Augenstab-Bolzen-Verbindungen unter Berücksichtigung der Reibung

Berücksichtigung der Reibung

Von dem Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesn

der Universität Hannover

zur Erlangung des Grades eines

DOKTORS DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN

Dr. -Ing.

genehmigte Dissertation

von

Dipl. -Ing. Zi-Niu Guo-Geruschkat

geboren am 02.04.1963, in Shanghai

2001

Korreferent: Honorarprofessor Dr.-Ing. J.Kowalewski

Tag der Promotion:09.01.2001

Die vorliegende Arbeit führt eine systematische rechnerische Untersuchung

der Auswirkung der EinussgröÿenAugenstabform, Nennspannung, Bolzen-

spiel, Reibungszahl und Kopfhöhenvergröÿerung auf das Tragverhalten der

Augenstab-Bolzen-Verbindungen durch. Die Berechnungen erfolgen an 2D-

Modellen mittels der niten Elementmethode (Kontaktproblem). Aus den

ermittelten Spannungszuständen wurden indieser ArbeitdieFormzahlen in

Abhängigkeit von den Einussgröÿen bestimmt. Die Zulässigkeit der 2D-

Modelle wird für einige Fälle durch Vergleich mit dem entsprechenden Er-

gebnissen mit 3D-Modellen nachgewissen. An Hand der Ergebnisse wird

dieRichtigkeitder empirischaufgestellten Berechnungsformeln aus der DIN

22261 geprüft.

Abstract

The present work practises a systematic computational study of the eect

of the various variables lug geometry, nominalstress, pin-to-hole clearance,

coecient of friction and wall section to carrying behavior of the lug joint.

Stress analyses are performed using the nite element method. From the

determinedstressstateinalug, thestressconcentrationfactors aredetermi-

ned in this work depending onthe various variables. A comparison between

the results of 2D, and 3D nite element analyses could be established. The

correctness of the calculation formulae of DIN 22261 placed empirically is

checked.

Schlagwörter: Augenstab, Formzahl,Reibung

Catchword: lug, stress concentration factors, friction

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit am Institut für

Stahlbau des Fachbereiches Bauingenieur- und Vermessungswesen der Uni-

versitätHannover.

Herrn Professor Dipl. -Ing. R. Kaufmann, dem ehemaligen Geschäftsleiter

des Institutes, danke ich für seine Förderung und fachliche Unterstützung,

diedieAusführung dieser Arbeit ermöglichte.

Herrn Professor Dr. -Ing. Dr. -Ing.E. h.J. Scheer danke ich herzlich fürdie

Übernahme des Korreferates sowie für seine wertvollen Hinweise.

In gleicher Weise danke ichHerrn Honorarprofessor Dr. -Ing.J. Kowalewski

für das der Arbeit entgegengebrachte Interesse und die bereitwillige Über-

nahmedes Korreferats.

Auch möchte ichallen Mitarbeiterndes Institutes,diemichbeider Anferti-

gung der Arbeit unterstützten,herzlichdanken.

MeinbesondererDankgiltmeinerFrau,diemichinjederPhasedieserArbeit

besonders unterstützt hat, sowie Herrn R. Geruschkat für die bereitwillige

Korrektur.

