MATHEMATISCHESINSTITUT
PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL
DAVIDKERKMANN
19. NOVEMBER2020
12 13 14 15 Σ
NAME: MAT-NR.:
Numerik II – 4. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 12: (4 Punkte)
Sei GJ die Iterationsmatrix des Jacobi-Verfahrens angewandt auf A = Tm×m. Bestimmen Sie den Spektralradius von GJ.
Aufgabe 13: (4 Punkte)
Beweisen Sie Satz 2.15 aus der Vorlesung. Sie d¨urfen hier den Beweis aus dem Artikel von Roberto Bagnara (siehe ILIAS) ausarbeiten.
Aufgabe 14: (4 Punkte) Beweisen Sie folgende Aussage:
SeiA∈Cn×nmitai,i6= 0 f¨ur allei∈ {1, . . . , n}undGGS(ω) die Iterationsmatrix des SOR Verfahrens.
Dann gilt f¨urω∈R:
ρ(GGS(ω))≥ |ω−1|
Welche ω sind demnach h¨ochstens f¨ur die Verwendung im SOR Verfahren geeignet?
Aufgabe 15: Programmieraufgabe(4 Punkte)
Implementieren Sie das SOR Verfahren und l¨osen Sie damit das lineare Gleichungssystem, das bei Diskretisierung des zweidimensionalen Poisson Problems entsteht. Zeichnen Sie den Fehler der L¨osung gegen die Anzahl der Iterationen und vergleichen Sie mit dem Jacobi-Verfahren oder dem Gauß-Seidel- Verfahren. Sie d¨urfen hier die L¨osung zu Aufgabe 11 als Ausgangspunkt f¨ur Ihr Programm verwenden.
SeiGGS(ω) die Iterationsmatrix des SOR Verfahrens angewandt aufA=Tm×m. Zeichnen Sieρ(GGS(ω)) gegen ω f¨urω∈(0,2) f¨urm= 10.
Abgabe bis 26. November 2020, 14:30 Uhr im ILIAS.
Besprechung in den ¨Ubungsgruppen ab dem 30. November 2020.
