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(Matr.-Nr, Unterschrift)
Klausur Strömungsmechanik II
14. 08. 2020
a) (1) Massenerhaltung
(2) Impulserhaltung in x-Richtung
Es wird eine 2-dimensionale, inkompressible, stationäre Strömung mit konstanten Stoff- werten (und ohne Gravitationseinfluss) betrachtet.
b) Einführung der Bezugsgrößen:
¯ u= u
u1, x¯= x
L, p¯= p
∆p, v¯= v u1h
L
, y¯= y h Für die Kontinuitätsgleichung ergibt sich:
u1
L
∂u¯
∂x¯+ u1h Lh
∂v¯
∂y¯ = 0 und somit
∂u¯
∂x¯ +∂v¯
∂y¯ = 0
→keine Kennzahl aus der Kontinuitätsgleichung.
Für die Impulsgleichung in x-Richtung folgt:
ρu21 L u¯∂u¯
∂x¯ +ρu21h Lh v¯∂u¯
∂y¯ =−∆p L
∂p¯ d¯x +ηu1
h2 h
L 2
∂2u¯
∂x¯2 + ∂2u¯
∂y¯2
!
ρu1h2 Lη
¯ u∂u¯
∂x¯ + ¯v∂u¯
∂y¯
=−∆ph2 ηLu1
∂p¯ dx¯+
h L
2
∂2u¯
∂x¯2 +∂2u¯
∂y¯2 Daraus ergeben sich die Kennzahlen:
K1 = ρu1h2 ηL
K2 = ∆ph2 ηLu1
K3 = h
L 2
c) Umformen in Kennzahlen der Strömungsmechanik:
K1 =ReL h
L 2
K2 =EuReL h
L 2
d) Vereinfachen der Gleichung mit ReL
h L
2
1, h
L 2
1
ReL h
L 2
¯ u∂u¯
∂x¯ + ¯v∂u¯
∂y¯
| {z }
≈0
=−EuReL(h L)2∂p¯
dx¯+ h
L 2
∂2u¯
∂x¯2
| {z }
≈0
+∂2u¯
∂y¯2
0 =−EuReL h
L 2
∂p¯
∂x¯ +∂2u¯
∂y¯2
Es ergeben sich die folgenden dimensionsbehafteten Differentialgleichungen:
∂u
∂x +∂v
∂y = 0, −∂p
∂x +η∂2u
∂y2 = 0
a) ρ∂~v
∂t: lokale Impulsänderung pro Einheitsvolumen
ρ(~v· ∇~v): konvektive Impulsänderung pro Einheitsvolumen
−∇p: Druckkräfte pro Einheitsvolumen η∆~v: Reibungskräfte pro Einheitsvolumen ρ~g: Volumenkräfte pro Einheitsvolumen
In schleichenden Strömungen können die konvektiven Impulsänderungen (der konvektive Trägheitsterm) vernachlässigt werden.
