Stochastik 1
WS 2018/2019, FSU Jena
Prof. Schmalfuß Robert Hesse, Verena Köpp
Ausgabetermin: 22.11.2018
Abgabetermin: 29.11.2018
6. Übungsblatt
Aufgabe 1. SeiX ∼Geom(p), d.h.P(X =k) =p(1−p)k−1,k∈N. Bestimmen SieEX, Var(X)undE X1
.
Aufgabe 2. SeiX ∼Geom(p). Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariable Y =X
2(1−(−1)X) und deren ErwartungswertEY.
Aufgabe 3.
a) SeiX exponentialverteilt mit Parameterλ >0. Bestimmen Sie die Dichtefunktionen von Y1=√
X undY2= λ1log(X).
b) SeiX standardnormalverteilt. Bestimmen Sie die Dichtefunktionen vonY3:=eX undY4:=|X| −1.
Aufgabe 4 (4 Punkte). Sei eine Funktionf :R→Rdefiniert durch
f(x) =
(c|x|e−x, für −1≤x≤1,
0, sonst.
a) Bestimmen Sie den Parameterc∈R, sodassf eine Dichtefunktion ist.
b) Geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion an.
c) Ermitteln Sie P(−12 ≤X≤ 12)undP(X = 0).
d) Bestimmen Siex∈R, sodass giltP(X ≤x) =34.
Aufgabe 5(4 Punkte). Eine zufällige Permutationσder Zahlen{1, ..., n}besitzt möglicherweise Fixpunkte i ∈ {1, ..., n} für die giltσ(i) =i. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Anzahl aller Fixpunkte vonσunter der Annahme, dass jede Permutation mit derselben Wahrscheinlichkeit auftritt.
Aufgabe 6 (4 Punkte). Es sei eine Dichte gegeben durch
f(x) =
(αβxβ−1e−αxβ, x≥0
0, x <0,
wobeiα, β >0.
a) Berechnen Sie die dazugehörige Verteilungsfunktion.
b) Gegeben sei eine auf[0,1]gleichverteilte ZufallsvariableU. Bestimmen Sie eine FunktionG: [0,1]→R, sodassG(U)die Dichtef besitzt.
Abgabetermin:Die mit gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und in der Vorlesung am Don- nerstag abzugeben. Es wird empfohlen auch die übrigen Aufgaben zu lösen.
Bedingungen für die Teilnahme an der Klausur:50% der Punkte aus den Übungsserien und zweima- liges Vorrechnen an der Tafel.