Zi-NiuGuo-Geruschkat

Hannover, den 09. 01.2001

1 Einleitung 1

1.1 Allgemeines . . . 1

1.2 Problem . . . 4

1.3 Zielder Arbeit und Lösungsweg . . . 4

2 Augenstab-Bolzen-Verbindung 7 2.1 Bezeichnungen. . . 7

2.2 Vereinfachende Annahmen für dieUntersuchungen. . . 7

2.3 Dimensionierungdes Augenstabes . . . 7

2.4 Kerbspannungen . . . 10

3 Sichtung der vorhandenen Literatur 13 3.1 Chronologische Entwicklung des Wissenstandes . . . 13

3.2 Analytische Verfahren . . . 19

3.3 Numerische Verfahren . . . 25

3.4 NormativeFestlegungen . . . 26

3.5 Zusammenfassung des jetzigen Kenntnisstandes und Schluÿ- folgerungen . . . 31

4 Grundlagen des verwendeten Berechnungsverfahrens 33 4.1 Grundlagenund Ansätze der Finite-Elemente-Methode . . . . 33

4.1.1 Grundbegrie der Elastizitätslehre . . . 34

4.1.2 Numerische Modellierung mitder FEM . . . 36

4.2 Kontaktmodellierung . . . 38

4.2.1 Allgemeines . . . 38

4.2.2 Das verwendete Programmsystem . . . 40

4.2.3 Kontaktanalyse inder FEM . . . 42

4.2.4 Das Kontaktinteraktionsmodell . . . 45

4.2.5 Kontaktspannungen. . . 48

5 Numerische Behandlung zweidimensionaler Modelle zur Si-

mulation der Augenstab-Bolzen-Verbindung 53

5.1 Berechnung derAugenstabverbindunggemäÿAbb. 2.1(a)oh-

ne Gelenkdrehung . . . 53

5.1.1 Modellierungsdetails und Ablauf der numerischen Be- rechnungen . . . 53

5.1.2 Numerische Berechnungsergebnisse . . . 64

5.1.2.1 Einuÿdes Bolzenspiels . . . 64

5.1.2.2 Einuÿder Reibung . . . 69

5.1.2.3 Einuÿ der Geometrie bei konstanten Nenn- spannung . . . 71

5.1.2.4 Einuÿder Geometrie beikonstanter Last . . 73

5.1.2.5 Einuÿder Kopfhöhenvergröÿerung . . . 75

5.1.2.6 Nichtlineares Verhalten in Abhängigkeit von der Nennspannung . . . 78

5.1.3 Ergebnisse der parameterabhängigen Formzahl- er- mittlung . . . 80

5.2 Berechnung derAugenstabverbindunggemäÿAbb.2.1(a)mit Gelenkdrehung . . . 86

5.2.1 Modellierungsdetails und Ablauf der numerischen Be- rechnungen . . . 86

5.2.2 Numerische Ergebnisse . . . 91

5.2.2.1 Einuÿdes Bolzenspiels . . . 91

5.2.2.2 Einuÿder Reibung . . . 97

5.2.2.3 Einuÿder Geometrie . . . 101

5.2.2.4 Einuÿder Kopfhöhenvergröÿerung . . . 105

5.2.2.5 Einuÿder Nennspannung . . . 108

5.2.3 Vergleich der Modelle ohne/mit Gelenkdrehung gegen den Reibungswiderstand . . . 112

5.2.4 Ergebnisse der parameterabhängigen Formzahlmitt- lung fürden Augenstab mitGelenkdrehung . . . 115

5.3 Berechnung des Augenstabes gemäÿAbb. 2.1(b) . . . 118

5.3.1 Modellierungsdetails und Ablauf der numerischen Be- rechnungen . . . 118

5.3.2 Numerische Ergebnisse . . . 120

5.3.2.1 Einuÿdes Bolzenspiels . . . 120

5.3.2.2 Einuÿder Reibung . . . 121

5.3.2.3 Einuÿder Geometrie . . . 122

5.3.2.4 Einuÿder Kopfhöhenvergröÿerung . . . 123

5.3.2.5 Einuÿder Nennspannung . . . 124

5.3.4 Vergleichder Modelle inder Abb. 2.1(a) und (b) . . . 130

5.4 Berechnung des Augenstabes gemäÿ Abb. 2.1(c). . . 131

5.4.1 Modellierungsdetails und Ablauf der numerischen Be- rechnungen . . . 131

5.4.2 Numerische Berechnungen . . . 134

5.4.2.1 Einuÿ des Bolzenspiels . . . 134

5.4.2.2 Einuÿ der Reibung . . . 135

5.4.2.3 Einuÿ der Geometrie . . . 136

5.4.2.4 Einuÿ der Flankenneigung . . . 137

5.4.2.5 Einuÿ der Kopfhöhenvergröÿerung . . . 138

5.4.2.6 Einuÿ der Nennspannung . . . 139

5.4.2.7 Formzahlermittlung . . . 140

5.4.2.8 Vergleichder Modelle Abb. 2.1(a) und (c) . . 143

5.4.2.9 Die Sonderfälle . . . 144

6 NumerischeBehandlungdreidimensionaleModellezurSimu- lation der Augenstab-Bolzen-Verbindung 149 6.1 ModellierungsdetailsundAblaufdernumerischenBerechnungen149 6.2 VergleichderRechenergebnissederzweidimensionalenmitden dreidimensionalenModellen . . . 162