b) Komponentenschreibweise der Impulserhaltungsgleichung:
∂u
∂t +u∂u
∂x +v∂u
∂y +w∂u
∂z =−1 ρ
∂p
∂x + η ρ
∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 +∂2u
∂z2
+gx
∂v
∂t +u∂v
∂x +v∂v
∂y +w∂v
∂z =−1 ρ
∂p
∂y +η ρ
∂2v
∂x2 + ∂2v
∂y2 + ∂2v
∂z2
+gy
∂w
∂t +u∂w
∂x +v∂w
∂y +w∂w
∂z =−1 ρ
∂p
∂z +η ρ
∂2w
∂x2 + ∂2w
∂y2 +∂2w
∂z2
+gz
stationäre Strömung: ∂~v
∂t = 0
Volumenkräfte sind zu vernachlässigen:~g = 0
Impulsaustausch in z-Richtung vernachlässigbar:w= 0 Trägheitsterme für schleichende Strömung vernachlässigen:
u∂u
∂x +v∂u
∂y =u∂v
∂x +v∂v
∂y = 0
aus dem Hinweis kann man folgende Annahme treffen: ∂2~v
∂x2 + ∂2~v
∂y2 ∂2~v
∂z2 Vereinfachte Impulserhaltungsgleichungen für die Hele-Shaw Strömung:
∂p
∂x =η∂2u
∂z2
∂p
∂y =η∂2v
∂z2
∂p
∂z = 0
Zweifache Integration zur Bestimmung der Geschwindigkeiten:
u=
Z Z 1 η
∂p
∂xdzdz = Z
1 η
∂p
∂xz+c1
dz = 1 2
1 η
∂p
∂xz2+c1z+c2
Randbedingungen (Haftbedingung):z = 0, h→u= 0⇒c2 = 0, c1 =−1 2
1 η
∂p
∂xh
⇒u= 1 2
1 η
∂p
∂x z2−hz analog:
⇒v = 1 2
1 η
∂p
∂y z2−hz
c) Die Kontinuitätsgleichung muss auch erfüllt werden (inkompressible, ebene Strömung):
∂u
∂x +∂v
∂y = 0
→ ∂
∂x 1
2 1 η
∂p
∂x(z2−hz)
+ ∂
∂y 1
2 1 η
∂p
∂y(z2−hz)
= 0
∂2p
∂x2 + ∂2p
∂y2 = 0⇒ ∇2p= 0
a)
F(z) = u0z+ E 2πln(z)
b)
F(z) =u0(x+iy) + E
2πln(reiϕ) Die Potentialfunktion lautet:
Φ =u0x+ E 2πln(p
x2+y2)
Damit lassen sich die Geschwindigkeiten berechnen.
u= ∂Φ
∂x =u0+ E 2π
x x2+y2 v = ∂Φ
∂y = E 2π
y x2+y2
Im Staupunkt sind beide Geschwindigkeitskomponenten0. Damit liegt der Staupunkt bei xS =−2πuE
0 undyS = 0.
Überführen in Polarkoordinaten:
rS = q
x2S +y2S = E 2πu0
ϕS =atan yS
xS
=π
c) Für die Stromfunktion ergibt sich:
Ψ = u0y+ E
2πϕ=u0rsinϕ+ E 2πϕ
Ausx→ ∞undy=ymaxfolgtϕ→0. Der Wert der Stromfunktion beträgt somit:
Ψ∞=u0ymax
Der Wert der Stromfunktion entlang der Kontur des Halbkörpers ist konstant. Daher wird die Stromfunktion desweiteren am Staupunkt ausgewertet und mitΨ∞gleichgesetzt.
ΨS = Ψ(r= E
2πu0, ϕ=π) =u0 E
2πu0sin(π) + E 2ππ Ψs = E
2
Ψ∞= Ψs→u0ymax = E 2 ymax = E
2u0 d) Strömung mit zwei Quellen.
Abbildung 1:a= ymax2 Abbildung 2:a= 4ymax
e) Die Geschwindigkeit in der Mitte zwischen den Quellen in y-Richtung ist 0.
a) Bestimmung der Koeffizientena0, a1, a2, a3 (I) Haftbedingung:u(y= 0) = 0→a0 = 0
(II) Übergang am Grenzschichtrand:u(y=δ) = ua→1 =a1+a2 +a3 (III) x-Impulsgleichung an der Wand:v∂u∂y = ηρ∂∂y2u2
− V˙
BLa1 = η ρ
2a2 δ a1 = −2BLη
ρδV˙ a2 (IV) Glatter Übergang am Grenzschichtrand: ∂u
∂y y=δ = 0→a1 + 2a2+ 3a3 = 0 Aus (II) und (IV)a3 eliminieren:
3 = 2a1+a2
(III) einsetzen und umformen:
a2 = 3ρδV˙ ρδV˙ −4BLη Für die fehlenden Koeffizienten ergibt sich:
a1 = −6BLη ρδV˙ −4BLη a3 = 2BLη−2ρδV˙
ρδV˙ −4BLη
b) Skizze der laminaren Grenzschichtdicke und der Verlauf der Geschwindigkeitu(y)
c) Die kritische Reynoldszahl liegt für die ebene Platte beiO(5)
d) • Das Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Grenzschicht ist fülliger,
• Die turbulente Grenzschicht ist aufgedickt,
• Größere Reibung in der turbulenten Grenzschicht,
• In der laminaren Grenzschicht verlaufen die Stromlinien beinahe parallel (Strömung in Schichten)
• ...
