Perfektsedmonoidid GetterHiis-Hommuk Tartu¨Ulikool

Tartu ¨ Ulikool

Loodus- ja t¨appisteaduste valdkond Matemaatika ja statistika instituut

Getter Hiis-Hommuk

Perfektsed monoidid

Matemaatika Bakalaureuset¨o¨o (9 EAP)

Juhendaja: Valdis Laan

Tartu 2021

PERFEKTSED MONOIDID Bakalaureuset¨o¨o

Getter Hiis-Hommuk

L¨uhikokkuv˜ote

K¨aesolevas bakalaureuset¨o¨os antakse ¨ulevaade perfektseid monoide kirjelda- vast John Fountaini teoreemist. K˜oigepealt tuletatakse meelde poolr¨uhma- teooria p˜ohim˜oisted ja antakse perfektse monoidi definitsioon. Seej¨arel s˜onas- tatakse ja t˜oestatakse abitulemused. L˜opuks antakse nende tulemuste abil p˜ohiteoreemi t˜oestus.

CERCS teaduseriala:P120 Arvuteooria, v¨aljateooria, algebraline geomeet- ria, algebra, r¨uhmateooria

M¨arks˜onad: monoidid, ideaalid, kategooriad

PERFECT MONOIDS Bachelor thesis Getter Hiis-Hommuk

Abstract

In this Bachelor’s thesis we give an overview of a theorem by John Fountain which describes perfect monoids. Firstly we recall basic concepts of semigroup theory and give the definition of a perfect monoid. Then helping results are formulated and proven. Finally we present a proof of the main theorem based on the results that were previously proven.

CERCS research specialisation: P120 Number theory, field theory, al- gebraic geometry, algebra, group theory

Key Words: monoids, ideals, categories

Sisukord

Sissejuhatus 3

1 Definitsioonid 4

1.1 Monoid, ideaal . . . 4

1.2 Pol¨ugoon, ts¨ukliline pol¨ugoon . . . 5

1.3 Projektiivne pol¨ugoon, perfektne monoid. . . 8

1.4 J¨arjestatud hulgad . . . 9

2 P˜ohitulemuse s˜onastus 11

3 P˜ohitulemuse t˜oestus 13

4 N¨aited 28

Kokkuv˜ote 29

Viited 30

Sissejuhatus

Objekti projektiivsus on ¨uks oluline m˜oiste, millest v˜oib r¨a¨akida mistahes kate- goorias. Teatud objektidel v˜oivad leiduda nendega mingis m˜ottes l¨ahedased pro- jektiivsed objektid, mida kutsutakse projektiivseteks kateteks.

Perfektsus defineeriti esmalt ¨uhikelemendiga ringide jaoks ¨oeldes, et ring on va- sakperfektne, kui tema igal vasakpoolsel moodulil leidub projektiivne kate. Ana- loogiliselt ringide juhuga defineeris John Isbell [2] vasakperfektsed monoidid kui sellised, mille igal vasakpoolsel pol¨ugoonil leidub projektiivne kate. Samas artiklis andis ta ka teatud tarvilikud ja piisavad tingimused monoidi vasakperfektsuseks.

M˜oned aastad hiljem ilmunud John Fountaini artiklis [1] t˜oestati veel mitu vasak- perfektsusega samav¨a¨arset tingimust. Neist ¨uks ¨utleb n¨aiteks seda, et iga tugevalt lame pol¨ugoon on projektiivne. Seega v˜oib Fountaini teoreemi vaadelda ka kui monoidide homoloogilise klassifikatsiooni tulemust.

K¨aesoleva referatiivse bakalaureuset¨o¨o eesm¨argiks on anda ¨uksikasjalik ¨ulevaade John Fountaini artiklis [1] t˜oestatud teoreemist.

T¨o¨o esimeses peat¨ukis tuletame k˜oigepealt meelde poolr¨uhmateooria p˜ohim˜oisted.

Seej¨arel anname projektiivsete pol¨ugoonide definitsiooni ja kirjelduse ning per- fektse monoidi definitsiooni projektiivsete katete kaudu. Viimaks anname ¨ulevaate m˜oningatest j¨arjestatud hulkade omadustest, mis on vajalikud j¨argnevates peat¨ukkides olevate tulemuste t˜oestamiseks.

Teises peat¨ukis anname p˜ohiteoreemi s˜onastuse. Samuti kirjeldame teoreemis esi- nevate m˜oistete ja tingimuste sisu.

Kolmandas peat¨ukis s˜onastame kuus lemmat ja ¨uhe j¨arelduse, mida l¨aheb vaja p˜ohiteoreemi t˜oestuses. Peat¨uki l˜opus n¨aitame, kuidas teoreemi t˜oestus nende abil v¨alja tuleb.

Neljandas peat¨ukis toome m˜oned n¨aited perfektsetest monoidest.

1 Definitsioonid

Alustuseks esitame m˜oned p˜ohim˜oisted ja tulemused, millest enamus p˜ohinevad kursuse Sissejuhatus algebra struktuuridesse loengukonspektil [7].

1.1 Monoid, ideaal

Definitsioon 1. Kahekohaliseks algebraliseks tehteks hulgal A nimetame kujutust A² →A.

Definitsioon 2. Poolr¨uhmaks nimetatakse hulkaS koos sellel defineeritud ka- hekohalise tehtega·, mis on assotsiatiivne ehk igaa, b, c∈Spuhul kehtiba·(b·c) = (a·b)·c. Kirjutame edaspidi ab:=a·b.

Definitsioon 3. Kui leidub elemente∈S nii, et iga elemendia∈Skorral kehtib ae=a=ea, siis nimetame poolr¨uhma S monoidiks.

Elementi enimetame monoidiuhikelemendiks¨ ning t¨ahistame s¨umboliga 1.

Definitsioon 4. MonoidiSalamhulkaT nimetataksealammonoidiks, kui ta on kinnine korrutamise suhtes ja sisaldab S ¨uhikelemendi.

Definitsioon 5. Alamhulka I poolr¨uhmas S nimetatakse selle poolr¨uhma pa- rempoolseks ideaaliks, kui iga a ∈ I ja s ∈ S korral as ∈ I. Analoogiliselt nimetatakse alamhulka I poolr¨uhma S vasakpoolseks ideaaliks, kui iga a∈ I jas∈Skorralsa∈I.Poolr¨uhmaideaaliksnimetatakse poolr¨uhma parempoolset ideaali, mis on ka vasakpoolne ideaal.

Definitsioon 6. Poolr¨uhmaSparempoolset ideaaliInimetatakseminimaalseks parempoolseks ideaaliks, kui

1. I 6=∅

2. iga parempoolse ideaaliJ korral, kui J 6=∅ja J ⊆I, siis J =I.

Definitsioon 7. Olgu S monoid ning olgu a ∈ S. Siis alamhulk Sa ⊆ S on vasakpoolne ideaal, mida nimetatakse elemendi apoolt tekitatud vasakpoolseks peaideaaliks. Analoogiliselt saab defineerida parempoolse peaideaali.

