rapport de la hauteur au diamètre des tiges d'arbres.

rapport de la hauteur au diamètre des tiges d'arbres.

Lère

communication: De la forme et du quotient t de la tige dans des peuplements réguliers.

Par l'ingénieur forestier E. Bndoux, assistant.

Introduction.

Il y a de sensibles différences entre ln forme naturelle d'un arbre et celJe que lui impose le traitement forestier. En massif, le couvert latéral accélère l'élagage naturel, et lu Hge s'allonge au <lelù de ses limites normales. Les dilîércnccs de port propres uux diverses essences s'atténuent. Dans nos peuplements réguliers, nous entassons littérale- ment des arbres, les serrant étroitement pour en obtenir des fûts très longs et très droits, surmontés pnr une courte cime.

Entre les deux types extrêmes que représentent l'arbre totalement isolé et celui qui est enserré pnr des voisins d'ù peu près même âge, il y a de nombreuses transitions. Lu {orme forestière des arbres de futuie varie dans des limites assez étendues, suivant l'espace dont la plante dispose pour son développement; le sylviculteur peut l'influencer pur des opérations culturules, la modeler, selon ln forte expression de M. Jolyet (1?, p. 22). Du point de vue de l'économie forestière, il est d'un intérêt é,·ident d'examiner si, puis dans quelle mesure et jusqu'ù quel point se manifestent, sous l'infü1cncc du traitement, des variations de la forme et de ln décroissance mélric1ue moyenne de la tige, de comparer sous cc rapport, p. c., les produits de ln forH équienne avec ceux de la futaie jardinée, où les essences conservent mieux leur port spécifique.

II résulte des ,,Principes de taxation" du Dr. Flury (9, p. 320- 327) que le rapport entre le bois fort et la surface terrière est, dans la forêt d'âges mélangés, à hauteur égale, pour l'épicéa comme pour le sapin, inférieur à celui que cet auteur a déterminé pour des peuplements

réguliers. Il fioUe un certain doute sur l'entière compnrnbilité des tables mises en parullèle, incertitude que nous nous efforcerons d'éliminer duns les red1erd1es que nous venons d'cntrcpl'endrc. D'ailleurs, dût lu qualité de ln station être réellement identique, il serait prématuré cle conclure que les tiges de forêts jardinées soul, sur toufo leur longueur, moins soutenues que celles qu'on produit en I' ufnie équicnnc. Les arbres bien dégagés, donc solidement uucrés nu sol, de lu forêt d'î1ges mélangéi- ont i1 leur piecl un évasement qui se fuit scnlir pnrl"t,is bien au-dessus de 1.30 m. Ln rupiclc clécroissunc·e du diamètre duns le:-; premiers 2 ou 3 mèlres, qui csl l'effet de l'empuHemcnl formé pur la 11uiss1111ce des grosses mcmes, n'indique pus uue inl'ériorilé de l'orme générale. En s11bstih1ant i1 lu :rnrfnee tcrrit.•re (S. 1.30 m.) lu section lrunsversnle ù 3 (év. 4, 5) 111., ln compnruison du rupport

1

de tiges issues clc peuple- ments réguliers et jardinés peut donner des résultats très différents (\11Îr l'. Flury, 8, p. 173- 175).

Duns le classement des nssodimcnts cl'up1·ès lu méthode dite de Heil- bronn, récemment introduite, la cylindricité et surtoul lu clécroissancc mélriquc moyenne jouent un rôle consicléruble. C'est pou1·quoi MM.

B. Buvier, inspccleur cuntonal des forêts !1 Coire, et le direcleur Il. Bur~er, jugcunt insul'lïsummcnl connue ln rclution qui existe entre le lrnitcment forestier et les !'ormes plus ou moins éluncécs et pleines des tiges d'arbres, ont proposé i, ln commission pour lu production de bois de qualité du ,,Lignum", lms cle su séance du 6 mui 1932, <le charger notre institut de l'étude de cette question.

Provisoirement, nofre progrumme consiste i'1 <létcrminer, clans les conditions les plus diverses possibles, l'effet comparé du jurdinuge et du truitcmenl en peuplement complcl ù peu près équicnnc sur ln for- mution de lu tige. Pour éliminer tonie a11h·e influence, les parcelles de l'un cl l'uulre type que nous mettons en purullèlc doivent être, si pos- sible, ultcnanles, ou nu moins placées cluns les mêmes conditions <le sol, cl'c:\.position. cle pente, d'ultihule, etc. Les quulilt~s productives de la slution doivent être identiques. Dans une seconde série clc rcd1et·d1es, nous nous efforçons cl'étnblir, pour dill'érentcs essences, en quelle mesure lu forme et ln décroissance métrique moyenne vurie11I sui\"nnt que l'nr- bre s'est développé ù l'état isolé 011 en mussif serré, en tcnnul compte des posil ionc, intermédiaires. Des mcsu ruges ont déjù été fui ts à Biglen

(Berne), Zuoz (Grisons) et Sic-Croix (Vnud).

,\-lonsicur le directeur Il. Burger u publié clnns le .Journal fore~lier .,,;uissc (2, p. 133- 139) une première contribution à l'étude du problème qui nous occupe.

Les pnges qui suh·ent sont, en quelque sorte, une préface ù Ja publication ultérieure du résultat des recherches dont nous venons d'es- quisser les grnndes lignes.

1. Les facteurs de forme.

Les tiges d'arbres n'ont, en général, pas un uxe rectiligne et sont parfois assez fortement contournées de gnud1e ou de droite. Leurs sections, tant longitudinales que transversales, présentent de notables irrégu1nrités. Les troncs ne peuvent donc pns être identifiés avec des solides géométriques. Cependant on peut, se contentant d'une upproxi-

mution plus ou moins suffisante, raisonner sur une tige comme sur un solide régulier, l'assimiler donc ù un corps de cc genre, engendré pur ln rutution d'une ligne pinne tournant nutour d'un uxe situé dans son plan.

Ln définition géométrique de ln forme réelle de lu génératrice est une chose quasi impossible. Il suffit, pour s'en convaincre, de tracer, ù l'aide d'un nombre suffisant de diamètres déterminés ù des niveaux connus, pur exemple de m. en m. ou de 2 m. en 2 m., ln section longitudi- nale d'un urbre, ainsi qu'on procède pour les analyses de tige. Le con- tour de cette section, entièrement convexe vers l'axe pour un arbre très jeune, est, pour une plante qui s'est développée en roussi[, con\'exc ù proximité du pied, à peu près rectiligne sur une certaine longueur, puis concave au voisinage <le la naissance de ln cime. Le sommet est, suivant l'essence et l'importance des branches, plus ou moins irrégulièrement décroissant (voir ln fig. 1).

