 ln 1 (  x)

1 x

( )³



=

f'' x( )=0 ⇒ 1 2 ln 1 ( x)=0auflösen x 1 e ⇒ xW 1 e xW0.649 Horizontale Tangenten:

x 1 x=0

Zähler pos neg

f 1  e 6 e 1

 2



(1 - x)³ pos pos nicht 

definiert

f ''(x) pos neg

Wendepunkt: W 1 e 6 e

 





Graph von f lk rk 

WP Polstelle

Teilaufgabe 1.6 (5 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt W und berechnen Sie deren Schnittpunkt mit der x-Achse.

[ mögliches Teilergebnis: t x( ) 2

ex 8 e 2

 e

= ]

Steigung im Wendepunkt: f' 1  e  2 e ^1 Wendetangente t x( ) 2

ex 1 e 6 e





Umformung: t x( ) 2 ex 2

 e 2 e

 e 6 e

 e

=

Vereinfachen: t x( ) 2

ex 8 e2

 e



Schnittpunkt: t x( )=02 x e^1e^18 e2=0auflösen x 14 e

Nullstelle der Tangente: Sx 1 4 e   0

Teilaufgabe 1.7 (4 BE)

Zeichnen Sie mithilfe der vorliegenden Ergebnisse den Graphen der Funktion f und die Tangente t für 6x0.7 in ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Maßstab 1 LE =1 cm.

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

1 1 2 3 4 5 Fläche

Graph von f Tangente Werte

Nullstelle der Tangente

x-Achse

y-Achse

xW x1 1

HP WP

NS

Teilaufgabe 1.8 (7 BE)

Im zweiten Quadranten liegt ein Punkt P(k / f(k)) auf dem Graphen von f, dessen Koordinaten die Bedingung f k( )=k erfüllen. Entnehmen Sie Ihrem Graphen einen geeigneten Startwert k0 und berechnen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens einen Näherungswert für die Stelle k.

Führen Sie zwei Näherungsschritte durch und geben Sie Ihre Ergebnisse auf drei Nachkomma- stellen gerundet an.

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

1 1 2 3 4 5 Graph von f

Werte

Winkelhalbierende Kurvenpunkt P

x-Achse

y-Achse

f k 

k 1

f k( )=k ⇔ 4 1 ln 1(  k) 1k

 =k

d k( ) f k( ) k d k( ) 4 1ln 1( k) 1k

 k

 d' k( ) 4 ln 1(  k)

1 k

( )²

  1



Newton: k1 k0 d k0 

d' k0 



=

Startwert: k0 2.5

k1 k0 d k0 

d' k0 



 d k0  ^0.07459 d' k0 ^{ 1.40907}

k1 2.55293

k2 k1 d k1 

d' k1 



 d k1  ^{0.00019513} d' k1 ^{ 1.40172}

k2 2.55307 gerundet: k2 2.553

Teilaufgabe 1.9 (7 BE)

Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F x( )=2(ln 1(  x))² 4 ln 1 (  x) in ihrer Definitions- menge DF Df= eine Stammfunktion der Funktion f ist, und berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstückes, das vom Graphen von f, der Tangente t und der y-Achse eingeschlossen wird.

Runden Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen.

F' x( ) 22(ln 1( x)) 1 1x

 4 1

1 x





= 4 ln 1 (  x)4

1 x

= 4 ln 1( x) 1 1 x



= =f x( )

Flächenmaßzahlunktion:

A x( ) (t x( ) f x( )) x



 d

= 2 x

ex 8 e 2

 e  f x( )















d

=

A x( ) 1

ex² 8 e2 e x

  2 ln 1( ( x))²4 ln 1 (  x)







 

Grenzen einsetzen:

A 0( ) 0 A 1  e 0.016 Ages A 0( ) A 1  e Ages 0.016 Teilaufgabe 2.0

Das Hinterrad eines Traktors übt auf den Ackerboden an der Oberfläche einen Druck von 4.0 10 ⁴Pa aus. Der Druck nimmt mit zunehmender Tiefe unter der Oberfläche ab und beträgt in 1.0 m Tiefe nur noch ein Viertel des Wertes an der Oberfläche.