Definitsioon 8. Oeldakse, et monoidi¨ S vasakpoolne ideaal I on l˜oplikult teki- tatud, kui leidub naturaalarv nja elemendid s1, . . . , sn∈I nii, et

I =Ss1∪. . .∪Ssn.

On selge, et iga vasakpoolne peaideaal on l˜oplikult tekitatud.

1.2 Pol¨ ugoon, ts¨ ukliline pol¨ ugoon

Definitsioon 9. Olgu A hulk ja S monoid. Kujutust A×S → A, (a, s) 7→ as nimetatakse monoidi S toimekshulgal A, kui igaa∈Aja s, t∈S korral

1. (as)t=a(st), 2. a1 =a.

Hulka A nimetatakse seejuures parempoolseks pol¨ugooniks ¨ule monoidi S ehk parempoolseks S-pol¨ugooniks. T¨ahistameA_S.

Definitsioon 10. Hulga A alamhulka B nimetatakse pol¨ugooni AS alampol¨u- gooniks, kui igab∈B ja s∈S korralbs∈B.

Alampol¨ugooniBnimetatakse pol¨ugooniA_Sp¨arisalampol¨ugooniks, kuiB 6=A.

N¨aide 1. 1) OlguSmonoid. Kui v˜otame toimeksSkorrutamise, siisSon pol¨ugoon ule iseenda. Monoidi¨ S iga parempoolne ideaal on selle pol¨ugooni alampol¨ugoon.

2) Mistahes pol¨ugooni A_S korral ∅ja Aise on tema alampol¨ugoonid.

Kui AS on parempoolneS-pol¨ugoon jaa∈A, siis t¨ahistame

aS={as|s∈S} ⊆A.

Lihtne on n¨aha, et aS on pol¨ugooni A_S alampol¨ugoon. Selliseid alampol¨ugoone nimetatakse ts¨uklilisteks.

Tuleb v¨alja, et ts¨uklilisi pol¨ugoone saab kirjeldada monoidi faktoritena.

Definitsioon 11. Poolr¨uhma S parempoolne kongruents on ekvivalentsus- seos ρ hulgalS, mis on koosk˜olas S elementidega paremalt korrutamisega, s.t. iga s1, s2, s∈S korral kehtib implikatsioon

s1ρs2 =⇒ (s1s)ρ(s2s).

Kui ρ on monoidi S parempoolne kongruents, siis defineerides faktorhulgal

S/ρ={[s]|s∈S}

monoidi S toime v˜ordusega

[s]t:= [st]

saame parempoolse S-pol¨ugooni.

Definitsioon 12. Kujutust f :AS →BS nimetataksepol¨ugoonide homomor- fismiks, kui iga a∈A ja igas∈S korral

f(as) =f(a)s.

Definitsioon 13. Pol¨ugoonide homomorfismif :A_S →B_S nimetakse pol¨ugoo- nide isomorfismiks, kui kujutus f on bijektiivne.

Lause 1. Pol¨ugoon A_S on ts¨ukliline parajasti siis, kui leidub monoidi S parem- poolne kongruents ρ nii, et AS ∼=S/ρ.

T˜oestus. Pol¨ugoon S/ρon ts¨ukliline, sest S/ρ= [1]S ={[1]s|s∈S}. Sellega on t˜oestatud piisavus.

T˜oestame ka tarvilikkuse. Olgu AS ts¨ukliline pol¨ugoon. Siis leidub a ∈ A nii, et A_S=aS. Defineerime monoidilS binaarse seoseρ j¨argmiselt:

sρt ⇐⇒ as=at.

Lihtne on aru saada, etρon ekvivalentsiseos. N¨aitame, etρ on parempoolne kong- ruents. Kehtigu s, t ∈ S korral sρt, s.t. as = at. Olgu u ∈ S. Siis (as)u = (at)u, millest a(su) =a(tu). Seega (su)ρ(tu).

N¨aitame, etAS ∼=S/ρ. Defineerime kujutusef :A→S/ρv˜ordusega

f(as) := [s],

s∈S. T¨anuρdefinitsioonile on see kujutus korrektselt defineeritud ja injektiivne.

On ilmne, et f on s¨urjektiivne. Veendume, et f on pol¨ugoonide homomorfism.

Olgua∈A jas, t∈S suvalised. Siis

f((as)t) =f(a(st)) = [st] = [s]t=f(as)t.

Kokkuv˜ottesf on pol¨ugoonide isomorfsim.

Definitsioon 14. Monoidi S alammonoidi T nimetatakse paremunitaarseks, kui

(∀x, y∈S)(x, xy∈T =⇒ y∈T).

Lemma 2. Kuiρon parempoolne kongruents monoidilS, siis ¨uhikelemendiρ-klass on paremunitaarne alammonoid.

T˜oestus. Vaatleme hulka

B:= [1] ={s∈S |sρ1} ⊆S,

s.t. B on ¨uhikelemendiρ-klass. MonoidiS ¨uhikelement kuulub hulkaB, sest 1ρ1.

Olgub₁, b₂ ∈B. Siisb₁ρ1 jab₂ρ1. Kunaρon parempoolne kongruents, siisb₁b₂ρb₂. Seose ρ transitiivsuse t˜ottu b1b2ρ1, seega b1b2 ∈ B. J¨arelikult B on monoidi S alammonoid.

N¨aitame, et ta on paremunitaarne. Kehtigu mingite x, y ∈ S korral x ∈ B ja xy ∈B. Siisxρ1 jaxyρ1. N¨u¨udxyρy ja seega kayρxy. Seoseρ transitiivsuse t˜ottu yρ1. Seega B on paremunitaarne alammonoid, mida oligi vaja n¨aidata.

Definitsioon 15. Kui pol¨ugooniSei saa esitada kahe mittet¨uhja l˜oikumatu alam- pol¨ugooni ¨uhendina, siis nimetatakse pol¨ugooni S lahutumatuks.

Kehtib j¨argmine lause.

Lause 3 ([5, Teoreem 7.1.21]). Iga S-pol¨ugoon on ¨uheselt esitatav lahutumatute alampol¨ugoonide l˜oikumatu ¨uhendina.

1.3 Projektiivne pol¨ ugoon, perfektne monoid

Definitsioon 16. Pol¨ugooniP_S nimetatakseprojektiivseks, kui iga s¨urjektiivse homomorfismi π : AS → BS ja iga homomorfismi f : PS → BS korral leidub homomorfism g:P_S →A_S nii, et πg=f.

A_S B_S

PS

g

π

f

Teoreem 4([5, Teoreem 7.2.7]). Olgu pol¨ugoonP_S oma alampol¨ugoonideP_i,i∈I, l˜oikumatu ¨uhend. SiisPS on projektiivne parajasti siis, kui igaPi on projektiivne.

Definitsioon 17. Poolr¨uhmaSelementienimetatakseidempotendiks, kuie²= e.

J¨argmine teoreem annab projektiivsete pol¨ugoonide kirjelduse ¨ule monoidi S.

Teoreem 5 ([5, Teoreem 7.2.8]). Pol¨ugoon PS on projektiivne parajasti siis, kui leidub hulk I ja alampol¨ugoonid P_i, i∈I, nii et P_S =F

i∈IP_i ja iga i∈I korral leidub idempotent ei∈S nii, et Pi ∼=eiS.