Ln ligne irrégulière que l'on oblieni en portant, clans un système de coordonnées, le rayon moyen à différents niveaux en abscisse et les lmuteurs correspondantes en ordonnées est composée de segments qui se rapprochent plus ou moins de ln ligne droite, de ln pnrnbole d'Appo•

lonius, de celle de Neil, dont l'équation commune est, rapportée ù leur uxe et ù une perpendiculaire passant par le sommet,

.'J~

=

^{C ••} v:r,

où r, l'exposant de forme, qui définit l'espèce de ln parabole, est positif.

Cette similitude a donné l'idée de comparer ln tige des arbres avec les solides engendrés par ln rotntion, autour de leur axe, des dilîérentes paraboles définies par cette équation, qui prennent le nom de f.lJp<!s den- dromélriques. Quatre de ces conoïdes retiennent surtout l'attention, ceux pour lesquels r est égal ù 0, 1, 2 et 3, soit, dans l'ordre, le cylindre de révolution, le paraboloïde d'Appolonius, le cône droit de révolution et le néloïde (voir Ruffel, 14, p. 13 et ss).

Sccti1111 l1111git11di1111le d'uno tigu comparéo ll'l'CC celle •l'un eolido do rérnlution manu:.

11111tic1110 (ff c.x', r O,li) de nu•meM lcmgueur et volume et dont ln dée1111pu moyenne

( r

I)

se trourn ;, ln même hauteur.

"

20 15 10 r, ri 10 la 20 25 CUI,

Lu connuissnncc upproximntive de fo forme de ln génératrice et son nssimilntion ù une courbe régulière présentent 1111 intérêt certain, muis ne pcrmcitent pus cle curuciériser une lige d'nrbrc. La décroissance clu diumèire pur mèlre d'élévalio11, dont. l'impodnnce pratique est plus grnnde que celle de ln décroissunce rclulivc, n'est nullement définie pur l'inclicution de lu forme seule. Elle l'est, par contre, par celle du rnp·

pori qui existe entre lu longueul' de la tige et son diamètre à une hau- teur donnée (base, 1,30 m., 5,00 m., etc.), mais imparfaitement, puisque supposer une décroissance l'égulière du diamètre revient à attribuer à la tige la forme d'un cône. Malgré cette réserve, il y a lieu de con- sidérer ~ comme une indication ll·ès impo,tunte. dont la connaissance prime, si elle ne lu remplace pus, celle de la forme de la courbe généra- trice. Le Dr. Flury, qui s'en est servi à différentes reprises, en donne un exemple intéressant (8, p. 169).

Caractériser numériquement lu /orme de tiges d'arbres présente de réelles difficultés, et des moyens, autres que graphiques, qu'on em- ploie ^à cet effet, aucun ne donne entière satisfaction.

La première idée qui ,·ienne à l'esprit est d'assimiler, ainsi que nous l'avons exposé plus haut, lu tige à un solide régulier, engendré par lu rotation d'une purubole dont l'équation est y² c. ·'-"'" et de déter- miner l'e.~posanl de forme r, qui définit l'espèce de lu courbe.

Le calcul intégral donne immédiatement le volume

;: J:

^xr+•

V -- .: .

1/ .

d.'-· .: • c . ^{-.r ,\" •} dx .: . c .

- +

₁ ,

o • ,, r

volume érnlué dès le sommet jusqu'uu niveau ù distance x (,·ariable) du sommet. Le solide de révolution mathématique engendré u une section transversale moyenne, dont le produit par la hauteur donne le volume, et que nous désignerons pur

r.

Soit·'-·· la distance du sommet ù lu section

r

et hx' <'elle qui sépare

r

du pied (voir lu f'ig. 1, p. ?'<1), lu:'= 1,- x·.

V h' ' ¹

r -_- -_h -_- -_{'" ·} y'^{2 -}_- ^-_{'~ •} C _{• -~ '} ,.'r donc J.l - -_{,. '} C _' -_r + -t -"· • · """ C ,.'r · ' h

h' '

cl'oi'1 r+l

=

^{X r.}

En extrayant dans les deux membres la racine d'indice r, on u

. r/1{ .

r/- 1 .

rf-1 (

1 - 1)

.,·• -=

V, ~

1 =- /t

V

r+ 1 et li.'\-'

=

!, - x' = !, - li

V

r+ 1

=

h ¹ - \ r + 1 '

hx'

.r/

¹

enfin T "" 1 -

V

r+ _{1 •}

M. }. Grochowski (10, p. 273- 2?5) admet que ,,ln cylindricité de la tige peut être caractérisée d'une façon exacte et parfaite par l'ex:po•

sant de forme moyen" que l'on calcule aisément ù l'aide cle cette rela- tion finule.

Pour déterminer

r

et su position, c. à d. l,x', il fnut calculer le volume de 1a tige aussi exactement que possible, c. à d. en la dé,composant en des tron~·ons suffisamment courts (2 m. peuvent surfire).

n,

le diamètre

moyen correspondant ù

r,

doit être d1erd1é le long de la tige.

r

étunt situé, il reste ù mcsm·er lu clislunce qui sépurc celte section du pied,

1 -

\1/

^{1 et 11}

r+I

Soit 1 1- 1

log 11 1 1 1

7 . log r+ ₁ -- -; . log ( 1 + r).

l,x·

Pour dresser un tableau de correspon<luuces entre

Ti

et r. le moyen le plus <;imple est de calculer 11, cl'oii I, en fonction de r pom· des v1tleurs de cet cxposu11l suffisamment rnpprod1ées, de O i, 3.

Voici quelques-une:. de ces corrcsponclunccs:

0, 1 0,5 l,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,6145 0,5556 0,5000 0,4571 0.422<> 0,3941 0,1700 Le~ expusunts cle forme que l'on obtient 11insi, qui sont ceux de solides réguliers clonl lu découpe moyenne se it-ouvernil ù lu même hauteur relulive c111e sur lu tige envisagée, pr·ésenlcnt dans un seul et même peuplement, et lù même pour une seule culégoric de diamètre, des vuriutions très consi<lérnhlcs. Il n'y n pus lien de s'en étonner. Ln décroissance clu diamètre n'est pas régulière, ci il urrive nssez fréquem- ment, même ù la hauteur oi1 se mesure

r,

011 pl11Wt

o

(diamètre moyen), qu'elle soit insignifiante sur 2 m. et plus. L'cxuclitude uvec laquelle on peut situer· lu découpe moyenne luisse donc forcément ù désiret·, ceci cl'uutunt plus que les sections ne sont pas rigoureusement circu•

lnires. En voici un exemple'): un supin 11buH11 ù Barregg, lors <l'une coupe ruse. m nit une haulcur clc 22,6 m .. 1111 cliumètrc ù hauteur de p.