7 Auswertung der Ergebnisse 167 7.1 Vergleichder Rechenergebnisse mitDIN 22261,Teil2 . . . 167

7.2 Vorschläge . . . 183

8 Zusammenfassung 185

A Lösungsalgorithmen 211

B Wavefront-Methode 213

C Lebenslauf 219

Einleitung

1.1 Allgemeines

Im Maschinen- und Stahlbau, insbesondere in der Fördertechnik, sind Au-

genstäbe Bauteile für die Herstellung gelenkiger Verbindungen. Augenstab-

Bolzen-Gelenke wurden schon in der Frühzeit des Stahlbaues häug einge-

setzt bei Zügelgurt- und Hängebrücken mit Stabketten und bei Fachwer-

ken des Hoch- und Brückenbaues, um die rechnerische Annahme gelenkiger

Knotenpunktezuerfüllen.ImmodernenStahlbauwerdenAugenstab-Bolzen-

Verbindungen oft benutzt, wenn ein häuges und einfaches Lösen der Ver-

bindunggefordertodereinegewisseDrehfähigkeitder Verbindunggebraucht

wird. In den Abb. 1.1 und Abb. 1.2sind typische Anwendungsbeispiele der

Augenstab-Bolzen-Verbindungen.

Augenstab-Bolzen-Verbindungen sind tragende Elemente, die statische und

kinematische Gelenkdrehungen ermöglichen. Sie unterliegen komplizierten

Beanspruchungen infolge zeitlich veränderlicher Belastungen und Betriebs-

bedingungen durch Montage, Ungenauigkeiten, Korrosion. Sie sind gekenn-

zeichnet durch die Übertragung konzentrierter groÿer Kräfte bei geringen

Abmessungen. Dabei stellt sich die Frage, ob diepraktizierten Bemessungs-

verfahren einerseits eine ausreichende Sicherheit gewährleisten und anderer-

seits zu wirtschaftlichen Abmessungen führen.

Für den Stahlbau sind im deutschen Normenwerk in folgenden Normblät-

tern Festlegungen für die Auslegung von Augenstab-Bolzen-Verbindungen

enthalten:DIN18800Teil1[17], DIN19704[18],DIN22261Teil2[19],DIN

4131[20],DIN4133[21]sowiederehemaligeDDR-StandardTGL19337[62].

Dabei verwendete Kennwerte (z.B. Formzahl ) werden aus der Erfahrung

in der Praxis und in Versuchsreihen bestimmt. Die Einwirkungen von ver-

(1) (2)

(3) (4)

(5)

(6) (7)

(8) (9)

(10)

Abbildung 1.2: Augenstab-Bolzen-Verbindungen im Braunkohlen-Tagebau

uÿgröÿen werden in der Projektierungsphase durch Erfahrungswerte oder

Simulationfestgestellt.

1.2 Problem

Der Einuÿ der Reibung auf die Tragfähigkeit von Augenstabverbindungen

unter statischer und oftmals wiederholter Belastung und Gelenkdrehung ist

einwichtiges Problemin der Praxis. Bei der Erarbeitungneuer Normen für

bewegliche Stahlbauten (DIN 19704 [18] und DIN 22261 [19]) sind Bemes-

sungsverfahren für Augenstäbe unter Berücksichtigung des Reibungseinus-

ses auf die Betriebsfestigkeit neu eingeführt worden. Die dort vorgeschla-

genenBerechnungsmethoden fürAugenstab-Bolzen-Verbindungenenthalten

vereinfachende Annahmen, dienicht gesichert sind.