J¨areldus 1. Kui e∈S on idempotent, siis pol¨ugoon eS on projektiivne.

Definitsioon 18. Pol¨ugooniA_Sprojektiivseks katteksnimetatakse s¨urjektiivset homomorfismi π:PS →AS, kus

1. P_S on mingi projektiivne pol¨ugoon,

2. π ahend ¨uhelegiP_S p¨arisalampol¨ugoonile ei ole s¨urjektiivne.

Definitsioon 19. Monoidi S nimetatakse paremperfektseks, kui igal parem- poolsel S-pol¨ugoonil leidub projektiivne kate.

Selles t¨o¨os me vaatleme ainult paremperfektseid monoide ja edaspidi ¨utleme nende kohta lihtsalt “perfektne monoid”.

1.4 J¨ arjestatud hulgad

Meil l¨aheb vaja j¨argmisi tulemusi j¨arjestatud hulkade kohta.

Lemma 6(Zorni lemma). Kui mittet¨uhja j¨arjestatud hulgaP igal ahelal on olemas

¨

ulemine t˜oke, siis selles hulgas leidub maksimaalne element.

Teoreem 7([4, Teoreem 1.4.14]). Mistahes j¨arjestatud hulgaP korral on j¨argmised tingimused samav¨a¨arsed.

1. (Minimaalsuse tingimus.) Hulga P mistahes mittet¨uhjas alamhulgas leidub minimaalne element.

2. (Kahanevate jadade tingimus.)Hulga P elementide mistahes kahaneva jada a₁ ≥a₂ ≥a₃≥. . .

korral leidub selline indeks n, eta_n=a_n+1=a_n+2=. . ..

Kui leidub selline naturaalarv n nagu tingimuses 2, siis ¨oeldakse, et see kahanev jada stabiliseerub ehk katkeb.

Muidugi on olemas ka selle teoreemi duaalne teoreem, kus minimaalsuse tingimuse asemel on maksimaalsuse tingimus ja kahanevate jadade asemel on kasvavad jadad.

Edaspidi kasutame neid kahte teoreemi vastavalt vajadusele, kuid harilikult ilma neile ilmutatult viitamata.

2 P˜ ohitulemuse s˜ onastus

Bakalaureuset¨o¨o p˜ohieesm¨ark on anda j¨argmise perfektseid monoide kirjeldava teo- reemi t˜oestus.

Teoreem ([1]). MonoidiS jaoks on j¨argmised v¨aited samav¨a¨arsed.

1. S on perfektne.

2. S rahuldab tingimusi (A) ja (D).

3. S rahuldab tingimusi (A) ja ML.

4. S rahuldab tingimust (A) ja kahanevate ahelate tingimust l˜oplikult tekitatud vasakpoolsete ideaalide jaoks.

5. Iga tugevalt lame parempoolne S-pol¨ugoon on projektiivne.

Selgitame selles teoreemis esinevaid tingimusi.

Tingimus (A): iga parempoolne pol¨ugoon A_S rahuldab kasvavate ahelate tingi- must ts¨ukliliste alampol¨ugoonide jaoks, s.t. hulgaAmistahes elementideai, i∈N, korral pol¨ugooniA ts¨ukliliste alampol¨ugoonide ahel

a₁S ⊆a₂S⊆a₃S ⊆. . .

katkeb. Viimane t¨ahendab seda, et leidub n ∈ N nii, et anS = an+1S = . . ..

Kasvavate ahelate tingimus pol¨ugooni A_S ts¨ukliliste alampol¨ugoonide jaoks on samav¨a¨arne sellega, et ts¨ukliliste alampol¨ugoonide hulga {aS |a ∈ A} igas mit- tet¨uhjas alamhulgas leidub maksimaalne element sisalduvusseose suhtes.

Tingimus (D): monoidiS igal paremunitaarsel alammonoidil leidub minimaalne parempoolne ideaal, mis on tekitatud idempotendi poolt.

See, et monoidi parempoolne ideaal I on tekitatud idempotendi poolt, t¨ahendab seda, et leidub idempotent enii, etI =eS.

TingimusML: kahanevate ahelate tingimus monoidiSvasakpoolsete peaideaalide jaoks. See t¨ahendab, et monoidiS mistahes elementides_i,i∈Nkorral monoidiS vasakpoolsete peaideaalide ahel

Ss1 ⊇Ss2 ⊇Ss3⊇. . .

katkeb. Viimane t¨ahendab seda, et leidub n ∈ N nii, et Ss_n = Ss_n+1 = . . ..

Tingimus ML on samav¨a¨arne sellega, et hulga {Ss | s ∈ S} igas mittet¨uhjas alamhulgas leidub minimaalne element.

Definitsioon 20. Pol¨ugooni AS nimetatakse tugevalt lamedaks (artiklis [1]

¨oeldakse sama asja kohta weakly flat), kui selle pol¨ugooniga tensorkorrutamise funktor s¨ailitab konservatiivseid ruute.

Meie kasutame selle definitsiooni asemel hoopis j¨argmist tugeva lameduse kirjel- dust, mille andis oma 1971. aasta artiklis Bo Stenstr¨om.

Teoreem 8 ([8, Teoreem 5.3]). Pol¨ugoon A_S on tugevalt lame parajasti siis, kui ta rahuldab j¨argmisi tingimusi:

(P): kui as=a⁰s⁰, a, a⁰ ∈A, s, s⁰ ∈S, siis leiduvad a⁰⁰∈A, u, v∈S nii, et a=a⁰⁰u, a⁰ =a⁰⁰v, us=vs⁰,

(E): kui as=as⁰, a∈A, s, s⁰ ∈S, siis leiduvad a⁰ ∈A, u∈S nii, et a=a⁰u, us=us⁰.

J¨argmine lause on j¨areldus raamatu [6] lausest 3.16.6 ja lausest 3.14.8.

Lause 9. Olgu ρ monoidiS parempoolne kongruents. Siis ts¨ukliline pol¨ugoon S/ρ on tugevalt lame parajasti siis, kui

(∀s, t∈S)(sρt =⇒ (∃u∈S)(us=ut ja uρ1)).

3 P˜ ohitulemuse t˜ oestus

P˜ohitulemuse t˜oestame terve rea lemmade abil.

Lemma 10([1, Lemma 1]). Kui k˜oik tugevalt lamedad parempoolsedS-pol¨ugoonid on projektiivsed, siis S rahuldab tingimust ML.

T˜oestus. Olgu Sa₁ ⊇Sb₂ ⊇Sb₃ ⊇. . . kahanev ahelS vasakpoolsetest peaideaa- lidest. Siis leiduvad elemendid a2, a3,· · · ∈S nii, et

b2 =a2a1, b3=a3a2a1, . . . , bm =am. . . a2a1, . . . .