1,20

cJc 35.4cm. et un volume (tige) de 1,20m¹¹•

r

₂₂^,₆ 0,0531111~.11 26,0cm.

Or. o;ur ccth.• tige, lu moyenne des diamèlres mesurés en croix élnit de 2h,O cm. it 11 comme i1 13 m. clc lu hase. Dans cc cas, ¹'1

'

^x peut Hre .,~

- -

¹

·.

1,

0.487 comme

) .z~i

^{0.575, ,.} um,-;i bien 1, 1 que 0,4 ! 011 voit qu'il surfil cle peu. de lu moindre irrégulurilé. pom foire iclenlirier un Irone: d'nrhre 11,·ec 1111 solide régulier moins plein que le purnboloïclc cl'Appolonius ou.

1111 c:ontruire. 1n·cc un corps de rot11tio11 très prod1e du cylimlre. Dans cc même peuplement cle Burregg (C.¹¹e <le Buclen, Argovie. Mélungt•

épicéa supin, peuplement régulier d'en\'. 85 ans. 358 tigei. oui été mesurées pnr sections uprès l'nhntnge). r vurie entre 0,2 et 1.5.

Ln

IIIO) enne ei.l prod1e de 0,8. Pour les ai·bres de 30 cm. clc clium. i1 h. de p. ( 1 :'). r snuh~ de 0,3 it 1,2.

') Duns nos cuicuis, ~ 11 élé interpolé entre les dlnmNres 111c1mrës de 2 en 2 111.

La fig. 1 montre clairement qu'il n'y u qu'une assez faible analogie entre le contour de la section longitudinale d'une tige et ln courbe d'ex- pression mathématique à 1aquel1e, d'après ce procédé, on veut l' assi- miler. Cela enlève au calcul de l'exposant moyen beaucoup de son intérêt. En outre - ce qui est encore plus grave - , le fuit que Je solide de révolution régulier avec lequel on identifie une tige A est plus prod1e du cylindre que celui qui représente une tige Il n'indique point forcément que A soit plus plein que B. En voici un exemple, également tiré du matériel de Barregg: cieux tiges (n° 351 ou A et n° 97 ou B) ont exactement la même longueur (23,0 m.) et le même diamètre (30,0 cm, ù h. de p.). A a un volume de 0.912 m⁸ (tige), B cube 0,827 m^3•

n

est clone, pour A, de 22,5 cm., pour B. de 21,4 cm., et se trouve, sur la première tige, ù 11,9 m., sur lu seconde, it 12 m. Pour cette raison, l'ex- posant de A qui, à diamètre et hauteur égaux, est une tige de 10°/o plus volumineuse que B, est supérieur ù c:elui de B (rA 0.83, _r11

=

0,79).

indique donc une forme moins soutenue, ce qui est absurde. Il est n·ai que, vu le manque cle précision absolue de toutes les mesures, l'inter- prétation de lu faible clitTérence qui sépare les deux exposnnts est quelque peu illusoire. Il n'en reste pas moins que ln meilleure forme de A n'est pas exprimée.

Ces exemples. qu'il sernit facile cle multiplier, montrent que l'ex- posant moyen n'est pns un indicnfour cle forme vraiment sûr. Il donne une imnge frnnchement fausse clu coniour même de ln tige. Des 358 tiges de Burregg, 55 ont, p. e., un exposant inférieur ù 0,6, c'est-il-dire sont assimilées ù des solides cle clécroissnnce encore plus faible que celui qui ligure, en pointillé, ù ln planche 1. Si l'on considère que lu détermination de r demande de longs et minutieux mesurages (calcul du volume, red1erd1e de

o

et de la distance qui sépare r du pied), .on convienclrn que le résultat l'inul est insuffisant.

Il est évident que, dans l'ensemble, l'exposant de forme moyen n'est pas sans signil'ication, et qu'une forêt pour laquelle sa vnl~ur moyenne est plus élevée que celle d'une autre mise en parallèle est com- posée d'éléments en général moins cylindriques. Mais il serait clunge~

reux, vu su très grande vurinbilité, de tirer, du mesurage de quelques arbres types ¹), cles déductions valables pour le peuplement.

Le rapport entre le volume clc l'arbre entier, de la tige ou du bois fort et celui clu cylindre de même section transversale nu pied (c. de f. absolu) ou ù 1,30 m. (c. de f. ,·ulgaire) et cle hauteur identique est

') Grochowski, JO, 275: ,.Il esl nécessaire d'appuyer les expériences relatives il ^ln varialion de la cyllndrlcilé de la tige sur un nombre important d'arbres types."

appelé assez improp1·eme1it, duus lu théorie du cubage, coe{/icienl de /orme (F'ol'lnzuhJ: 1. ubsolute F., 2. BruslhühenfOl'mzuhl). C'est. ù l'au/sen (1748- 1825) qu'on en utfrilrne le premier· emploi. En fuit. ce commode l'acteur clc réduciion ,,ne s'applique qu·ussez muJ ù l'indicution exuclc de h1 forme des arbres . . . . , puiSCJUe cieux arbres de même (.oef- lïcicnt. peu,ent uvoit· <les formes frès clill'éreutcs pourvu qu'ils aient même volume et des surfaces lel'l'ières (resp. sections de bnse, Bx ) in- , c,·sément pwport.ionnclles ù leurs ha11tcu1·s" (Huffel, 14, p. 171).