Die angegebenen Nachweisverfahren für Augenstab-Bolzen-Verbindungen in

beiden Normen beruhen auf drei Annahmen:

Für die Betriebsfestigkeit ist die unter der Voraussetzung elastischen

Verhaltens im Augenstab auftretende Zugspannungsspitze nach Maÿ-

gabedes Kerbfalles W maÿgebend

DieLochleibungsdrückebleibenbeieinemzusätzlichvorhandenemRei-

bungsmoment unverändert und symmetrisch zur Zugkraftwirkungsli-

nie, dieReibungs-Schubspannungen antimetrischverteilt

Die Formzahl für die Zugspannungsspitze unter Einuÿ eines Rei-

bungsmomentes (verursacht durcheineGelenkdrehung unter Last) be-

zogen auf eine denierte zugehörige Nennspannung ist die gleiche wie

dieinfolgeeiner allein wirkenden Zugkraft

Die Richtigkeit dieser Annahmen bedürfen der wissenschaftlichen Bestäti-

gung.Hier gehtes nur um elastizitätstheoretische Untersuchungen.

DieBetriebsfestigkeitgelenkigerVerbindungenistinvielenFälleneinfürdie

Dimensionierung wichtiges Problem. Zieldes Nachweises der Betriebsfestig-

keit ist die Sicherstellung der Dauerhaltbarkeit der gelenkigen Verbindung

fürihre gesamte Nutzungsdauer.

1.3 Ziel der Arbeit und Lösungsweg

DieseArbeithat dasZiel,fehlendeGrundlagezurBerechnungvonAugenstä-

ben durch numerische Untersuchungen zu gewinnen und damit die Richtig-

numerische Untersuchungen zu bestätigen oder gegebenenfalls notwendige

Korrekturen anzugeben. Mit diesen Untersuchungen sollen die wesentlichen

EinüsseaufdenSpannungszustandnachderElastizitätstheorieerfasst wer-

den. Insbesondere gehört dazu der Einuÿ der Gröÿe der mit der Last zu-

nehmenden, vom Bolzenspiel abhängigen Kontaktzone zwischen Augenstab

und Bolzen, diezu einer geometrischenNichtlinearitätzwischen Bolzenkraft

und Spannungzustand führt, sowie der Einuÿ der Reibung auf den Span-

nungszustand, dieser istinseinerGröÿeund Verteilungsehr unterschiedlich,

je nachdem in der Augenstabverbindung eine Gelenkdrehung eintritt oder

nicht.

EineweitereFragestellungbetritdieUnterschiedezwischendemSpannung-

zustand,dersichausdemebenenModelleinesAugenstabesmitstarremBol-

zengegenüberdemräumlichenModellAugenstabmitelastischverformbarem

Bolzen ergibt. Untersucht werden auch Augenstäbe, die durch Druckkräfte

anstatt Zugkräfte beansprucht werden (Gelenklager, s. Abschnitt 5.4.2.9).

Untersuchungsziel war hier Gröÿe der maximalen Spannungen, des Lochlei-

bungsdruckes und des Reibungseinusses.

Die hier durchgeführten numerischen Untersuchungen zur Ermittlung des

Tragverhaltens derAugenstab-Bolzen-Verbindungwurden mitHilfevonvor-

liegenden Finite-Elemente-Programmen durchgeführt. Mit Hilfe von FE-

Berechnungen können umfangreiche Parameterstudien unter einem relativ

geringen Kosten- und Zeitaufwand durchgeführt werden.

Die Parameterstudien wurden im wesentlichen für dieStandard-Augenstab-

Bolzen-VerbindungnachAbb. 2.1(a)durchgeführt.DurchdieReibungsind

dieextremenSpannungen(Vergleichsspannungen,Hauptspannungen)imAu-

genstabdeutlicherhöht.UntersuchungennachAbb.2.1(b),Abb.2.1(c)und

Abb.2.3wurdennurinsoweitgeführt,umdieUnterschiedezurStandardform

nachAbb. 2.1(a) ausreichendgenau bestimmen zu können.

Zusammenfassung der Untersuchungen:

BerechnungvonGröÿeundVerteilungderFlächenpressunginderKon-

taktzone inAbhängigkeit vom Bolzenspielund von der Lastintensität

Ermittlungder Gröÿe und Lage der Kontaktzone

Bestimmung des Einusses der geometrischen Parameter (siehe

Abb. 2.1 (a)-(c)) und der Kraftrichtung auf die Spannungsverteilung

imAugenstab

Bestimmung der maximalen Zugspannungen und damit der Formzahl

Ermittlung des Reibungseinusses in der Kontaktzone auf die Span-

nungen imAugenstab

VergleichderErgebnisse amzweidimensionalenund dreidimensionalen

Simulationsmodell

Augenstab-Bolzen-Verbindung

2.1 Bezeichnungen

InAbb. 2.1sind diedreiverschiedenenAugenstäbe mitallen Bezeichnungen

dargestellt, auf dieimVerlaufdieser Arbeit zurückgegrien wird.