Defineerime hulgal

F =N×S={(k, s)|k∈N, s∈S}

parempoolse S toime v˜ordusega

(k, s)z:= (k, sz)

k∈N,s, z∈S. Niimoodi saame parempoolse S-pol¨ugooni F_S. Defineerime hulgal F binaarse seose ρ j¨argmiselt:

(k, s)ρ(k⁰, s⁰) ⇐⇒ (∃n > k, k⁰)(a_n. . . a_ks=a_n. . . a_k⁰s⁰).

N¨aitame, etρ on pol¨ugooniF_S kongruents. Veendume k˜oigepealt, etρ on ekviva- lentsiseos. Kuna a_k+1a_ks=a_k+1a_ks, siis (k, s)ρ(k, s). Samuti ilmselt

(k, s)ρ(k⁰, s⁰) ⇐⇒ (k⁰, s⁰)ρ(k, s).

Seega seos ρ on refleksiivne ja s¨ummeetriline. N¨aitame, et seos ρ on transitiivne.

Kehtigu (k, s)ρ(k⁰, s⁰) ja (k⁰, s⁰)ρ(k⁰⁰, s⁰⁰). Siis leiduvad n1 > k, k⁰ ja n2> k⁰, k⁰⁰, et

an1. . . a_ks=an1. . . a_k⁰s⁰ ja an2. . . a_k⁰s⁰ =an2. . . a_k⁰⁰s⁰⁰.

Siisn= max{n₁, n₂}korral a_n. . . a_k⁰s⁰ =a_n. . . a_k⁰s⁰ ja eelneva p˜ohjal

a_n. . . a_ks=a_n. . . a_k⁰⁰s⁰⁰.

N¨aitame n¨u¨ud, et seos ρon koosk˜olas toimega. Selleks on vaja, et kehtiks

(∀z∈S)((k, s)ρ(k⁰s⁰) =⇒ (k, s)z ρ(k⁰, s⁰)z).

Kehtigu (k, s)ρ(k⁰, s⁰) ja olgu z ∈ S suvaline. Siis leidub selline naturaalarv n >

k, k⁰, et a_n. . . a_ks = a_n. . . a_k⁰s⁰. Eelmist v˜ordust elemendiga z l¨abi korrutades saame

a_n. . . a_ksz =a_n. . . a_k⁰s⁰z.

Kunasz, s⁰z∈S, siis sobib v˜otta saman, et kehtiks (k, sz)ρ(k⁰, s⁰z) ehk (k, s)z ρ(k⁰, s⁰)z.

Seega ρ on pol¨ugooniFS kongruents.

Moodustame faktorpol¨ugooni

MS =FS/ρ={[k, s]|k∈N, s∈S},

kus [k, s] t¨ahistab paari (k, s) ekvivalentsiklassi seose ρ j¨argi. N¨aitame, et MS

rahuldab tingimusi (P) ja (E).

Alustame tingimusest (P). Kehtigu mingite [k, s],[k⁰, s⁰] ∈ M ja z, z⁰ ∈ S korral v˜ordus [k, s]z = [k⁰, s⁰]z⁰ ehk [k, sz] = [k⁰, s⁰z⁰]. Siis (k, sz)ρ(k⁰, s⁰z⁰). N¨aitame, et leiduvad [k⁰⁰, s⁰⁰]∈M jau, v∈S, et kehtiksid v˜ordused

[k, s] = [k⁰⁰, s⁰⁰]u, [k⁰, s⁰] = [k⁰⁰, s⁰⁰]v ja uz =vz⁰.

Teame, et leidubn > k, k⁰nii, etan. . . aksz =an. . . a_k⁰s⁰z⁰. V˜otameu:=an. . . aks, v:=a_n. . . a_k⁰s⁰ ja (k⁰⁰, s⁰⁰) = (n+ 1,1). Siis

a_n+2. . . a_ks=a_n+2a_n+1u =⇒ (k, s)ρ(n+ 1, u) =⇒ [k, s] = [n+ 1,1]u,

an+2. . . ak⁰s⁰ =an+2an+1v =⇒ (k⁰, s⁰)ρ(n+ 1, v) =⇒ [k⁰, s⁰] = [n+ 1,1]v.

ja

uz=a_n. . . a_ksz=a_n. . . a_k⁰s⁰z⁰=vz⁰. Saime, et (P) kehtib.

Kehtigu n¨u¨ud mingite [k, s]∈M ja z, z⁰ ∈S korral [k, s]z= [k, s]z⁰ ehk [k, sz] = [k, sz⁰]. Peame n¨aitama, et leiduvad [k⁰, s⁰]∈M ja u∈S nii, et [k, s] = [k⁰, s⁰]u ja uz =uz⁰. Kuna (k, sz)ρ(k, sz⁰), siis leidub n > k nii, et a_n. . . a_ksz =a_n. . . a_ksz⁰. V˜otameu=a_n. . . a_ksja (k⁰, s⁰) = (n+ 1,1). Siis

an+2an+1. . . aks=an+2an+1u =⇒ (k, s)ρ(n+ 1, u) =⇒ [k, s] = [n+ 1,1]u

ja uz=an. . . a_ksz =an. . . a_ksz⁰ =uz⁰. Seega (E) kehtib.

Teoreemi 8 t˜ottu on MS tugevalt lame. Eelduse p˜ohjal on ta projektiivne. Seega s¨urjektiivse homomorfismi

π :F_S →M_S, (k, s)7→[k, s]

jaoks leidub homomorfismµ:M_S→F_S nii, et πµ= 1_M.

F_S M_S

MS

µ

π

1_M

Olguµ([1,1]) = (k, s)∈N×S. Siis

[1,1] = (πµ)([1,1]) =π(k, s) = [k, s].

Kuna (1,1)ρ(k, s), siis leidub n > 1, k nii, et a_n. . . a₁ ·1 = a_n. . . a_ks. Seega iga m > n korral

Sbm=Sam. . . a1 =Sam. . . an+1an. . . a1=Sam. . . an+1an. . . aks⊆Ss.

Olgu m > n ja µ([m+ 1,1]) = (r, c). Paneme t¨ahele, et (1,1)ρ(m+ 1, am. . . a1), sest

am+2. . . a1·1 =am+2am+1·am. . . a1. N¨u¨ud saame, et

(k, s) =µ([1,1]) =µ([m+ 1, a_m. . . a₁]) =µ([m+ 1,1])a_m. . . a₁

= (r, c)am. . . a1= (r, cam. . . a1),

kust k = r ja s = ca_m. . . a₁. J¨arelikult Ss ⊆ Sa_m. . . a₁ = Sb_m ja me oleme t˜oestanud, etSs=Sbm. Seega

Sa1⊇Sb2 ⊇Sb3 ⊇. . .⊇Sbn⊇Sbn+1 =Sbn+2=. . .

Meil l¨aheb vaja ka j¨argmisi definitsioone.

Definitsioon 21. Pol¨ugooniA_S alamhulkaX nimetataksetekitajate hulgaks, kui

(∀a∈A)(∃x∈X)(∃s∈S)a=xs.

Selle tingimuse v˜oib l¨uhidalt kirja panna v˜ordusena A = XS, kus hulk XS on defineeritud kui XS={xs|x∈X, s∈S}.