Le coefficient. de l'onnc ubsolu (rnppod cuire le volume de lu tige, clans notre eus, et celui d⁰un crlindl'c de même hauteur et dont lu section est celle du pied de l'urbre} ne présente qu'un muigrc iutérêl du fait

que lu dfroupc ù niveau du sol csl cxtri·mcnt irrég11liè1·c. On peut lnurner cette dif'ficulté en substiluunt i'1 lu section de bnse réelle une grundeur calculée, mesnrnut, p. c., le diami-trc ou lu circonférence à 1,30 m. cl supposant au tro1H;on inl'érieu1· ln forme d'un irone de para- boloïde (Speiclel) ou de cône droit. cc qui est d'une approximation sul'- lïsuntc, ou c11 ne tenant comple que de 111 purlie de lu tige qui est plus ou moins régulière. C'est cc qu'u foit Ni11iker, qui eutend put· coeflïcieni de forme absolu le quotienl l'ormé pur le \'olumc cle lu tige en dessus de 1,10 m. et cel11i du cylindre de même scdion trunsversulc ù 1.30 m.

cl de hauteur (li- 1,30) m. Ces cocfl'icients absolus, qui donnent une usscz bonne idée clc ln cylinclricité d'une tige, sont très peu utilisés clans la pratique. On le111· préfère les coel'lïcients vulgaires (unechte F., Brust.hohenf.). Sui,unt. les eus, on met le volume total de l'arbre, celui du tronc suns branches ou encore celui du seul bois fort. en rapport avec le cylindre de comparaison (Buum-, Sdmft-, Derbholzformzuhl).

Tous ces cocrlicients ont, considérés comme indicateurs de forme, outre le cléfuut indiqué plus linut, celui de dépendre d'une section mésuréc cluns lu région du f1ît oi1 l'empattement formé pur lu 11uiss1ince cles grosses racines se fuit encore .sentir. En outre, le cocf'licicnt de f. vulguire n1rie, à forme égale. u,·cc lu l11111tcur. Cc n'est point le cas, pur contre, pour le coefficient normal de Smnlim,-Pressler, où la section du eylindrc comparé est celle qu'on mesure ù lu hauteur ~. ¹¹ étant une ('onstuntc.

On ne suit i1 qui attribuer l"idéc premit·rc cle se servir, pour lu dél'i- nition cle ln forme et le cubage sur pied, clu ruppod c1ui e;\'.:Ïste entre différents diumè!rcs, en particulier du rapport du cliumètre médian uu diamètre ù huuteur de p. Lu consiclération de rclutions si simples doit avoir été fumilièrc cle tout temps uux écriYuins forestiers. Kunze, Schuberg ('34) et Schi{fel ('30) onl eu le mérite d'en étudier les propriétés d'une manière très approfondie.

Ces rapports, ces coefficients de décroissance (,,Formquotienten"

selon Sdiiffel, ,,Durd1messerquotienten" selon Sdiuberg), sont des facteurs plus petits que l'unité par lesquels il faut multiplier le dia- mètre inférieur pour obtenir le diamètre supérieur. Sdiiffel a eu princi- palement recours, dans ses truvuux, ù trois de ces quotients, soit

dl/•l1 d'/1'1 ci'/•/, C ffi. d d' .

d 1 30 , d

1 30 l't d

1 30 , . es coe 1c1e11ts e ecrmssancc ont.

, m. , m. , .n.

en tant qu'indicateurs de forme, deux défauts principaux, celui d'être influencés pur l'empattement plus ou moins prononcé des grosses racines et cet autre de varier, pour des tiges bâties sur les mêmes lignes, avec la hauteur.

Le prof. Jouson (18). dont le système de cubage repose sur l'utili- sation du coefficient de clécroissunce, u partiellement éliminé cette seconde imperfection. Suivant le même raisonnement que Riniker pour le coefficient de forme, il ne considère que la partie de ln tige qui est au-dessus de 1,30 m. et propose comme expression numérique de ln forme de lu tige une série de quotients

d

'fü

^{(/,- 1,30} m.) ( pour n - I , -, :,, fJ - . . . ll) 7 •

d 1,80 111.

Il saute uux yeux que ln correction clu prof. Jonson ne donne pus entière satisfaction. Le tronçon de 1,30 m. de longueur escamoté repré- sente une puri très variable de lu tige, et l'effet de l'évnsement du pied sur les n rupports subsiste. Il y u lieu de préférer ù cette série de coef- rïcients de décroissance la série de quotients de K. W. Cajmws (]) :

qn - -d

1" (pour ¹¹ =- 1, 2, 3, . . . 9), où /, n désigne .!!..

ln 10

de ln hauteur totale de lu tige el d,. le diamètre mesuré ù 1a distance/,,, du sommet. Cependant, ln série de Cnjanus, qui exprime correctement lu forme de lu tige entière, et 011 le renflement du pied n'n d'elîet que sur un seul membre, le dernier, n cet inconvénient d'être difficilement <·om- purnble, vu l'importance très diverse de ses membres.

En résumé, les moyens numériques dont on dispose pour cumcté- riscr la forme de ln tige des arbres ne satisfont pus entièrement. Nous nous en servirons cependant pour examiner quels sont les fncteurs qui déterminent celle-ci.

Dans un seul et même peuplement, les tiges sont généralement d'au- tant moins cylindriques que le diamètre est plus fort. Par contre, il est inté1·essunt de constater que les dominunts sont, ù diamètre égal, plus pleins que les moyens (ou codominants), et ceux-ci plus cylindriques que les retardataires {surcimés) et dominés. Cette influence sur ln forme cle ce qu'on peut appeler la position sociale des pluntes dans le mussif

6

a été indiquée dans un article récent du Dr. F. Emsl (4). Pour démonirc1·

le bien-fondé de celle ussertion, notts recourons de 11ouveuu uu matériel de Barregg. Le coefficient de forme vulgaire de ln tige (cylindre de comparaison de même hauteur et même section i1 1,30 m.) ¹), le coef- ficient de forme uhsolu (011 le clinmètre de buse est culculé et les premiers 1,30 m. sont supposés côniques), l'exposant de forme et le ffi . t d 1. . 1 ¹

("'!•

^{(l,- l,3o 111}

· >)

t 1 · l 1·

coc ICICll C c ccrotssnncc SC on JOIISOtl cl 1,30 m. on c c ca CU CS,

i1 l'aide cl'interpolutions, pour les 273 supins blancs et les 81 épicéas qui conslituuient le pcuplcment uu moment de son exploitation'). Les résultais onl été groupés pur ch1sscs clc grosseur. Les indications des 4 facteurs étant concordnntcs, nous ne donnons les résultats que cle 2 groupes pur essence. Les nombres des tiges qui ont servi 11 l'élublisse- ment des moyennes figurent entre parenthèses.

Sapin blanc.