Werte fürSpannungen ohne Angabe der Maÿeinheitsind inN=mm 2

zu ver-

stehen.

2.2 Vereinfachende Annahmen für die Unter-

suchungen

ZweidimensionaleModelle(sieheAbb.2.2)beinhaltenmehrereVereinfachun-

gen,diesichauf diedarstellbarenmechanischen Gröÿenauswirken.Abb. 2.2

klärt,daÿbeimzweidimensionalenModellmitebenemSpannungszustandim

Augenstab der Bolzen alsstarr angenommen wird.Für den Augenstab wird

elastisches Verhalten des Werkstoes unterstellt. Wichtig ist die Annahme,

daÿ ein Ausweichen des Augenstabes aus seiner Ebene ausgeschlossen wird

(Beulenausgeschlossen).BeidemdreidimensionalenModell(s.Abb.2.3)gilt

für Augenstab und Bolzen elastisches Werkstoverhalten.

2.3 Dimensionierung des Augenstabes

Bei der Auslegung des Augenstabes in der Augenstab-Bolzen-Verbindung

sind folgende Spannungen von Bedeutung:

000000 111111

r c

t

(a)

R r _b a

e F

F

s/ ₂

S

b = 2R d

0000 0000 1111 1111

a

r

R R

u2

(b) r b

R u1

t e

135° β 180°

R u1 R u2

R 2R

c

e _u e _u 0

F

b F S S/2

β β

000000000 111111111

(c) R

c

t β

β

e 0 β 45°

a β

r b

r F

S/2 S

y

x F

γ γ

a: Kopfhöhe c: Wangenbreite

r _b : Radius des Bolzens R: Außenradius des Kopfes e :

r: Radius der Bohrung (R-r) Kopfhöhenvergrößerung

R

R u1, u2 : Radien am Schaftübergang b: Schaftbreite

(Modell (b)) s: Bolzenspiel ( r-r 2 b

: Verstärkung des Schaftübergangs (Modell (b))

d: Durchmesser der Bohrung d=2r e _u

F: Augenkraft t: Augenstabdicke

Neigungwinkel der Außenkonturtangente β:

Winkel vom Schrägzug γ :

)

Abbildung2.1: Abmessungender Augenstabmodelle (a), (b) und (c)

F

Bolzen (starr) wird festgehalten

Augenstab (elastisch)

starres Randglied

1

x y

Abbildung2.2: ZweidimensionalesModell

y

F ₁

(Vorderansicht) r r

a

h

10 t ⁵ 2t ⁵ t ¹⁰

b

a c

Bolzen 2r

starres Randglied starres Randglied

festgehalten (elastisch) (elastisch)

s/2

s/2 2r b

F1 ^{F1/2 F1/2}

x

F1

(Seitenansicht) Augenstab

(elastisch) Augenstab R

c

Abbildung 2.3: DreidimensionalesModell

Rechnerischer Lochleibungsdruck: der Druck p

L

, der sich durch die

gleichmäÿigeVerteilungder KraftF aufdieauf eine Ebene projizierte

Lochleibungsäche ergibt. Im Fall von nicht spielfreien Bolzenverbin-

dungen ist an die Stelle des Bohrungsdurchmesseres 2r der Bolzen-

durchmesser 2r

b

zu setzen, mitder Augenstabdicket giltdann

p

L

= F

2tr

b

(2.1)

Einuÿauf dieAugenstab-Bolzen-Bemessung haben:

Geometrie (Augenstabform)

Werksto (linearelastisch/elastoplastisches Verhalten)

Belastung (statisch/kinematisch, vorwiegend ruhend/oftmals wieder-

holt)

Oberächenzustand (Rauheit,lokaleVeränderungvonWerkstoeigen-

schaften durch Wärmebehandlung)

