Fachbereich Mathematik Prof. Dr. S. Roch
Dr. B. Debrabant D. Küpper
S. Löbig
A TECHNISCHE UNIVERSITÄT
DARMSTADT
04./05.06.2009
Analysis 1 für M, LaG M, Übung 8
Gruppenübung
G 1 Wurzelkriterium und Quotientenkriterium Welche der folgenden Reihen konvergiert?
(a)
∞
X
n=1
n!
nn; (b)
∞
X
n=1
√n
n·qn mit |q|<1; (c)
∞
X
n=0
(2n)!
(n!)2
G 2 Leibnizkriterium
Untersuche die ReiheP∞
k=1ak auf Konvergenz, falls
(a) ak = 2−(−1)k
4k , (b) ak = (−1)k
e−(1 + 1 k)k
.
G 3 Verallgemeinerung des Leibnizkriteriums
Beweise die folgende Verallgemeinerung des Leibnizkriteriums:
Sei(an)n∈Neine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen und(bn)n∈N ⊂C, so dass eine feste ZahlM > 0existiert mit
N
X
k=0
bk
< M für alle N ∈N.
Dann konvergiert die Reihe
∞
X
k=0
akbk.
Folgere hieraus das gewöhnliche Leibnizkriterium.
G 4 Eine konvergente Reihe Zeige, dass die Reihe
∞
X
k=1
1 k√
k konvergiert.
Hinweis: Orientiere Dich am Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe. Zer- lege die Reihe wie folgt:
1 1
|{z}
+ 1 2√
2 + 1 3√
3
| {z } + 1
4√
4+· · ·+ 1 7√
7
| {z } + 1
8√
8+· · ·+ 1 15√
15
| {z } +· · ·
Hausübung
H 1 V Rekursion (6 Punkte) Sei an rekursiv definiert durch
a0 = 0 und an+1 = 1− 1 2 +an
für n >0.
Beweise, dass(an)n∈N konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Hinweis: Nimm zunächst an, du hättest schon gezeigt, dass die Folge konvergiert.
Dann kannst du den Grenzwert bestimmen. Zeige, dass dieser Grenzwert eine obere Schranke von(an)ist.
H 2 V Einige Reihen (6 Punkte)
Entscheide, ob die folgenden Reihen konvergieren und berechne gegebenenfalls den Grenzwert:
1.S
∞
X
k=1
1
k(k+ 1)(k+ 2), 2.
∞
X
k=1
(−1)k√k k, 3.
∞
X
k=1
1
2k + (−1 3)k
.
H 3 Leibnizkriterium (3 Punkte)
Finde eine Nullfolge (an)∞n=1, die nur aus positiven reellen Zahlen besteht, und so
dass ∞
X
k=1
(−1)kak nicht konvergiert.
