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Ubungsblatt 6 zur Linearen Algebra II ¨

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Academic year: 2021

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Universit¨at Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik

Ubungsblatt 6 zur Linearen Algebra II ¨

Sommersemester 2006 Aufgabe 1: Bestimmen Sie eine Basis des von (a)

 2 1

−3

,

 1 2 0

 und

 2 2

−2

 erzeugten Z–Moduls M ⊆Z3 (b)

2 2

und

3 3

erzeugten Z–Moduls M ⊆Z2.

Aufgabe 2:Zeigen Sie, daß der Polynomring ¨uber den ganzen Zahlen Z[X] ={anXn+· · ·+a0 |n∈N0, a0, . . . , an∈Z} ⊆Q[X]

kein Hauptidealring ist.

Hinweis:Betrachten Sie das von 2 undX inZ[X] erzeugte Ideal.

Aufgabe 3: Sei A ein kommutativer Ring mit 1, M ein A–Modul.

Zeigen Sie f¨ur jedes Ideal I von A:

(a) L:={a1y1+· · ·+amym |m∈N0, a1, . . . , am ∈I, y1, . . . , ym ∈M} ist ein Untermodul von M.

(b) Der A–Modul M/L wird verm¨oge der durch

(a+I)(x+L) :=ax+L f¨ur a∈A und x∈M

(wohl?)definierten Multiplikation mit Skalaren zu einemA/I–Modul.

(c) IstM ein freierA–Modul mit Basisx1, . . . , xn, so istM/Lein freier A/I–Modul mit Basis x1+L, . . . , xn+L.

Sei nun A6={0}. Folgern Sie durch geschickte Wahl von I: Sind x1, . . . , xn und x01, . . . , x0n0 Basen von M, so giltn =n0.

Erste Klausuram Samstag, den 24. Juni, von 10 bis 12 Uhr in den R¨aumen R711 und R712.

Anmeldung ist unbedingt erforderlich und erfolgt in den ¨Ubungsgruppen sp¨atestens am 12./13.

Juni.

Abgabe bis Freitag, den 9. Juni, vor Beginn der Vorlesung.

Referenzen

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