Was bisher geschah

Was bisher geschah

Wiederholung TM / DTM

§ DefinitionM “ pX,Q,Γ, δ,q0,2q

§ Konfigurationen

§ Konfigurationenfolgen (Berechnungen)

§ Akzeptanz durch Halt

§ Nebenwirkung: ¨Anderung des Bandinhaltes Wiederholung abz¨ahlbare / ¨uberabz¨ahlbare Mengen G¨odelisierung:

§ Darstellung durch endliche Zeichenketten:

§ Zahlen

§ strukturierte Daten: Paare, Tupel, Listen, B¨aume

§ Graphen, TM, TM-Konfigurationen

§ Codierung strukturierter Daten durch nat¨urliche Zahlen, z.B.: Paare, Tupel, Listen, B¨aume

§ Repr¨asentation von Problemen als Sprachen / Mengen

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WH: Nichtdeterministische TM

TMM “ pt0,1u,tq₀,q₁,fu,t0,1,2u, δ,q₀,2q mit δ “ t p0,q₀,1,q₀,Rq

p1,q0,1,q0,Rq p1,q0,1,q1,Rq p1,q1,1,q1,Rq p2,q₁,2,f,Lqu

endet bei Eingabe des Wortes 11011 bei (z.B.) folgender Berechnung

q011011 $ 1q01011$11q0011$111q011$1111q11

$ 11111q₁2$1111f1

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Simulation nichtdeterministischer TM

Satz

Zu jeder nichtdeterministischen TM M existiert eine deterministische TM M¹ mit LpMq “LpM¹q.

Beweisidee:

Menge aller m¨oglichen Berechnungen von M bei Eingabe vonw bilden einen Baum (evtl. mit unendlich langen Pfaden)

Knoten: Konfigurationen

Wurzel: Startkonfiguration (Startzustand, Eingabewort) Bl¨atter: Halt-Konfigurationen (ohne Folgekonfigurationen) Kanten: zul¨assige Konfigurations¨uberg¨ange inM

M¹ f¨uhrt Breitensuche in diesem Baum durch

(simuliert parallele Berechnung aller M¨oglichkeiten, dovetailing), Bandinhalt vonM¹ ist Liste von Konfigurationen aus M

M¹ h¨alt, sobald eine Halt-Konfiguration von M auf dem Arbeitsband steht.

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DTM zur Berechnung von Funktionen

Beobachtung (der Nebenwirkung) der Berechnung von DTM:

JededeterministischeTM M berechnet eine Funktion fM :X^˚ ÑΓ^˚

Eingabe w PX^˚: Inhalt des Arbeitsbandes bei Start der Berechnung (Eingabewort)

Ausgabe v PΓ^˚: Inhalt des Arbeitsbandes nach Halt der TM FallsM bei Eingabe vonw nicht h¨alt, istf_Mpwqnicht definiert.

TMM berechnet i.A. einepartielleFunktion f_M :X^˚ ÑΓ^˚ daf_M nur f¨ur die W¨orterw PX^˚ definiert ist, bei deren EingabeM h¨alt.

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Turing-berechenbare Funktionen

Jede deterministische TMM definiert die (partielle) Funktion f_M :X^˚ ÑΓ^˚, wobei @w PX^˚

f_Mpwq“

#

v falls Bandinhaltv, nachdemM h¨alt nicht definiert fallsM nicht h¨alt

Beispiel:M “ pta,bu,tq0,q1,q2,q3u,ta,b,2u, δ,q0,2q mit δ “ tpa,q₀,2,q₁,Rq,pb,q₀,2,q₂,Rq,p2,q₀,2,q₀,Nqu

Ytpa,q1,a,q1,Rq,pb,q1,b,q1,Rq,p2,q1,a,q3,Nqu Ytpa,q2,a,q2,Rq,pb,q2,b,q2,Rq,p2,q2,b,q3,Nqu definiert die Funktion

f_Mpwq “

#

vx fallsw “xv mit xP ta,bu und vP ta,bu^˚ nicht definiert fallsw “ε

Eine Funktionf :X^˚ ÑX^˚ heißt Turing-berechenbar gdw.eine deterministische TM M mit f “fM existiert.