Definitsioon 22. Oeldakse, et pol¨¨ ugooniAS tekitajate hulk ons˜oltumatu, kui (∀x, x⁰∈X)(x∈x⁰S =⇒ x=x⁰).

Lemma 11 ([1, Lemma 2]). Rahuldagu pol¨ugoon A_S kasvavate ahelate tingimust ts¨ukliliste alampol¨ugoonide jaoks. Kui X on pol¨ugooni A tekitajate hulk, siis X sisaldab mingit A s˜oltumatut tekitajate hulka.

T˜oestus. T¨ahistame

X⁰ :={x∈X |(∀x⁰ ∈X)(xS⊆x⁰S =⇒ xS =x⁰S)} ⊆X .

N¨aitame, et X⁰ on AS tekitajate hulk. Selleks piisab, kui n¨aitame, et X ⊆ X⁰S.

(T˜oepoolest, kuiX⊆X⁰S, siis ka

A=XS⊆X⁰SS =X⁰S ⊆A

ja seega A=X⁰S.) V˜otame suvalise elemendix∈X ja vaatleme hulka

Px ={aS|a∈A, xS ⊆aS}

j¨arjestatud hulgana sisalduvusseose suhtes. Siis eelduse t˜ottu peab selles hulgas leiduma mingi maksimaalne elementaS. MuuhulgasxS ⊆aS. N¨aitame, eta∈X⁰. Mistahes x⁰ ∈ X korral, kui aS ⊆ x⁰S, siis ka xS ⊆ x⁰S ja x ∈ x⁰S. Et X on s˜oltumatu, siis x=x⁰. N¨u¨ud

aS⊆x⁰S=xS ⊆aS =⇒ aS=x⁰S.

Seega t˜oesti a ∈ X⁰. Kuna x ∈ xS ⊆ aS, siis leidub selline s ∈ S, et x = as.

J¨arelikultx∈X⁰S, mida tahtsimegi n¨aidata.

Defineerime n¨u¨ud hulgal X⁰ seose∼j¨argmiselt:

x∼x⁰ ⇐⇒ (∃s∈S)x=x⁰s.

Lihtne on aru saada, et

x∼x⁰ ⇐⇒ xS ⊆x⁰S .

N¨aitame, et ∼ on ekvivalentsiseos. Refleksiivsus kehtib ilmselt, sest xS ⊆xS iga x ∈ X⁰ korral. Olgu n¨u¨ud x, x⁰ ∈ X⁰. Kui x ∼ x⁰, siis xS ⊆ x⁰S. Et x ∈ X⁰, siis xS =x⁰S, j¨arelikult ka x⁰S ⊆ xS ja seega x⁰ ∼x. Sellega on s¨ummeetrilisus t˜oestatud. N¨aitame veel, et ∼ on transitiivne. Kehtigu x ∼ x⁰ ja x⁰ ∼ x⁰⁰. Siis xS ⊆ x⁰S ja x⁰S ⊆ x⁰⁰S, mist˜ottu ka xS ⊆ x⁰⁰S. Seega x ∼ x⁰⁰ ja transitiivsus kehtib.

Valime igast ekvialentsiklassist ∼ j¨argi v¨alja ¨uhe esindaja ja moodustame neist esindajatest hulga X⁰⁰. SiisX⁰⁰⊆X. N¨aitame, et X⁰⁰ on pol¨ugooniA_S s˜oltumatu tekitajate hulk.

K˜oigepealt n¨aitame, etX⁰⁰onAStekitajate hulk. V˜otame selleksa∈Aja n¨aitame, et leiduvadx∈X⁰⁰ jas∈S, nii eta=xs. Seose∼definitsiooni p˜ohjal igax⁰ ∈X⁰ korral leiduvad x⁰⁰ ∈X⁰⁰ ja s∈S nii, etx⁰ =x⁰⁰s. Seega kuna X⁰ on pol¨ugooni A tekitajate hulk, siis ka X⁰⁰ on pol¨ugooniA_S tekitajate hulk.

N¨aitame l˜opuks, et X⁰⁰ on s˜oltumatu tekitajate hulk. Kui x, x⁰ ∈ X⁰⁰ ⊆ X ja x ∈x⁰S, siis t¨anuX s˜oltumatusele x =x⁰. Seega X⁰⁰ on pol¨ugooniAS s˜oltumatu tekitajate hulk, mida oligi vaja n¨aidata.

Lemma 12 ([1, Lemma 3]). Olgu AS tugevalt lame pol¨ugoon, mis rahuldab kas- vavate ahelate tingimust ts¨ukliliste alampol¨ugoonide jaoks. Kui A_S on lahutumatu, siis on ta ts¨ukliline.

T˜oestus. Lemma 1 j¨argi on pol¨ugoonil A_S olemas s˜oltumatu tekitajate hulk X.

Fikseerime suvalise elemendix∈X. Vaatleme hulka

{a⁰S |a⁰ ∈A, xS ⊆a⁰S} ⊆ {a⁰S |a⁰ ∈A}.

See hulk on mittet¨uhi, sest sisaldab ts¨uklilist alampol¨ugoonixS. Seega leidub selles hulgas mingi maksimaalne element aS, kus a∈A. See t¨ahendab, et

xS ⊆aS

ja

(∀a⁰ ∈A)(xS ⊆a⁰S∧aS ⊆a⁰S =⇒ aS=a⁰S).

Kuna sisalduvustest xS ⊆aS ja aS ⊆ a⁰S j¨areldub xS ⊆a⁰S, siis viimase tingi- muse v˜oib ¨umber kirjutada kujul

(∀a⁰ ∈A)(aS ⊆a⁰S =⇒ aS=a⁰S).

T¨ahistame

X⁰ ={a} tY,

kus Y ={y ∈X |y6∈aS}. N¨aitame, etX⁰ on pol¨ugooniAS s˜oltumatu tekitajate hulk.

Esiteks X⁰ on tekitajate hulk, sest iga element b ∈ A esitub kas kujul b = as, s∈S, v˜oi kujulb=xs, kus s∈S,x∈X ja x6∈aS.

Veendume, et X⁰ on s˜oltumatu. Olgu x⁰, x⁰⁰ ∈ X⁰ erinevad elemendid. Peame n¨aitama, et x⁰ 6∈x⁰⁰S. On kolm v˜oimalust.

1)x⁰, x⁰⁰ ∈Y ⊆X. Siisx⁰ 6∈x⁰⁰S t¨anu X s˜oltumatusele.

2)x⁰ ∈Y,x⁰⁰=a. Kui oletada, etx⁰ ∈aS, siis saaksime vastuoluY definitsiooniga.

Seega x⁰ 6∈x⁰⁰S.

3) x⁰ =a, x⁰⁰ ∈Y. Kui oletaksime, et a∈x⁰⁰S, siis aS ⊆x⁰⁰S ja x⁰S =aS ⊆x⁰⁰S.

Hulga X s˜oltumatuse t˜ottux⁰=x⁰⁰, vastuolu. Seegax⁰ 6∈x⁰⁰S.

