Programmier ¨ubung Nr. 8

IWR – Universit¨at Heidelberg Prof. Dr. Guido Kanschat

Abgabe:19.12.2012

Programmier ¨ubung Nr. 8

zur Vorlesung Einf ¨uhrung in die Numerik, Winter 2012/13

In dieser Woche vergleichen wir die numerischen Qualit¨aten verschiedener Orthogonalisierungsmethoden. Sei dazun = 7.

Gegeben sei ferner die Basis{x1, . . . , xn}durch die erstennSpalten der Hilbertmatrix der Dimensionn. Benutzen Sie dazu die Hilbertmatrix aus Octave, nicht aus dem Skript.

Berechnen Sie eine Orthonormalbasis{q₁, . . . , q_n}mit den unten aufgef¨uhrten Algorithmen. ¨Uberpr¨ufen Sie danach die Or- thogonalit¨atsrelation der Vektoren oder berechnen Sie die Spektralkonditionszahl der MatrixQ= (q₁, . . . , q_n), um die Qualit¨at Ihrer Orthogonalisierung zu testen.

(a) Gram-Schmidt-Verfahren (einfache Version) r11:=kx1k2

q1:=x1/r11

forj:= 2. . . ndo fori:= 1. . . j−1do

rij :=hxj, qii end for

ˆ

q_j :=x_j−Pj−1 i=1r_ijq_i r_jj :=kqˆ_jk₂

q_j := ˆq_j/r_jj end for

(b) Gram-Schmidt-Verfahren (verbesserte Version) r11:=kx1k2

q1:=x1/r11

forj:= 2. . . ndo ˆ

qj =xj

fori:= 1. . . j−1do rij :=hˆqj, qii ˆ

qj:= ˆqj−rijqi

end for r_jj :=kqˆ_jk2

q_j := ˆq_j/r_jj end for

(c) Gram-Schmidt-Verfahren mit Reorthogonalisierung: wenden Sie das verbesserte Gram-Schmidt-Verfahren ein weiteres Mal auf die Vektorenq₁, . . . , q_nan.

(d) (Zusatzaufgabe) Householder-Transformation: Es gelten die DefinitionenPk =I−2wkw^T_k undek= (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)^T mit der “1” in positionk. Ferner seixikdiei-te Komponente des Vektorsxk.

forj:= 1. . . ndo β= sgn(xjj)

sn

P

i=j

|aij|²

z=





 z₁

... zn





mitz_i=







0 i < j

β+xjj i=j x_ij i > j w_j =z/kzk2

q_j =P₁P₂. . . P_je_j end for

Dieses Verfahren ist aus “Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition”, Abschnitt 1.7, kompiliert.

Es muß noch auf Fehler untersucht werden.