2.4 Kerbspannungen

DieErmittlungdes Spannungszustandes nachderelementareStabtheorieist

-auchwennderenVoraussetzungenerfülltsind-dannnichtmehrzutreend,

wenn der elementare Spannungszustand durch geometrische Kerben gestört

wird. Die Gröÿeder Spannungen und deren Verteilungin einem stabartigen

Bauteilhängt dannnichtallein vonder Belastung(Schnittgröÿen)und Bau-

teilquerschnitten ab. Vielmehr führen Einschnitte und Querschnittssprünge

(alsKerbenbezeichnet)andiesenStellenzuwesentlichenVeränderungendes

Spannungszustandes,diemanunterdemBegriKerbwirkungzusammenfaÿt.

Sie verursachen mehrachsige Spannungszustände mit groÿen örtliche Span-

nungserhöhungen.Abb.2.4zeigtdieVerhältnisseamklassischenKerbfalldes

gelochten Zugstabs bei elastischem Werkstoverhalten. Die höchsten Span-

nungen tretenam Lochrand imlochgeschwächten Querschnitt auf.

DieexakteFeststellungdestatsächlichenSpannungszustands inderKerbeist

inder Regelnurdurchaufwendigetheoretische oderexperimentelleUntersu-

chungenmöglich.ZurquantitativenBeschreibungderelastischenSpannungs-

erhöhung dient die Formzahl =

max

=

n

> 1 als Verhältnis der örtlich

gröÿtenHauptspannungzurNennspannung

n

.Dasbedeutet,daÿdiesegröÿ-

teHauptspannung weder inder fürder Ermittlungder maÿgebendenFläche

F

σ σ ^(x)

max

F

c c

σ _n = F / (2ct) σ _max / σ _n α =

Dicke t d=2r

Abbildung2.4: ZugstabmitLoch

sind für verschiedene Augenstabformen und Beanspruchungsarten in dieser

Arbeit ermitteltworden.

Sichtung der vorhandenen

Literatur

3.1 Chronologische Entwicklung des Wissen-

standes

ÜberlegungenzumTragverhaltenvonstählernenAugenstäben wurdengegen

Ende des neunzehnten Jahrhunderts mit den Arbeiten von Cooper [14],

Beke[3], C.S.Smith[57],Lindenthal[39], Bohny [8],Mathar[40] ein-

geleitet.CooperhattebeimBauderSt.LouisBridgeimJahr1872Traglast-

versuche von Augenstäben durchgeführt. Die grundlegende Arbeit zur An-

wendung von Augenstab-Bolzen-Verbindungen erschien 1906 von Cooper

[14] mit dem Titel New facts about eye-bars. Cooper hat die folgende

Empfehlunggegeben (Form (b) vonAbb. 2.1):

d

b

=1;

c

b

=0;5;

a

b

=0;75 (3.1)

d=bkannkeinsinnvollerParametersein,dadauchvonderStützweiteundFe-

stigkeit des Bolzens abhängt: d kann bei groÿer Bolzenstützweite groÿ sein,

unabhängig von c. Abb. 3.1 zeigt Empfehlungen, die im europäischen und

amerikanischen Brückenbau verwertet wurden, sowie die Werte einiger aus-

geführterBrücken. Die Empfehlungen können nurfür eine bestimmteWerk-

stopaarunggelten.SieentstandenausderBedingung,daÿdasAugedieselbe

Tragfähigkeitwie der Stabquerschnitt haben sollte.

C.S.Smith[57] folgteCoopersGedanken. Erschlug vor,dieWangenbreite

cnichtnurvonder Augenstabbreiteb,sondernauchvomBolzendurchmesser

dabhängigzumachen.1913griLindenthal[39] diesenVorschlagaufund

Abbildung 3.1: Abmessungsverhältnisse von Augenstab-Bolzen-

Verbindungen nach Empfehlungen, Vorschriften und ausgeführten Brücken

nachSchaper [51]

tionenim Bolzenaugehat.