Niisiis X⁰ on s˜oltumatu tekitajate hulk. N¨aitame, et X⁰ = {a}. Oletame vas- tuv¨aiteliselt, et X⁰ sisaldab veel mingit elementi peale elemendi a. SiisY S 6=∅ja AS on oma mittet¨uhjade alampol¨ugoonide aS ja Y S uhend. Pol¨¨ ugooni AS lahu- tumatuse t˜ottu

aS∩Y S 6=∅.

See t¨ahendab, et leiduvad elemendid y ∈Y ja s, t∈S nii, et as =yt. Kuna AS

on tugevalt lame, siis Stenstr¨omi teoreemi p˜ohjal leiduvad elemendid a⁰⁰ ∈ A ja u, v∈S nii, et a=a⁰⁰u,y=a⁰⁰v ja us=vt. Saime, et aS⊆a⁰⁰S. Alampol¨ugooni aS maksimaalsuse t˜ottu siisaS=a⁰⁰S. N¨u¨ud, mingi s⁰⁰∈S korral, a⁰⁰=as⁰⁰ ning saame

y=a⁰⁰v=as⁰⁰v,

kust y ∈ aS. See tekitab aga vastuolu Y definitsiooniga. Seega X⁰ = {a}. See t¨ahendab, et iga b ∈ A avaldub kujul b = as, s ∈ S, ehk teiste s˜onadega AS on ts¨ukliline.

J¨areldus 2. Kui monoid S rahuldab tingimust (A), siis iga tugevalt lame S- pol¨ugoon on ts¨ukliliste tugevalt lamedate S-pol¨ugoonide l˜oikumatu ¨uhend.

T˜oestus. Rahuldagu monoid S tingimust (A). Olgu A_S tugevalt lame. Lemma 3 p˜ohjal

A=G

i∈I

A_i,

kus A_i on pol¨ugooni A_S lahutumatu alampol¨ugoon iga i ∈ I korral. Lihtne on veenduda, et k˜oik alampol¨ugoonidAi on samuti tugevalt lamedad. KunaS rahul- dab tingimust (A), siis A_S rahuldab kasvavate ahelate tingimust ts¨ukliliste alam- pol¨ugoonide jaoks. Siis ka igaAi rahuldab kasvavate ahelate tingimust ts¨ukliliste alampol¨ugoonide jaoks. Kuna A_i rahuldab k˜oiki lemma 12 eeldusi, siis on ta ts¨ukliline.

Lemma 13([1, Lemma 4]). Kui monoidS rahuldab tingimustML, siis iga tugevalt lame ts¨ukliline S-pol¨ugoon on projektiivne.

T˜oestus. Rahuldagu S tingimustML, st kahanevate ahelate tingimust vasakpool- sete peaideaalide jaoks ja olguC_S tugevalt lame ts¨uklilineS-pol¨ugoon. Siis lause1 p˜ohjal leidub monoidi S parempoolne kongruentsρ nii, et CS ∼=S/ρ, ja seega ka S/ρon tugevalt lame. Peame n¨aitama, etS/ρon projektiivne.

Lemmast2teame, et ¨uhikelemendiρ-klassB on paremunitaarne monoidiS alam- monoid. Vaatleme S vasakpoolsete peaideaalide hulka

{Ss|s∈B}.

Kuna 1∈B, siisS=S1 kuulub sellesse hulka ja see hulk on mittet¨uhi. Tingimuse M_L t˜ottu sisaldab see hulk mingit minimaalset elementiSc, kus c∈B.

Olgua∈B suvaline element. Siisaρ1 ja 1ρc, millest j¨areldub, etaρc. KunaS/ρon tugevalt lame, siis lause 9 p˜ohjal leidubu∈S nii, et ua=uc jauρ1. Etc, u∈B, siis ka d:=uc=ua∈B ja

Sd⊆Sa∩Sc⊆Sc.

T¨anu peaideaaliSc minimaalsusele saame v˜orduseSd=Sc.

Defineerime kujutuse f :S/ρ→cS v˜ordusega

f([s]) :=cs.

Meie eesm¨ark on t˜oestada, etf on parempoolsete pol¨ugoonide isomorfism. Kehtigu mingite s, t ∈ S korral [s] = [t]. Siis lause 9 p˜ohjal leidub u ∈ S nii, et us = ut ja uρ1. Kuna Sc on minimaalne element hulgas {Ss|s ∈B}, siis Sc⊆ Su ning

seega leidub w∈S, etc=wu. Saame

cs=wus=wut=ct,

seega f on korrektselt defineeritud. See kujutus on homomorfism, sest mistahes s, t∈S korral

f([s]t) =f([st]) =c(st) = (cs)t=f([s])t.

Veel on vaja n¨aidata, et f on isomorfism. S¨urjektiivsus on ilmne. Injektiivsuse n¨aitamiseks olgu f([s]) =f([t]) mingite s, t∈S korral, s.t.cs=ct. N¨u¨ud,

[s] = [1]s= [c]s= [cs] = [ct] = [c]t= [1]t= [t],

ehk [s] = [t]. Kokkuv˜ottes oleme saanud, etf on isomorfism.

J¨arelikultS/ρ∼=cS. Kuna cρ1, siis c=f([1]) =f([c]) =c² ehk c on idempotent.

J¨arelduse1p˜ohjal oncS ja seega kaS/ρprojektiivne, mida oligi vaja n¨aidata.

Lemma 14([1, Lemma 5]). Kui monoidSrahuldab tingimust(D), siis iga tugevalt lame ts¨ukliline S-pol¨ugoon on projektiivne.

T˜oestus. Rahuldagu monoid S tingimust (D) ja olgu C_S tugevalt lame ts¨ukliline S-pol¨ugoon. Lause1p˜ohjal leidub monoidiS parempoolne kongruentsρnii, etCS

on isomorfne pol¨ugoonigaS/ρ. Vaatleme taas hulka

B:= [1] ={s∈S |sρ1} ⊆S,

mis on lemma 2 p˜ohjal monoidi S paremunitaarne alammonoid. Tingimuse (D) p˜ohjal leidub hulgal B minimaalne parempoolne ideaalI, mis on tekitatud idem- potendi poolt, s.t. I = eB, kus e ∈B on idempotent. Tulemuse [9, lemma 8.12]

j¨argi onBemonoidiB minimaalne vasakpoolne ideaal. Olgua∈B. Etaρ1 ja 1ρe, siis aρe. KunaS/ρ on tugevalt lame, siis leidub element u ∈S nii, et ua=ue ja

uρ1. T¨anu sellele, etu∈B ja B on alammonoid, kehtib sisalduvusBu⊆B. seega

Bua⊆Ba∩Be⊆Be.

Kuna Be on monoidi B minimaalne vasakpoolne ideaal, siis Be = Bua ⊆ Ba.

Oleme n¨aidanud, et igaa∈B korralBe⊆Ba. Sarnaselt eelmise lemma t˜oestusega saab n¨aidata, etS/ρ∼=eS. J¨arelduse 1p˜ohjal oneS projektiivne ning seega on ka isomorfsed pol¨ugoonid S/ρjaCS projektiivsed.

