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Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2009 Mathematik 12 Technik - B I - Lösung
Teilaufgabe 1.0
In einem kartesischen Koordinatensystem des IR
3mit dem Ursprung O sind die Punkte A ( 0 1 2 ) , B ( 1 2 0.5 ) , C ( 2 0 4 ) und D k ( ) ( 11 k 6 k k ) mit k ∈ IR sowie die Ebene F: 2 x1 x2 2 x3 3 = gegeben. 0
Teilaufgabe 1.1 (4 BE)
Stellen Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C in Parameter- und Normalenform auf.
[ Mögliches Teilergebnis: E: x1 2 x2 2 x3 6 = ] 0
Ortsvektoren: a A
Tb B
Tc C
Td k ( ) D k ( )
Ta 0 1
2
b
1 2
0.5
c
2 0
4
d k ( )
k 11 k 6
k
Richtungsvektoren: u b a u
1 1 1.5
v c a v
2
1
2
Parameterform für E: x 0 1
2
λ
1 1 1.5
μ
2
1
2
=
Normalenvektor: nE u v nE
0.5 1
1
Normalenform für E:
x1 x2 x3
0 1
2
0.5 1
1
= 0 Teilaufgabe 1.2 (2 BE)
Zeigen Sie, dass die Punkte D(k) auf einer Geraden liegen, und bestimmen Sie eine Gleichung dieser Geraden.
Punkt: d k ( )
k 11 k 6
k
Aufspalten: x
11 6 0
k
1 1 1
=
Das ist eine Gerade g.
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Teilaufgabe 1.3 (3 BE)
Bestimmen Sie k so, dass der Punkt D(k) in der Ebene E liegt, und geben Sie die Koordinaten des Punktes D
kan.
Definitionen: E x1 x2 x3 x1 2 x2 2 x3 6 g k ( ) 11
6 0
k
1 1 1
Punkt D einsetzen: k1 E d k ( )
1 d k ( )
2 d k ( )
3 = 0 k 5 = 0 auflösen k 5
d0 g ( 5 ) 6 1
5
D0 d0
TD0 ( 6 1 5 )
Teilaufgabe 1.4 (4 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der beiden Ebenen E und F.
Gaußmatrix aufstellen: diagonalisiert:
II
( ) 2 I ( ) 1
2
2
1 2
2
6 3
---> 1 0
2 3
2
6
6 15
vereinfachen: 1 0
2 1
2
2
6 5
Wähle. x3 ( ) τ τ Berechne: x2 ( ) τ 5 2 τ x1 ( ) τ 6 2 5 ( 2 τ ) 2 τ
Schnittgerade: s ( ) τ
x1 ( ) τ x2 ( ) τ x3 ( ) τ
s ( ) τ
2 τ 4 2 τ 5
τ
Teilaufgabe 1.5 (5 BE)
Der Punkt D* ist Spiegelpunkt des Punktes D ( 5 ) ( 6 1 5 ) bezüglich der Ebene F.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D* .
Ebene F: F x1 x2 x3 2 x1 x2 2 x3 3 Normalenvektor von F: nF 2
1
2
Lotgerade senkrecht zu Ebene F durch Punkt D:
l ( ) τ d ( 5 ) τ nF l ( ) τ
2 τ 6 1 τ 2 τ
5
Lotfußpunkt: τ 1 F l ( ) τ
1 l ( ) τ
2 l ( ) τ
3 = 0 9 τ 18 = 0 auflösen τ 2
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f l τ 1 2 3
1
F f
TF ( 2 3 1 )
Spiegelpunkt: d* l 2 τ 1 5 2 3
D* d*
TD* ( 2 5 3 )
Teilaufgabe 2.0
Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem mit t ∈ IR : I
( ) 2 x1 x2 2 x3 9.5 = t II
( ) x1 2 x2 2 x3 6 = 0 III
( ) t x1 x2 6 x3 3 = 0 Teilaufgabe 2.1 (8 BE)
Ermitteln Sie die Anzahl der Lösungen dieses Gleichungssystems in Abhängigkeit von t.
8 BE
2 II ( ) ( ) I
--->
2 1 t
1
2 t
2 2
6
t 9.5
6
3
--->
2 0 0
1
3 3 t
2 6
6 2 t
t 9.5
t 2.5
3 6 t
III
( ) t II ( ) ( ) III t II ( )
2 0 0
1
3 0
2 6
6 4 t
t 9.5
t 2.5 t
2 3.5 t 3
Für die Fallunterscheidung: p1 t ( ) 6 4 t p2 t ( ) t
2 3.5 t 3
t1 p1 t ( ) = 0 4 t 6 = 0 auflösen t 3
2
p2 t1 0
Das Gleichungssystem hat für
t 3
= 2 unendlich viele Lösungen t 3
2 genau eine Lösung
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Teilaufgabe 2.2 (4 BE)
Interpretieren Sie die gegebenen Gleichungen als Ebenengleichungen und bestimmen Sie für 4 BE t0 1.5 = die Schnittmenge der drei Ebenen.
G t ( ) 2 1 t
1
2 t
2 2
6
t 19
2
6
3
G 3
2
2 1 3 2
1
2 3 2
2 2
6
8
6
3
Diagonalisieren: zref G 3
2
1
0 0
0
1 0
2
2 0
10
3 4 3 0
Lösung: x3 ( ) τ τ
x2 ( ) τ 4
3 2 x3 ( ) τ 2 τ 4
3
x1 ( ) τ 10
3 2 x3 ( ) τ 2 τ 10
3
Schnittmenge = Schnittgerade x ( ) τ
x1 ( ) τ x2 ( ) τ x1 ( ) τ
x ( ) τ
2 τ 10
3 2 τ 4
3 2 τ 10
3
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