Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Syntax Symbole und Struktur

I MengeP vonAussagenvariablen(p,q,r, . . .) I Junktoren(je mit Stelligkeit):

t(0),f(0),¬(1),∨(2),∧(2),→(2),↔(2)

I aussagenlogische Formeln AL(P)(induktive Def.):

IA Atome (Aussagenvariablen)∈P

IS zusammengesetzte Formeln (ϕ, ψ, η, . . .):

Verkn¨upfung von Formeln durch Junktoren Prinzip der strukturellen Induktion ¨uberBaumstrukturvon Formeln

Semantik (Bedeutung der Syntaxelemente)

I einerAussagenvariablen: Wahrheitswert∈ {0,1}

I aller Aussagenvariablen einer MengeP:

Belegung (Interpretation)W :P→ {0,1}

I eines n-stelligenJunktors∗:

Wahrheitswertfunktion J∗K:{0,1}ⁿ→ {0,1}

I einer Formel unter einer Belegung W: FunktionW : AL(P)→ {0,1}

I Modell (erf¨ullende Belegung)

I einerFormelϕ∈AL(P):Modellmenge Mod(ϕ)

Wiederholung: Modellmengen aussagenlogischer Formeln

F¨ur Formelϕ∈AL(P)

I Belegungder AussagenvariablenW :P→ {0,1}

I wird fortgesetzt zu einer Funktion W :AL(P)→ {0,1}

W(ϕ) ist die Semantik (Bedeutung) der Formel unter W I Wertetabelle dieser Funktion:Wahrheitwerttabellef¨urϕ

I Belegung heißtModell(erf¨ullende Belegung) f¨urϕgdw. W(ϕ)= 1 I Semantik der Formelϕ:Modellmenge= Menge aller Modelle f¨urϕ

Mod(ϕ)={W :P→ {0,1} |W(ϕ) = 1}

(kompakte Darstellung der Wahrheitswerttabelle f¨urϕ) Beispiele:

I Mod(p∨(q∧ ¬p)) ={W₁₀,W₀₁,W₁₁},

I Mod(p→p) ={W₀,W₁}={W :{p} → {0,1}}

(alle m¨oglichen Belegungen f¨urp), I Mod(p∧ ¬p) =∅

Erf¨ ullbarkeit und Allgemeing¨ ultigkeit

Definition: Eine Formelϕ∈AL(P) heißt erf¨ullbar , wennMod(ϕ)6=∅,

also (wenigstens) eine BelegungW :P→ {0,1}mit W(ϕ) = 1 existiert

Beispiel:¬p→p

unerf¨ullbar (Widerspruch), wennMod(ϕ) =∅,

also keine BelegungW :P→ {0,1} mitW(ϕ) = 1 existiert.

(wenn also f¨ur jede BelegungW giltW(ϕ) = 0), Beispiel:p∧ ¬p

allgemeing¨ultig (Tautologie), wennMod(ϕ) ={W :P→ {0,1}}, also f¨ur jede BelegungW :P→ {0,1} giltW(ϕ) = 1 (wenn also keine BelegungW mitW(ϕ) = 0 existiert).

Beispiel:p∨ ¬p

Fakt

Eine Formelϕ∈AL(P)ist genau dann allgemeing¨ultig, wenn die Formel¬ϕunerf¨ullbar ist.

Beweis (Tafel)

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Formelmengen

Formelmenge Φ ⊆ AL(P )

(Menge von Bedingungen)

Beispiele:

I

{p

p → q} ⊆ AL(P)

{p

p → q, ¬q} ⊆ AL(P )

{p → q} ⊆ AL(P )

∅ ⊆ AL(P )

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Semantik von Formelmengen

Eine Belegung W : P → {0, 1} erf¨ ullt eine Menge Φ ⊆ AL(P) von Formeln genau dann, wenn W

Formel

∈ Φ erf¨ ullt.

Bestimmung der Modelle (erf¨ ullenden Belegungen) z.B. durch Wahrheitswerttabellen

Beispiele:

I

einziges Modell f¨ ur {p, p → q}: W

I

{p

p → q, ¬q} hat kein Modell,

Modelle f¨ ur {p → q}: W

W

W

I

Jede Belegung ist ein Modell f¨ ur die Formelmenge ∅.