a) Die Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß werden in einen Normal- und Tangential- teil aufgeteilt.
n
n
σ
t
t
Bei der Kontinuitätsgleichung werden die ein- und austretenden Massenströme normal zur Kontrollfläche betrachtet. Für die Beziehung über den Stoß ergibt sich daher:
ρ1un,1AS =ρ2un,2AS ρ2
ρ1 = un,1 un,2 Einsetzen der Prandtl-Beziehungun,1un,2 =c∗2
ρ2 ρ1
= un,1un,1
c∗2 =Mn,1∗2
Mit der gegebenen Definition vonMn,1∗2 undMn,1 =M1sinσ ergibt sich für das Dichte- verhältnis
ρ2
ρ1 = γ+ 1 γ−1 + (M 2
1sinσ)2
b) Für eine Anströmung mit MachzahlM1 = 2ergibt sich aus dem Diagramm ein maximaler Umlenkwinkelβmax von23◦.
1) Keil 1: β = 15◦ < βmax → Es entsteht ein anliegender Stoß. Abhängig von dem Stoßwinkelσentsteht ein schwacher oder starker Stoß. Wennσ < σgr ≈65◦entsteht ein schwacher Stoß und die Strömung stromab vom Stoß ist i. a. supersonisch. Ein schwacher Stoß tritt auf, wenn der Druck hinter dem Stoß sich frei einstellen kann.
Bei starker Lösung, d.h. wenn σ > σgr ≈ 65◦, ist die Strömung hinter dem Stoß subsonisch.
Keil 2:β = 40◦ > βmax→Die Umlenkungβüberschreitet den Grenzwertβmaxund es entsteht ein abgelöster Stoß. Vor dem Keil bildet sich ein gekrümmter Verdich- tungsstoß.
2) Skizze für den schwachen und starken Stoß an Keil 1
Anmerkung: Hinter dem starken Stoß ist die Strömung immer subsonisch. Beim schwachen Stoß bleibt die Strömung im Allgemeinen supersonisch, kann jedoch auch subsonisch werden.
Skizze für den abgelösten Stoß an Keil 2
a) Bei instationären Strömungen ist die StrouhalzahlSr= τ ul
∞ relevant. Sie ist das Verhält- nis der Zeit ul
∞, die ein Fluidteilchen der Geschwindigkeitu∞benötigt, um die Streckel zurückzulegen, und einer für einen instationären Vorgang charakteristischen Zeitτ. b) Die Verdrängungsdicke entspricht dem Abstand um den ein Körper in einer hypotheti-
schen reibungsfreien Strömung aufgedickt werden muss, so dass der gleiche Massenstrom wie in der tatsächlichen Strömung auftritt.
δ1 =R∞
0 (1−uu
a)dy
c) Für das 17 Geschwindigkeitsprofil ergibt sich aus dem Potenzgesetz die Geschwindigkeits- verteilung in der turbulenten Grenzschicht zu:
¯ u ua =
y δ
17 Mit der Definition der Impulsverlustdicke
δ2 =δ Z 1
0
¯ u ua
1− u¯
ua
dy δ
ergibt sich das Verhältnis von Impulsverlustdicke zu Grenzschichtdicke zu:
δ2 δ =
Z 1 0
y δ
17
−y δ
27 dy
δ
δ2
δ = 7 8
y δ
87
− 7 9
y δ
97
1
0
= 7 8− 7
9
δ2 δ = 7
72
d) Verlauf der statischen Temperatur und der Ruhetemperatur über den Stoß.