Clnsse d '!• (h- 1,30 m.)

exposant de forme moyen r

de d 1,30 111.

grcJ!lletlT

Cln. moyens retartJota.ites

dominan11 moyens ,elarda,airn de diam. dominants

(ctdoml1111t1) (1urd111é1) dominéw

(ctdemlunts) (!Wrciuu'JI durninh

Hl- 20

-

^{0,75 (7) 0,75 (8) 0,74 (12) - O,(ia (7) 0,7 (8) 0,75 (12)}

21- 25 0,77 (0) 0,74 (31) 0,73 (10) 0,73 (5) 0,(i ((i) 0,7 (31) 0,8 (10) 0,8 (5) 2!.i- 30 0,78 (50) 0,72 (17) 0,70 (8)

-

^{0,7 (50) 0.8 (17) 1,0 (8)}

^-

81- 35 0,71 (58) 0,60 (8) 0,G0 (3)

-

^{0,8 (53) 0,0 (3) 1,0 (S)}

-

80- 40 0,70 (86)

- - -

^{0,9 (36)}

^{- - -}

41- -Hi 0,60 (11)

- - -

^{0,05 (11)}

^{- - -}

4B- 50 0,68 (4)

- - ^-

^{1,0 (4)}

^{- - -}

Epicéa.

c1 ... e

Coefficient de forme absolu (lige) Coellicient

de de forme (1,30). ,.Unechle'" F. (lige)

in~aeur cm..

dumhu,1111 UUl)',.TI'\ rchuclaluire

dm11i11é11 4lmn1n:m~a ^moyens rc4nrtfotuircs dominés

cle 1ht1111. (ctdt■lm!I) (BUt<'lllléS) 1,odo111lunt1) (•urcimê•)

](i- 20 0,478 (2) 0,4(i5 (8) 0,4fl(i (2) 0,427 (fi) 0,fl:lll (2) 0,fi20 (8) 0,fl26 (2) 0,401 (5) 21- 2fi 0,-170 (7) 0,-1-10 (22) 0,4811 (7)

-

11,fl21i (7) 0,503 (22) 0,-1!15 (7) -

21i- 30 0,-ISU (Hl) ^0,-l()l) (7)

- -

^{0,48(1 (ta) 0,45(1 (7)}

- ^-

31- 35 0,4 IO (li)

-

^-

^-

^{0,4<il (0)}

- - -

Sli- 40

- - - - - - ^- -

-H- 45 0,417 (2) -

- -

^{0,41i0 (2)}

^- -

^-

1) Nom, écrirons pur lu suite, pour ce rnctcur, coefficient de forme (1,80).

:) 4 tiges d'une essence dillérenle (pin sylvestre) ou tout-il-foil anormnles ont été éliminées.

Voici encore un autre exemple: des 105 épicéas, exploités en coupe rase dons ln pincette Ep. 94 (Olten), qui avaient un diamètre de 20 à 23 cm. à h. de p., les 34 dominants avaient un coefficient de forme (1,30 m.) de la tige moyen de 0,519, les 52 codominants, de 0,507, et les retardataires (19), de 0,501. L'exposant de forme moyen était resp. 0,67 (dom.), 0,72 (cod.) et 0,77 (retard.).

Les tables ci-dessous illustrent l'influence de la longueur de la tige sur la forme. exprimée par les 4 mêmes facteurs, plus d

~:~

^hm. (Sd1iffel).

Pour les établir, je me suis servi de tous les épicéas, sapins et hêtres de 20 et 30 cm. de diamètre à 5,0 m. en dessus du sol, mesurés par sections après rnhatage ¹), pour lesquels j'ai trouvé les données néces- saires dans le dossier de nos placettes d'essai. Les diamètres à mi-hauteur et

o

ont été interpolés, lu décroissance de 2 en 2 m. étant supposée régulière. J'indique uniquement les moyennes obtenues, sans distinction d'âge ou de classe de fertilité. Pour ne pas alourdir inconsidérément ces tables, j'ai renoncé à indiquer, en regard de ln donnée moyenne, le plus grand écart et la déviation lype (standard) et renvoie, ù ce sujet, à la communico.tion du Dr. Flury sur ln répartition des différentes catégories de marchandises dnns le volume total (8, p.173).

Rappelons que soit le coefficient de forme vulgaire (1,30), soit celui de décroissance selon Schiffel, diminuent mathémo.tiquement, pour des tiges de même forme, à mesure que ln longueur de la tige aug- mente. P. e. un paraboloïde d'Appolonius de 30 cm. de diamètre à h.

de p. n, pour 20 m. de longueur, le coefficient (1,30) 0,535, 0,522 pour 30 m. et 0,517 pour 40 m. Le coefficient de forme absolu et le quotient de forme de Jonson sont - plus ou moins - exempts de ce défaut.

Si l'on veut bien n'examiner que ces deux facteurs, on conclura que la plénitude de liges de même diamètre varie peu avec la hauteur et que les tiges les plus élancées ont tendance ù être aussi les plus soutenues (voir ln fig. 2 et Flury, 8, p. 169). Les tables ci.dessous et la fig. 2 indi- quent aussi dans quelle mesure ln cylindricité ·varie avec l'essence.

U. Müller (24, p. 221 et ss.) admet qu'ù dimensions égales la forme va s'améliorant de la Jère à la 5° classe de fertilité, pour l'épicéa du moins. En mettant en regard nos donnés moyennes de ln 1 èru et 2èm& cl.

de fert., d'une part, et de la 4f et 5° cl. de fert., d'autre part, nous n'obtenons, pour l'épicéa et le hêtre, que cle faibles différences, géné- ralement en faveur du second groupe, il est vrai. Notre matériel est trop peu nombreux pour que nous puissions en tirer de claires incli-

') Ce rnalêriel comprend aussi quelques plantes mesurées sur pied, à l'aide d'une échelle.

Tiges de ZO cm. de diamètre à â,O m.

l,nngueur 1111. ), _~ CoeRicicnts cle t/¹.',h c/¹;',(h-1,1111,I Expœnnl Volume-

en J•Qre111bè1e■: ^.Q a forme (lige) ~ - ^{";11.JO m.} ile forme moyen

fQ lun~u••ur 111uyc1111e

" ^{Coemeient C}ttefficirnl 111uy~u

du ,;mupe ^7. _(l,;tJ) 8bwlu (Sd1ilfel) Uno1m1) r m•

E11icéa

18 (18,li) R 0,;',25 0,4f,7 0,7r, o,n 0,8fi 0,376

20 (20,2) 20 o,r,2-1 O,•Hil 0,7-l 0,72 0,8 ll,.JOB

22 (22,2) 4r, _{o,r,rn 0,4;,8} 0,7,1 0,72 0,75 o,-1r~

2•1 (2ll,8) 37 o,r,2-1 0,471 0,7,1 0,72 0,8 ll,183

20 (2f,,7) 21 o,r,11 o,4u:1 0,1a 0,71 0,8 o.r,10

28 (28,1) li o,r,oo 11,4r,7 o,n 0,70 0,8 o,r,r,o

30 (llO,O) a O,lill-1 O,IHri 0, 71 0,70 0,8;i O,fi71

Sapin

18 (17,8) a o.r~12 0,•170 0,7:i 0,72 0,8ri o,:rrn

20 (l!l,8) li OJ)-10 0,18'.! o.75 o,n 0,!) 0,10!)