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Beispiele

§ g :t1u^˚Ñ t1u^˚ mitgpwqf¨ur alle w P t1u^˚ undefiniert ist berechenbar durch die TM M “ pt1u,tq₀u,t1,2u, δ,q₀,2q mit δ“ tpq0,1,q0,1,Nq,pq0,2,q0,2,Nqu

§ f :ta,bu^˚ Ñ ta,bu^˚ mit f¨ur alle w P ta,bu^˚ gilt

fpwq “

#

a^m`n fallsw “a^mbaⁿ nicht definiert sonst

ist berechenbar durch die TM

M “ pta,bu,tq₀,q₁,q₂,fu,ta,b,2u, δ,q₀,2q mit

δ “ tpa,q₀,a,q₀,Rq,pb,q₀,a,q₁,Rq,p2,q₀,2,q₀,Nqu Ytpa,q₁,a,q₁,Rq,pb,q₁,b,q₁,Nq,p2,q₁,2,q₂,Lqu Ytpa,q2,2,f,Nqu

h¨alt genau bei jedem Eingabewort ausa^˚ba^˚,

verschiebt dabei den Teil recht vonb um eine Zelle nach links (mit aÞÑ1 und bÞÑ ‚ : Addition in Un¨ardarstellung)

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Komposition (Nacheinanderausf¨ uhrung) von TM

F¨ur DTMM1 “ pX,Q1,Γ1, δ1,q1,2q und M₂“ pX,Q₂,Γ₂, δ₂,q₂,2q mitQ₁XQ₂ “ H

berechnetM “ pX,Q₁YQ₂YZ,Γ₁YΓ₂, δ,q₁,2qmit

δ “ δ1Yδ2

Ytpx,q,x,z0,Nq |x PΓ1^q PQ1^ px,q,¨,¨,¨q Rδ1u Yδ_Z Y tpx,z_f,x,q₂,Nq |xPΓ₁u

die Nacheinanderausf¨uhrung vonf_M1 und f_M2:x ÞÑf_M2pf_M1pxqq wobeiδ_Z alle n¨otigen ¨Uberg¨ange zwischen z₀PZ und z_f PZ enth¨alt zur

§ Pr¨ufung, ob Ausgabe PX^˚ (also korrekte Eingabe f¨urM₂) und

§ Bewegung des Kopfes an Anfang der Ausgabe Beispiel:

Addition einer festen gegebenen Zahl durch mehrmalige Nacheinanderausf¨uhrung vonM_`1

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Beispiel

TMM“0“ pX,Q,Γ, δ,q0,2q mit X “ t0,1u

Q “ tq₀,p,f₁,f₂u Γ “ t0,1,2u

δ “

$

&

%

p1,q₀,1,f₂,Nq,p2,q₀,2,f₂,Nq, p0,q0,0,p,Rq,p1,p,1,f2,Lq, p0,p,0,f2,Lq,p2,p,2,f1,Lq,

, . -

h¨alt in Konfiguration

§ f10 f¨ur Eingabe 0 und

§ f₂w f¨ur jede andere Eingabew M“0 testet, ob Bandinhalt “0

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Fallunterscheidung

F¨ur TM

M_“0 “ pX,Q_“0,Γ_“0, δ_“0,q₀,2q M1 “ pX,Q1,Γ1, δ1,q1,2q M2 “ pX,Q2,Γ2, δ2,q2,2q mitQ_“0,Q₁,Q₂ paarweise disjunkt

berechnet die TM

M “ pX,Q“0YQ1YQ2,Γ“0YΓ1YΓ2, δ,q1,2q mit

δ “δ_“0Yδ₁Yδ₂Y ď

xPΓ1

tpx,f₁,x,q₁,Nq,px,f₂,x,q₂,Nqu

die Funktionf_M1, falls 0 auf dem Eingabeband steht, sonstf_M2

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Existenz nicht Turing-berechenbarer Funktionen

Ist jede Funktionf :NÑN(bin¨arcodiert) Turing-berechenbar?

(analogf :X^˚ÑX^˚,f :X^˚ÑY^˚,f :NⁿÑN) Nein(Gegenbeispiel sp¨ater)

Begr¨undung:

1. WievieleTuring-Maschinen¨uber dem Alphabett0,1ugibt es?

abz¨ahlbarviele

Jede TM kann endlich codiert und die Menge aller dieser

Codierungen kann (z.B. quasi-lexikographisch) angeordnet werden.

2. WievieleFunktionenf :NÑNgibt es?

¨uberabz¨ahlbarviele

(zweites Diagonalverfahren von Cantor)

Damit existieren sogar sehr viel mehr (¨uberabz¨ahlbar viele) Funktionen f :NÑN

(f :t0,1u^˚ Ñ t0,1u^˚,f :X^˚ÑX^˚,f :X^˚ÑY^˚,f :NⁿÑN), die nicht von TM berechnet werden k¨onnen.