Lemma 15 ([1, Lemma 6]). Kui pol¨ugoon A_S rahuldab kahanevate ahelate tin- gimust ts¨ukliliste alampol¨ugoonide jaoks, siis ta rahuldab ka kahanevate ahelate tingimust l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonide jaoks.

T˜oestus. T¨anu teoreemile7v˜oime kahanevate ahelate tingimuste asemel vaadelda minimaalsuse tingimusi. Niisiis eeldame, et AS rahuldab minimaalsuse tingimust ts¨ukliliste alampol¨ugoonide jaoks. Vaatleme hulka

P ={B|B ⊆A_S on alampol¨ugoon, mis rahuldab minimaalsuse tingimust l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonide jaoks}

j¨arjestatud hulgana sisalduvusseose suhtes. Veendume, et see j¨arjestatud hulk ra- huldab Zorni lemma eeldusi.

Esiteks n¨aitame, et hulkP on mittet¨uhi. Eelduse t˜ottu leidub hulgas {aS|a∈A}

minimaalne element, st leidub v¨ahemalt ¨uks minimaalne ts¨ukliline alampol¨ugoon a0Spol¨ugoonisAS. Oletame, etCSon l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoon pol¨ugoonis a₀S. Siis leiduvad elemendids₁, . . . , s_n∈S nii, et

C_S =a₀s₁S∪. . .∪a₀s_nS⊆a₀S.

Siis iga i ∈ {1, . . . , n} korral a0siS ⊆ a0S, kust t¨anu a0S minimaalsusele saame v˜ordusea₀s_iS=a₀S. SeegaC_S =a₀S, mis t¨ahendab seda, et pol¨ugoonia₀Sainus l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoon on ta ise. J¨arelikulta0S rahuldab minimaalsuse tingimust l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonide jaoks ja seega a₀S ∈P.

Vaatleme n¨u¨ud suvalist ahelat{B_i|i∈I}hulkaP kuuluvatest alampol¨ugoonidest Bi. Siis

B_S :=[

i∈I

B_i

on samuti pol¨ugooni AS alampol¨ugoon. On selge, et BS on ¨ulemine t˜oke alam- pol¨ugoonide B_i jaoks. Veendume, et B_S rahuldab kahanevate ahelate tingimust l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonide jaoks, st veendume, etBS kuulub hulkaP. Selleks vaatleme kahanevat ahelat

C1 ⊇C2 ⊇C3⊇. . . , (1)

kus C_i, i ∈ N, on pol¨ugooni B_S l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonid. Olgu C₁ tekitajadc1, . . . , cn∈C1, st

C1=c1S∪. . .∪cnS.

Siis leiduvad indeksid i1, . . . , in ∈ I nii, et c1 ∈ Bi1, . . . , cn ∈ Bin. Kuna {B_i | i ∈ I} on ahel, siis leidub j ∈ {i₁, . . . , i_n} nii, et B_i1, . . . , B_in ⊆ B_j. Seega ka c1, . . . , cn∈Bj ja C1 ⊆Bj. J¨arelikult kogu ahel (1) sisaldub pol¨ugoonisBj. EtBj

kuulub hulka P, siis peab see ahel stabiliseeruma, mida oligi vaja n¨aidata.

Zorni lemma p˜ohjal leidub hulgasP maksimaalne elementK. SeeK on pol¨ugooni AS alampol¨ugoon.

Oletame vastuv¨aiteliselt, etK 6=A. Vaatleme ts¨ukliliste alampol¨ugoonide hulka {aS |a∈A, aS 6⊆K}.

Kui iga a∈A korral aS⊆K, siis A⊆K, mis pole hetkel v˜oimalik. Seega leidub selline a ∈ A, et aS 6⊆ K. Teiste s˜onadega: vaadeldav hulk ei ole t¨uhi. Eelduse t˜ottu leidub selles hulgas minimaalne elementxS, kusx∈AjaxS 6⊆K. Vaatleme pol¨ugooniA_S alampol¨ugooni K∪xS. Olgu

K₁ ⊇K₂⊇K₃ ⊇. . . (2)

kahanev ahel pol¨ugooniK∪xSl˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonidest. Kui leiduks selline n, mille korral K_n⊆K, siis ilmselt ahel stabiliseeruks.

Oletame n¨u¨ud, et iga n korral leidub element yn ∈ Kn\K. Ilmselt siis yn ∈ xS ning seega y_nS ⊆ xS. Alampol¨ugooni xS minimaalsuse t˜ottu y_nS = xS. Kuna ynS⊆Kn (sest Kn on alampol¨ugoon jayn∈Kn), siis igan korral

K_n∩xS =K_n∩y_nS=y_nS=xS.

Olgunsuvaline. KunaK_n on l˜oplikult tekitatud, siis on tal l˜oplik hulk tekitajaid, t¨ahistame nende hulga t¨ahega X. Olgu K_n⁰ pol¨ugooni Kn alampol¨ugoon, mille tekitajate hulgaks on X\xS. Ilmselt K_n⁰ ⊆K ja K_n = K_n⁰ ∪xS. Kui y on ¨uks pol¨ugooniK_n+1⁰ tekitajatest, siisy∈Kn+1\xS. Seega kay∈Kn\xS⊆K_n⁰. Kuna k˜oikK_n+1⁰ tekitajad sisalduvad alampol¨ugoonisK_n⁰, siisK_n+1⁰ ⊆K_n⁰. Saame ahela

K₁⁰ ⊇K₂⁰ ⊇K₃⁰ ⊇. . . ,

kus igankorralK_n⁰ on pol¨ugooniK l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoon ja seega see ahel stabiliseerub. J¨arelikult ka ahel (2) stabliseerub, mist˜ottu K∪xS rahuldab kahanevate ahelate tingimust l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonide jaoks, s.t. K∪ xS ∈P. Kuna xS 6⊆K, siis K ⊂K∪xS. See on aga vastuolus sellega, et K pidi olema j¨arjestatud hulga P maksimaalne element.

J¨arelikult K = A_S ja A_S rahuldab minimaalsuse tingimust l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonide jaoks. Seda oligi tarvis t˜oestada.

L˜opetuseks n¨aitame, kuidas t˜oestatud lemmad annavad meile p˜ohiteoreemi t˜oestuse.

Teoreem 16. Monoidi S jaoks on j¨argmised v¨aited samav¨a¨arsed.

1. S on perfektne.

2. S rahuldab tingimusi (A) ja (D).

3. S rahuldab tingimusi (A) ja M_L.

4. S rahuldab tingimust (A) ja kahanevate ahelate tingimust l˜oplikult tekitatud vasakpoolsete ideaalide jaoks.

5. Iga tugevalt lame parempoolne S-pol¨ugoon on projektiivne.

T˜oestus. (1) ⇐⇒ (2). Need tingimused on samav¨a¨arsed t¨anu artikli [2] tulemus- tele 1.1 ja 1.5.