22 (21,fi) 11 o,r.:12 0,11a 0,7r, 0,72 0,8 O,lfil

24 (24,0) -l o,r,.w 0,-l!II O,iH 0,7•1 o,m; O,ii05

20 (21i,5) li o,r,r, 1 0,fil>O 0,7B 0,7;, 0,7 0,5-t!)

Hêtre

18 (17,5) 5 0,-l!l!) 0.-132 0,70 O,liti 1,0 0,351

20 (20,3) 8 0,500 0,,UI 0,7-l 0,71 0,7 0,305

22 (22,1) 23 0,482 0,4lll 0,70 0,(i8 0,1) 0,41!)

24 (24,0) 22 0,485 0,4B7 0,71 0,ü9 O,!I 0,453

20 (25,!)) ^21} 0,47i 0,432 0,71 0,(1!) 0,8 0,407

28 (28,1) 1B 0,48!i 0,443 0,71 0,70 0,8 0,538

ao (29,7) 15 0,41i!l 0,130 o,m, ^0,(i7 1,0 O,i>-18

32 (31,1) 7 0,457 0,421 O,li8 0,li<l 0,0 0,588

Epicéa Tiges de 30 cm. de diamètre à 5,0 m.

21.i (25,!)) ^(j O,-lil2 0,441i 0,70 O,li8 1,0 1,073

28 (28,0) 10 0,187 0,4-14 0,71 0,09 0 Il 1,107

BO (20,7) 4 0,48-t 0,4-13 0,70 0,0!) O,!I 1,252

/12 (31,0) Ci 0,471i 0,4/17 0,(i!) O,li7 1,0 1,a30

34 (33,8) -1 0,4!13 0,4;,7 0,71 0,70 0,!I 1,455

3(i (3Ci,O) 2 0,181 0,448 O,ïl O,◄i!) 0,85 l ,li13

Sapin

22 (22,ll) l► O,fil 0 0,45!i 0,7~ 0,70 0,!15 l,OlU

2-1 (2:1,8) 12 0,111H 0,-14!1 0,72 0,70 11,8:i 1,102

21i (20,0) fi O,fi07 0,-l(iO 0,72 0,70 O,Hfi l,tli!I

28 (27,7) li o,r,11 0,4(i7 o,7B 0,71 0,8 1,254

ao (110,oJ B o,r,011 O,-lli7 0,72 0,71 1,0 1,3!)0

:12 (li l ,!I) 7 o,r,211 0,48:i 0,7.J 0,72 0,8 1 ,-l(i(i

:1-1 (aa,oi -1 O,fi07 0,470 o,n 0,71 0,8 1,fil 7

llêtrn

2,1 (2,1,1) 8 0,-lri(i 0,411 o,rn1 0,(i7 o,n ^1,()()1

2(; (2fi,H) 14 0,4!'i!l 0,411i O,HH ^0,(i(j 1,0 1,0-17

28 (28,a) 18 0,-llili 0,-121; O,li!) O,H8 0,!17, 1,178

au (an,o) ¹¹⁾ 0,471 (),432 0,70 O,H8 0,8 1,234

ll2 (:H,8) 17 o,.mn 0,42.'l O,Ci!l 0,(i(i 0,8 1,270

li.l (33,8) 12 0,-180 0,445 0,71 0,(i!l O,i 1,380

Jo'i8. 2

Volumè moyen de tiges 1l'épicêa, sapin et bêtre de 30 em. de diamètre à 5,00 m. et différentes longueurs, comparé à celui de paraboloïdes d'Appolonius et de e&nes droits

de mêmes dimensions.

m• 1,65 ,----,,-"T"""-,-...--,--"T"""--,I,----,---,---,,---,-.-..,...-,--,---,---, l,M m•

1

icône

1 1

o.n - - - ~ - - - 0,15

:?O m. de longueur ;o in. de longueur 35

entions quant à l'influence de l'âge'). Scion Flury (6, p. 200) et Ernst (4, p. 451-455), l'effet de l'intensité diverse de l'éclaircie sur la forme de la tige est nulle ou au moins négligeable.

Ce qui se dégage de ces brèves considérations sur les moyens d'exprimer la cylindricité de la tige des arbres et les facteurs qui la déterminent, c'est la valeur Ioule relative qu'ont, considérées du point de vue pratique, les indications de forme. Des tiges très élancées présentent, quel que soit leur contour longitudinal, des pièces de faible décroissance et livrent des produits marchands dont lu valeur dépasse celle de plantes bien soutenues, mais très trapues. Plus que la forme de la génératrice, la position') de celle-ci pur rapport ù l'axe importe,

1) Dans ln littérnture forestière, on admet généralement 11ue cette influem.•e s'exerce dsn;; le sens d'une faible nugmentnlion de ln cylindricité avec l'ûge.

:) Cette position de ln génératrice dépend de ln constanle c, et le volume esl pro-

portionnel à c~tte constante. Les diamètre!! à distance donnée du sommet sonl prop. il

\ ~ Yi

^{= cl• X~ ( Y1}

):? cl

c. De on lire - - - •

y; = c₂^• x

1

^{y2 c2}

Y1 =

5.

⁼

, 1 cl

^el

• : 1

=

.2,

Y2 d2 c2 I 2 t'2

cl le ruppori clc lu huutcu1· de ln tige i1 son diamètre (de buse ou ù une hauteur donnée, p. e. 1,3 m., 3 m., 5 m.) présente plus d'intérêt que les fucte111·s <le forme.