54

Mehrband-Turingmaschinen

Idee:

§ mehrere beidseitig unendliche Arbeitsb¨ander

§ je ein Schreib-/Lesekopf je Band arbeiten unabh¨angig voneinander

k-Band-Turing-Maschine M “ pX,Q,Γ, δ,q₀,2q mit X endliches Eingabealphabet

Q endliche Menge von Zust¨anden Γ ĄX endliches Arbeitsalphabet δ Ď pΓ^k ˆQˆΓ^k ˆQˆ tL,R,Nu^kq

Ubergangsrelation¨ q₀ Startzustand

2 PΓzX Leere-Zelle-Symbol

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Beispiel f¨ ur Mehrband-TM

2-Band-Turing-MaschineM “ pX,Q,Γ, δ,q0,2qmit X “ t0,1u

Q “ tq₀,p,fu Γ “ t0,1,2u

δ “

$

’’

’’

’’

&

’’

’’

’’

%

p p0,2q, q₀, p0,0q, q₀, pR,Rq q, p p1,2q, q0, p1,1q, q0, pR,Rq q, p p2,2q, q₀, p2,2q, p, pL,Lq q, p p0,0q, p, p0,0q, p, pL,Lq q, p p1,1q, p, p1,1q, p, pL,Lq q, p p2,2q, p, p2,2q, f, pR,Rq q

, // // // . // // // -

kopiert Inhalt des Bandes 1 auf (leeres) Band 2 allgemein: Projektionpx1, . . . ,xnq ÞÑx_k

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Kombination von TM

Idee:

Kombination verschiedener Einband-TMMi zu einer Mehrband-TMM

Einband-TM zur Berechnung von (bin¨arcodiert)

§ M_i,0 “ pt0,1u,tq₀,pu,t0,1,2u, δ,q₀,2q mit

δ “ tp0,q0,2,q0,Rq,p1,q0,2,q0,Rq,p2,q0,0,p,Nqu schreibt Konstante 0 auf Band i

§ Nachfolger vom Inhalt des Bandes i auf Band i M_i,`1 “. . .

§ Vorg¨anger vom Inhalt des Bandes i auf Band i M_i,´1 “. . .

§ Kopie des Inhalts des Bandesi auf Band j

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Simulation von Mehrband-TM

Satz

Zu jeder k-Band-TM M existiert eine TM N (mit einem Band) mit fM “fN.

Beweisidee: Zusammenf¨ugen aller k B¨ander zu einem Band (mit mehreren Spuren)

§ Eingabe- und Arbeitsalphabet von N besteht aus k-Tupeln von Symbolen aus M

(simuliert Spuren, i-te Komponente ist Symbol auf Bandi)

§ zus¨atzliche Zust¨ande zur Verschiebung der Inhalte einzelner Komponenten (Spuren)

§ nach jedem ¨Ubergang:

Synchronisierung der Positionen aller Schreib/Lese-K¨opfe durch Verschiebung der Bandinhalte (in mehreren Schritten)

§ um eine Zelle nach links bei Bewegung des Kopfes nach rechts

§ um eine Zelle nach rechts bei Bewegung des Kopfes nach links

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Elementare Turing-berechenbare Funktionen

Turing-berechenbar sind z.B. die folgenden Funktionen:

§ jede Konstante x PN (w PX^˚)

§ identische Funktion xÞÑx

§ Projektion px₁, . . . ,x_nq ÞÑx_k (z.B. mit Mehrband-TM )

§ Nachfolger x ÞÑx`1

§ Vorg¨anger x ÞÑmaxp0,x´1q

§ Addition

§ schwache Subtraktion px₁,x₂q ÞÑmaxp0,x₁´x₂q, Notation:x1´x2

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Abschluss-Eigenschaften

Die Menge aller Turing-berechenbaren Funktionen ist abgeschlossen unter:

Nacheinanderausf¨uhrung Sind f :NÑNund g :NÑN Turing-berechenbar,

dann ist auchx ÞÑfpgpxqqTuring-berechenbar.

(Nacheinanderausf¨uhrung der TM f¨urg und f) Einsetzen (Substitution)

Sindf :N² ÑN,g₁,g₂ :NÑN Turing-berechenbar, dann auchx ÞÑfpg1pxq,g2pxqq

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