Für die Abhängigkeit des Drucks p in Pascal (Pa) von der Tiefe x in Meter gilt in einem mathema- tischen Modell die Funktionsgleichung p x( ) a e^{b x}

 2



= , wobei x0 und a, b ∈ IR.

Auf das Mitführen der Einheiten kann verzichtet werden.

Teilaufgabe 2.1 (3 BE)

Bestimmen Sie die Parameterwerte a und b.

[ Mögliche Ergebnisse: a=4.0 10 ⁴ , b=2 ln 2 ( ) ]

p 0( ) =4 10 ⁴ ⇒ a e ⁰=4 10 ⁴ ⇒ a=4 10 ⁴

p 1( ) =1 10 ⁴ ⇒ a e ^b=1 10 ⁴

⇒

e^b 1 10 ⁴

= a 1 10 ⁴ 4 10 ⁴

= 1

= 4 ⇒ b ln 1

4







=  ⇒ b=ln 4( )=2 ln 2 ( )

Teilaufgabe 2.2 (3 BE)

Stellen Sie den Druck p in Abhängigkeit von der Tiefe x für 0x1.5 graphisch dar.

Wählen Sie dazu selbst einen geeigneten Maßstab.

Modellfunktion p x( ) 4 10 ⁴e^{2ln 2( ) x}

 2





0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

10 20 30 40

Tiefe x in m

Druck p in kPa

20 0.7

xD 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

 p xD 

4·104 3.8·104 3.2·104 2.4·104 1.6·104 1·104 5.4·103 2.6·103 1.2·103



Teilaufgabe 2.3 (4 BE)

Entnehmen Sie Ihrem Diagramm die ungefähre Tiefe, in der der Druck halb so groß ist wie an der Oberfläche, und berechnen Sie dann diese Tiefe genau.

Diagramm: x₁ ≈ 0,7

Ansatz: 4 10 ⁴ e^{2ln 2( ) x}

 2

 =2 10 ⁴ ⇒ e^{2ln 2( ) x}

 2 1

= 2

Auflösen: 2ln 2( )x²=ln 1( ) ln 2( ) ⇒ x² 1

= 2 auflösen x

2 2

2

 2















nicht definiert

Genauer Wert: x2 1

= 2 =0.71 Teilaufgabe 2.4 (4 BE)

Berechnen Sie die lokale Änderungsrate des Drucks in 0.50 m Tiefe.

p' x( ) 4 10 ⁴(22ln 2( )x) e^{2ln 2( ) x}

 2



 p' 0.5( ) 3.910⁴

Teilaufgabe 2.5 (8 BE)

Bestimmen Sie, in welcher Tiefe die lokale Änderungsrate des Drucks betragsmäßig am größten ist, und berechnen Sie diese lokale Änderungsrate.

p'' x( ) 1610⁴ln 2( ) e^{2ln 2( ) x}

 2

 16 10 ⁴ln 2( )x(4ln 2( )x) e^{2ln 2( ) x}

 2





=

p'' x( ) 1610⁴ln 2( ) e^{2ln 2( ) x}

 2

 14 ln 2 ( )x²



p'' x( )=0 ⇒ 1 4 ln 2 ( )x²=0

x² 1

4 ln 2 ( )

= auflösen x

1 2 ln 2( )

1 2 ln 2( )

















nicht definiert

xW 1

2 ln 2( )

 ist Wendepunkt, da Nullstelle mit VZW

p' 1

2 ln 2( )







 ^{4.04 10}

 4



Betrag der größten Änderungsrate: 4.04 10⁴ 4.0410⁴

In der Prüfung nicht verlangt: p0 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

10 20 30 40

Graph von p Wendepunkt

p(x)-Diagramm

Tiefe x in m

Druck p in kPa

p0 2 0.5 0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

50

40

30

20

10 10

Graph von p'

Größte Druckänderung

p'(x)-Diagramm

Tiefe x in m

Druckänderung

0.5