"

2, Le quotient ri •

Lu

considération du <1L10ticnl d

1

:o

est depuis longtemps fami-

' m.

lièrc nu forestier. En 1894, K. Sdwberg (JJ, p. 41- 44) en relevait 1léjii l'intérêt. En 189S, L. W. 1/om et le Dr. F. Gru11duer (12, p. 64 ci suivnntcs) co11sucrnie11l un chapitre <le lem· introduction uux tubles de cuhngc pour le hêtre II cc .,quotient de dimensions•· Le Dr. Flury s'en esl servi clès 1903. Miirid1 (2;) le considi.•re comme un signe distinctif importunl des différent.~ mces clu pin sylvestre. Burger (1) et Van- lielow (J6), moins cntégoric1ues duns leur appréciation, y ont ég·nle- ment recouru dans un but analogue.

Alors que les facteurs de forme ne peu,·erü être calculés avec une exactitude suflïsnnte que sur des pluntes ubnttucs - à l'cx:C'cption du coefficient de décroissance, pour la détermination duquel on peut se set·\·ir d'une échelle ou du dendl'Omètre de Wimmenauer, p. e. --. le mesurage du cliumètre à h. d. p. et de lu longueur est simple et. pl'Cnd peu de temps. Ln hauteur du point. ^ot'1 commence lu cime et ln longueur du fût déburrussé de brund1es peuYent être établies pur ln même occasion, sans qu'il soit. nécessaire de déplucel' le denclromètre.

Le rapport de la hauteur au diamètre à 3, 4 ou 5 m. présente cette supériorité sur d 1 _'l !u de ne poinl dépendre de l'effet de l'empatte-

tll.

ment formé par ln naissance des grosses racines. Si, dans les pages qui

t . ·1· . ^t li ' t

von suivre. nous cousu crons presque untqucmen d l,ao m., ces sur- tout afin de disposer d'un mntéricl plus nhondnnt et purœ que, clans des peuplcmc11is réguliers de 90 uns nu plus, l'évuseme11t du pied ne se fait gui.•re scnlir jusqu'à 1,30 m. Dans nos mcsurngcs futurs, pur conh-e,

d • t · 1 ·

r · "

t ''

nous c crmmerons ce prc crencc " e ₁ •

d u,O m. d ( ";;") li

Pour 1m nrhrc isolé ou du moins bien Jégngé, le rapport entre lu lrnulcur et le cliumètre ù h. cle p. décl'Oit rupidemcnl uvcc l'âge. En voici un exemple, calculé ù l'nide de données tirées de !',,Economie forestière" de llu/fel (14, tome II, p. 208). lin hêtre provenant d'une for~t traitée en taillis sous futaie dnns les environs cle ;',l"unc·y urnit.

aux: âges indiqués en première ligne, les propol'iions sui\'unte-.:

Âge h d 1,SO m.

10 20 179 200

30 175

40

164

50¹) 60 122 78

70 69

80

62

90¹⁾ 101 ans 59 54 Dans le massif forestier, les modifications que subit

1

sont moins régulières. E1les dépendent principalement des conditions d'existence de l'arbre et de son aptitude à supporter le couvert. Les sujets pré- dominants dès l'origine se comportent à peu près comme les isolés, si ce n'est que la chute du quotient est plus faible et plus lente. Le rapport

l

exprimé en fonction de l'âge, de pluntes simplement domi- nantes décrit une courbe d'abord légèrement ascendante, qui culmine d'autant plus vite que les conditions de la station sont favorables, puis fléchit lentement. Par contre, un sujet qui, de dominant qu'il était à l'origine, passe dans la catégorie des moyens, puis des retardataires et même des dominés, devient en général de plus en plus élancé. Pour certaines essences, dont le hêtre, l'intensité des éclaircies exerce une forte influence sur la décroissance de

l

Les trois tables que voici, dont les éléments sont empruntés à R. Ilartig (11, p.169 et ss.) et K. Sdwberg (12, p. 38 et fig. 2 et J:;, p. 37 et ss.) et résultent cle l'analyse détaillé de tiges (écorcées) représentant chacune une catégorie de grosseur du peuplement dont elles sont issues, indiquent les fluctuations qui se produisent, avec l'âge, dans le rapport de la hauteur au diamètre à h. de p.

Dans la forêt équienne, les tiges du diamètre le plus faible sont aussi les plus élancées, à l'exception, toutefois, de sujets entièrement dominés. Les plantes retardataires ne peuvent prétendre à durer que si elles s'emploient entièrement ù pousser leur houppier entre les cimes

Epicéa (R. Hnrtig) Peuplement <le 100 ans (Forslenrieder Park).

Arbre

Classe d'arbre hld 1,S0 m ÎI l'âge de ... ans

no 80 40 50 ^GO 70 80 00 100

I dominant 70 77 78 76 75 75 74 72

II dominant 76 78 81 84 86 84 81 79

III moyen 81 80 80 80 82 1 82 81 80

IV moyen 118 107 104 104 108 105 108 102

V retardataire 120 110 105 110 115 121 124 127

VI dominé 121 116 180 140 145 145 154 100

1) Coupe du taillis à 50 et 90 ans.

Sapin hlone (K. Schuberg). Peuplement de li0- !10 nns environ.

Arbre Classe /,/d 1,80 111.

nO d'urbre Lors du 10 uns J 20 ans 130 uns

l

^{40 uns}

l

^{50 ans}

mesurage aupuruvonl

) (1)1 1111S) dominé 1-Hi 124 118 1117 !l(i BI

II (ï7 nns) surcimé 112 on IIR 111 82 -

III (80 1111S) moyen 101 !H !IB !JO 80 -

IV (li!l uns) clominnnl im 80 Hli 80 !lO

-

V (OH uns) dominnnt 7ü 77 RO 81 82

-

Hêtre (I{. Srhuherg). llètraic du district cle l{nndern (100- 180 uns).

Arhre 1,/c/ !,HO 111.

Clnsse

IO o.na 1 ^{~o an1} 1 JO un!I l 40 ,uut l ^{'io uns} I fiCI unt' 1 iO uns t 80 nn!li

n• d'nrhre ^{lm du}

ffltlUlllt m111uravan1

I {122 1111s) retnrclutnire 120 12a 125 130 13-l 135 141 1411

rna

Il (105 1111S) rctnrdnlnire 100 102 Hki 111 ¹¹³ 118 111 !18 !JO III (llü uns) moyen !l7 ^!J!) 103 10(i 110 113 113 115 121 IV (112 uns) dominant 8!) !JO 9') !lü 103 JOB JOB 113 108

V (laOnns) do111inn11t 72 75 77 80 81 81 81 80 80

des nrbrcs plus rnlumincux qui les cnlourcnt. Elroitcment enserrées pur leurs ·\'oisincs, clics sont ù l'nbri du vent, cc qui lelll· permet de ne s'uccroitrc en êpnisscur que cluns lu mesure oü c'est nécessaire ù l'up- provisionncmcnt en euu de leurs cimes étroites et courtes. Le diumèlr·e

t ' 1 t " 1 , ·t · 1 t L 1 1

nugmen an., c rappor cl t,ao rn. c c<:rm rup1c emcn . a p un c se dégage toujours plus de l'élrcinte du massif <1ui l'entoure et doit se conformer uux exigences mécaniques résullunt de l'action du vent sur sa couronne fouillée. En outre, Je développement rapide de lu cime pro\·oque une l'orle augmcnlation du nombre des vaisseaux el de lu section conductrice. cl cclu surlnul duns lu portion inférieure cJu fro11c (Prof. P. Jnccnrd, 16).