(2) =⇒ (5). Eeldame, etS rahuldab tingimusi (A) ja (D) ning vaatleme tugevalt lamedat pol¨ugooni A_S. J¨arelduse 2 t˜ottu esitub A_S l˜oikumatu ¨uhendina

A_S =G

i∈I

A_i,

kus iga A_i on ts¨ukliline tugevalt lame pol¨ugoon. Lemma 14 p˜ohjal on iga A_i pro- jektiivne. T¨anu teoreemile4 on ka pol¨ugoon AS projektiivne.

(5) =⇒ (2). See implikatsioon kehtib t¨anu artikli [2] tulemustele.

(5) =⇒ (3). Tingimus ML j¨areldub lemmast 10. Tingimus (A) j¨areldub t¨anu artiklile [2].

(3) =⇒ (5). Tingimuse (A) kehtivusest saame j¨arelduse 2 p˜ohjal, et iga tugevalt lame S-pol¨ugoon A_S on ts¨ukliliste tugevalt lamedate S-pol¨ugoonide l˜oikumatu uhend, s.t.¨

A_S =G

i∈I

A_i,

kus Ai on tugevalt lame iga i∈ I korral. Tingimuse ML kehtivusest saame lem- ma13 p˜ohjal, et igaA_i on projektiivne. Teoreemi4p˜ohjal on siis ka pol¨ugoon A_S projektiivne.

(3) =⇒ (4). Pol¨ugooni SS l˜oplikult tekitatud alampol¨ugoonid on monoidi S l˜oplikult tekitatud vasakpoolsed ideaalid. Pol¨ugooni_SSts¨uklilised alampol¨ugoonid on monoidiSvasakpoolsed peaideaalid. Seega see implikatsioon j¨areldub lemma15 duaalsest tulemusest vasakpoolsete pol¨ugoonide jaoks.

(4) =⇒ (3). See on ilmne.

4 N¨ aited

L˜opetuseks toome m˜oned n¨aited perfektsetest monoididest.

Selleks m¨argime ¨ara, et tingimusega (A) on v˜oimalik anda mitmeid samav¨a¨arseid tingimusi. Neist j¨argmine on ¨ara toodud artiklis [3] lemmas 1.3:

(A⁰): monoidiS¨uhikelemendist erinevate elementide mistahes jadas₁, s₂, . . .korral leiduvadk, m∈Nja u∈S nii, etk > m ja

s_ksk−1. . . sm+1 =s_ksk−1. . . sm+1smu.

K˜oigi n¨aidete puhul me p˜ohjendame, et monoid rahuldab tingimusi (A⁰) jaML. N¨aide 2. Iga r¨uhmGon perfektne. Ta rahuldab tingimust (A⁰), sests₂ =s₂s₁s⁻¹₁ (me valimek= 2,m= 1), ja samuti tingimustM_L, sest igag∈G korralGg=G (st Gon ainuke vasakpoolne peaideaal).

N¨aide 3. Iga parempoolse korrutamisega poolr¨uhm, millele on lisatud v¨aline uhikelement, on perfektne. Poolr¨¨ uhm S on parempoolse korrutamisega, kui iga s, t∈S korralst=t. Sellises poolr¨uhmasSs={s}igas∈S korral jas₂ =s₂s₁s₂ jadade korral, kus ei ole ¨uhikelementi.

N¨aide 4. Iga l˜oplik nilpotentne poolr¨uhm koos v¨alise ¨uhikelemendiga on perfekt- ne. L˜oplik monoid kindlasti rahuldab tingimustML. Nullelemendiga poolr¨uhma ni- metatakse nilpotentseks, kui leidub sellinen∈N, et mistahes elementides₁, . . . , s_n korral s1. . . sn= 0. Selline poolr¨uhm rahuldab ka tingimust (A⁰).

Kokkuv˜ ote

Bakalaureuset¨o¨os andsime p˜ohjalikuma t˜oestuse John Fountaini teoreemile per- fektsetest monoididest. Selleks defineerisime algul vajaminevad poolr¨uhmateooria m˜oisteid ning seej¨arel s˜onastasime mitmeid abitulemusi. Nende tulemuste ja teis- te matemaatikute poolt varasemalt t˜oestatud tulemuste abil saime p˜ohiteoreemi t˜oestuse. T˜oime ka n¨aiteid perfektsetest monoididest.

Tulevikus oleks huvitav uurida, kas Fountaini teoreemi t˜oestust on v˜oimalik ¨uldis- tada mingitele poolr¨uhmade klassidele, mis on suuremad kui k˜oigi monoidide klass. N¨aiteks lokaalsete ¨uhikelementidega poolr¨uhmadele v˜oi isegi faktoriseeru- vatele poolr¨uhmadele.

Viited

[1] J. Fountain, Perfect semigroups, Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 20 (1976), 87–93.

[2] J.R. Isbell, Perfect monoids, Semigroup Forum 2 (1971), 95–118.

[3] R. Khosravi, M. Ershad, M. Sedaghatjoo, Strongly flat and condition (P) covers of acts over monoids, Comm. Algebra 38 (2010), 4520–4530.

[4] M. Kilp, Algebra I, Eesti Matemaatika Selts, Tartu, 2005.

[5] M. Kilp, Algebra II, Tartu, 1998.

[6] M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, acts and categories, Walter de Gruyter & Co., Berliin, 2000.

[7] V. Laan, Sissejuhatus algebra struktuuridesse, loengukonspekt, 2020, https:

//courses.ms.ut.ee/MTMM.00.013/2020_spring/uploads/Main/kon.pdf

[8] B. Stenstr¨om, Flatness and localization over monoids, Math. Nachr. 48 (1971), 315–334.

[9] A. H. Clifford and G. B. Preston, The algebraic theory of semigroups, Vol. II, Math. Surveys No. 7, Amer. Math. Soc, 1967.

Lihtlitsents l˜ oput¨ o¨ o reprodutseerimiseks ja ¨ uldsusele k¨ attesaadavaks tegemiseks

Mina, Getter Hiis-Hommuk,

1. annan Tartu ¨Ulikoolile tasuta loa (lihtlitsentsi) minu loodud teose “Per- fektsed monoidid”, mille juhendaja on Valdis Laan, reprodutseerimiseks eesm¨argiga seda s¨ailitada, sealhulgas lisada digitaalarhiivi DSpace kuni au- tori˜oiguse kehtivuse l˜oppemiseni.

2. Annan Tartu ¨Ulikoolile loa teha punktis 1 nimetatud teos ¨uldsusele k¨attesaadavaks Tartu ¨Ulikooli veebikeskkonna, sealhulgas digitaalarhiivi DSpace kaudu Crea- tive Commonsi litsentsiga CC BY NC ND 3.0, mis lubab autorile viida- tes teost reprodutseerida, levitada ja ¨uldsusele suunata ning keelab luua tuletatud teost ja kasutada teost ¨arieesm¨argil, kuni autori˜oiguse kehtivuse l˜oppemiseni.

3. Olen teadlik, et punktides 1 ja 2 nimetatud ˜oigused j¨a¨avad alles ka autorile.

4. Kinnitan, et lihtlitsentsi andmisega ei riku ma teiste isikute intellektuaaloman- di ega isikuandmete kaitse ˜oigusaktidest tulenevaid ˜oigusi.

Getter Hiis-Hommuk 18. mai 2021. a.