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Modellmengen von Formelmengen

Menge aller Modelle einer Menge Φ⊆AL(P) von Formeln:

Mod(Φ)={W :P→ {0,1} | f¨ur jedesψ∈Φ giltW ∈Mod(ψ)}

k¨urzere Formulierung derselben Definition: Mod(Φ) = \

ψ∈Φ

Mod(ψ) Beispiele:

I Mod({p,p→q}) = Mod({p})∩Mod({p→q})

={W₁₀,W₁₁} ∩ {W₀₀,W₀₁,W₁₁}={W₁₁}, I Mod({p,p→q,¬q}) =∅,

I Mod({p→q}) ={W00,W01,W11}

I Mod(∅) ={W :P→ {0,1}}(Menge aller Belegungen)

Fakt

Eine Belegung W :P→ {0,1}erf¨ullt eine endliche Formelmenge Φ ={ϕ1, . . . , ϕn} genau dann, wenn sie die Formelϕ1∧ · · · ∧ϕnerf¨ullt.

k¨urzere Formulierung derselben Aussage: Mod(Φ) = Mod





^

ψ∈Φ

ψ





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Modellierung durch aussagenlogische Formelmengen

Aussagen:

1.

Es wird nicht mehr viel Eis gekauft, wenn es kalt ist.

2.

Der Eisverk¨ aufer ist traurig, wenn nicht viel Eis gekauft wird.

3.

Es ist kalt.

Darstellung als Formelmenge Φ ⊆ AL({k, t, v}):

Φ = {k → ¬v, ¬v → t, k } Mod(Φ) ={W

}

neue zus¨ atzliche Aussage:

4.

Der Eisverk¨ aufer ist nicht traurig.

Erweiterung der Formelmenge Φ zu

Φ

= Φ ∪ {¬t} = {k → ¬v

¬v → t, k, ¬t}

Mod(Φ

) = ∅ (Formelmenge Φ

unerf¨ ullbar)

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Semantische ¨ Aquivalenz aussagenlogischer Formeln

Definition

Zwei Formelnϕ, ψ∈AL(P) heißen

genau dann(semantisch) ¨aquivalent(ϕ≡ψ), wenn Mod(ϕ) = Mod(ψ).

alternative Formulierung:

ϕ≡ψgdw. f¨ur jede BelegungW :P→ {0,1} giltW(ϕ) =W(ψ).

Aquivalente Formeln haben dieselbe Semantik (Wahrheitswertfunktion).¨ Beispiele:p→q≡¬p∨q,p∨q≡¬p→q(Nachweis mit WW-Tabelle) allgemein: F¨ur alle Formelnϕ, ψ∈AL(P) gilt

ϕ→ψ ≡ ¬ϕ∨ψ ϕ∨ψ ≡ ¬ϕ→ψ ϕ∧ψ ≡ ¬(ϕ→ ¬ψ)

ϕ↔ψ ≡ (ϕ→ψ)∧(ψ→ϕ)

Achtung: Das Symbol≡ist kein Junktor (Syntax), sondern ein Symbol f¨ur eine Beziehung zwischen Formeln (Semantik).

Aber: F¨ur alle Formelnϕ, ψ∈AL(P) l¨asst sich beweisen (Tafel):

ϕ≡ψgilt genau dann, wenn die Formel ϕ↔ψallgemeing¨ultig ist. ₄₈

Nachweis von Aussagen ¨ uber alle Formeln

Aussagen der Form: F¨uralleFormelnϕ, ψ∈AL(P) gilt . . . lassen sichnichtmit Wahrheitswerttabellen nachweisen.

Beispiel (Tafel vom 21.10.2021):

F¨ur alle Formelnϕ, ψ∈AL(P) giltϕ→ψ≡¬ϕ∨ψ

Nach Definition von≡ist zu zeigen:Mod(ϕ→ψ)= Mod(¬ϕ∨ψ) Mod(ϕ→ψ)

(Def. Mod) = {W :P→ {0,1} |W(ϕ→ψ) = 1}

(Def.J→K) = {W :P→ {0,1} |W(ϕ)≤W(ψ)}

(Def.≤) = {W :P→ {0,1} |W(ϕ) = 0 oderW(ψ) = 1}

(Def.J¬K) = {W :P→ {0,1} |W(¬ϕ) = 1 oderW(ψ) = 1}

(Def. max) = {W :P→ {0,1} |max(W(¬ϕ),W(ψ)) = 1}

(Def.J∨K) = {W :P→ {0,1} |W(¬ϕ∨ψ)) = 1}

(Def. Mod) = Mod(¬ϕ∨ψ)

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