Dans ]a forêl jurdin{-c, d l,ao Il ^m. uugmenlc d'abord uvcc le clin•

mètre, culmine entre JO et ~O cm. environ, puis diminue comme dans les peuplements réguliers, muis plus lentement (cf. Dr. Il. Burger, 2). Si l'on porte, entre cieux uxes reclnngu]aires, les (linmètres en abscisses et le quotient ~ correspondnnt en ordonnée, il est rcl~tivement aisé de tracer, sans trop fortes ruptures de continuité, une 1igne courbe

qui tienne une position moyenne entre tous les points. Cette courbe, dont lu pente moyenne diminue uvec l'âge du peuplement, a, si ce n'est quelquefois ù son origine, une forme concave vers le haut (peuplements réguliers). Est-il possible d'en écrire l'équation? Différents auteurs nor- diques, dont le Suédois M. Nüslund (26), admettent que la loi de varia- tion cle la hauteur en fonction du diamètre est exprimée d'une façon suffisamment exacte (du moins pour le pin sylvestre) par une fonction de la forme y n

+

b . ·'-· + c . x² (u, b, c, = paramètres, y hauteur, x - diamètre). W. Tisdu!lldorf (J5), qui a examiné d'une munière ap- profondie les possibilités d'emploi de lu méthode des moindres carrés, reconnuit, uu contraire, que lu détermination mathématique de lu ,·ourbe des huuteurs lu dénature et que le procédé graphique est seul digne de confiance. En effet, les courbes de hautcut• (et pur là les lignes

*

aussi) ne se laissent qu'impurfaitemcnt enformer clans le cadl'C d'une formule. Les sujets dominants, moyens, retardataires et dominés d'un peuplement ont, ù dinmètre égal, une hauteur différente, et on peut tracer autunt de courbes de hauteurs (ou~) qu'il yu de classes d'arbres, les unes chevuuclrnnt les autres. Lu courbe unique est le résultat de leur raccordement. Comme les différences de longueur entre les dominunts sont généralement faibles, c1uclle qu'en soit l'épuisseur ù lu hase, fortes par contre entre les arbres des diamètres les plus faibles, qui se recrutent presque uniquement purmi les dominés, et ceux des cutégories immédiatement supérieures, le rayon de courbure est court dans le premier fragment de lu courbe des lmuteurs, élevé, au contraire, duns lu dernière purtie de celle-ci.

Les fig. 5, 6, 7 et 8 indiquent, en trait mince, le résultat de lu détermination mathématique de lu courbe des hauteurs (le rupport de lu longueur au diamètre à h. de p., y est exprimé gruphiqnement). Les courbes régulières calculées donnent, presque sans exception, pour ln raison indiquée ci-dessus, des résultats trop élevés pour les diamètres les plus faibles et les plus forts. Je ne me suis pus scrYi de la méthode des moindres carrés, d'une application difficile à cause de la longueur des calculs, mais d'une formule simple que m'a communiquée M. le prof.

E . .Jaccard, à Lausanne, formule empirique suggérée par celle donnée plus haut (y^{2 -} c. ·'-'r) pour figurer Ja forme d'une tige, soit lt ... m .

<r•

où m et n sont des constantes ù déterminer pour chaque courbe.

Soit 2r (nombre pair) le nombre des tiges (ou groupes de tiges), également réparties entre les catégories de grosseur, dont je connais le diamètre et la hauteur, il s'agit de satisfaire, avec l'approximation

lu mcillcm·c possihle, aux 2 r égalités III entiêrcmcnt. compat.ibles, ni cntiêrcmcnt incompntiblcs non plus.

En prenunt purullèlcment deux groupes (h, d) à peu près équi- clistunts des extrêmes. on 11 2 r égalités

JI {

h1 m . cl~ li.!,

hi m.

<1 ;

h2,- ¹

h, 1

et pur log /,₁ - log m 1-11 • log c/₁

= m.

c1;~

m. dJn~- •

. . . .

d"

111• r+ l

logurithme!;

log lt_{2 ,} log !t.!,- t etc., cl' oi1 pur soustraction

{

log h_{2 ,} - log h₁

=

n (log d~, - log d1 )

Ill log '1_{2 ,}^_ ₁ ^- log /,₂

~

^{n (log cl~,-} 1 - log d2) etc., en tout r égalités.

log m

+

^{11 •} log d~,

En additionnunt membre ù membre ces ,. égalités dont m. a été éliminé (artificiellement), on u une égulité résultuntc qui donne la valeur de n

s

1

- s.!

^~

s

^-

-

^~

s '

^{Oil .}

s,

^et

s ~

^sont des sommes ^d C

'

.

log /, et S₁ et S₄ des sommes de log d, les i1tdiccs vul'iant de 2 r ù r

+

J pom- S, et S1 et. de I i1 r pour .':i~ et S~.

Dès lors, ¹¹ étant uinsi déterminé. si l'on membre toutes les égalités Il, on obtient

~: log h 2 r . log m I Il • ::: log cl, cl' oit log m

udclitionnc membre ù

::: Joiz li - n • ::: log d

L'emploi de cette formule /, en tire

m . dn serait co111111e on voit aisé, et l'on

/, ,1

n- 1 m • ,l .

Mulheureusemenl, si l'on se rupproc:hc singufü.-rcmcnt de ln réalité clans plus cl'un eus. il semble hélas que l'on s'en écarte trop dans d'autres. Concluons clone u,·ce Tischcnclorf que les courbes de lmutem·

t ^{11 • '} 1· • t t ·t . , tl , t·

e d sont 1rrcgu 1ercs e ne peuven pas c rc cxpmnces mu 1emu 1- q11cmen t, du moins pns d'une munière satisfoisantc.