Beke[3]hatLindenthalsUntersuchungenbestätigt.DerEinuÿeinesspe-

zischen höherenLochleibungsdrucksdurchdasBolzenspielzwischenBolzen

und Auageäche auf das Deformationsverfahren des Auges wurde aufge-

zeigt. Bohny [8] hat wie Cooper eine nicht sinnvolle Beziehung zwischen

Bolzendurchmesser und Augenstabbreite vorgeschlagen (sieheAbb. 3.2b)):

d= b

2

(3.2)

Gröÿere Klarheit ergaben die versuchsmäÿigen Spannungsermittlungen von

Mathar [40]. Die Ergebnisse der Untersuchungen haben gezeigt, daÿ die

Passung zwischen Bohrung und Bolzen einenentscheidenden Einuÿ aufdie

Spannungsverteilung ausübt. Abb. 3.3 zeigt die von ihm gefundenen Er-

gebnisse an drei Augenstabformen im Wangen- bzw. Kopfquerschnitt, je-

weilsohne und mitBolzenspiel. Diese Spannungsverteilungen gelten imela-

stischen Bereich. Anhand der dort eingezeichneten Spannungsverläufe über

die Wangenbreite ist zu ersehen, daÿ die Stabform in Abb. 3.3 a) die gün-

stigste der drei gewählten darstellt. Sie weist bei gleicher Belastung die ge-

ringsten Spannungen auf. Die Ergebnisse lassen erkennen, daÿ die in der

Wangen vom Bolzen weiter entfernt liegenden Stabteile an der Kraftüber-

tragung nur wenig teilnehmen und nur die innere Hälfte der Wangenbreite

hochbeanspruchtist.HatdieKopfhöhediegleicheAbmessung wiedieWan-

genbreite, so treten im Scheitelquerschnitt nur Zugbeanspruchungen auf (s.

Abb. 3.3 b) und c)). Wird die Kopfhöhe dagegen stark überhöht, so wech-

selt der

x

-Spannungsverlauf über die Kopfhöhe vom Zug in dem Druckbe-

reich. Die über die Kopfhöhe vorgefundenen

x

-Spannungsverteilungen bei

1 mm Spiel weisen auf die nun zusätzlich auftretende Biegung hin, und

Abbildung 3.2: Bolzenverbindungen nachBohny [8]

y

-Spannungsverteilung hat, läÿt sich ebenfalls aus Abb. 3.3 ersehen. Wird

eine Absenkung der Zugspannung imWangenquerschnitt schon durch einen

sichallmählichverjüngendenÜbergangvomAugezumSchafterreicht(Form

3.3c)zuForm3.3b)),soreduziertsichdieaufgetreteneZugspannungsspitze

noch einmalbeiVergröÿerungder Kopfhöhe (Form 3.3b)zu Form 3.3a)).

VonWinkler[68] stammtfürdieAugenstabformAbb. 2.1(b) dieEmpfeh-

lung:

a= b

2 +

2

3

d; c= b

2 +

1

3

d (3.3)

DieEmpfehlungvonWinklerwurdespätervonSchaper[51]aufgegrien

undgelangteaufdiesemWege alsKonstruktionsanweisungindieRegelwerke

DIN 4131 [20], DIN4133 [21] und DIN 18800Teil 1 [17].

DieinAbb.3.4dargestelltenAugenstabbemessungenderForm(b)nachAbb.

2.1 sind von Schaper zusammengestellt; der nach Bedingung (3.3) ausge-

bildete Augenstab (nach Winkler) stellt praktisch die Umhüllende aller

übrigendargestellten Augenstäbe dar.

Weitere Verfahren zur Ermittlung der maximalen Zugspannung in den Au-

genstäben, dieauch eine Kopfhöhenvergröÿerung erfassen, nden sich unter

[49],[64]und[27].DieUntersuchungsergebnisse zumEinuÿdesBolzenspiels

bei [32] und [52] ergeben folgende Aussagen:

Abbildung3.3:AugenstabformenmitDarstellungdes

y

-Spannungsverlaufes

überdieWangenbreiteunddes

x

-SpannungsverlaufesüberdieKopfhöhefür

eingepaÿte Bolzen und für 1 mmSpiel des Bolzens bei einer Belastung von

12000kg nach Mathar [40]

dieZugspannungsspitze an, der Kontaktwinkel(Breite der Kontaktä-

che in Umfangsrichtung des Bolzens) zwischen Bolzen und Bohrungs-

rand wird kleiner

BeispielbehaftetenBolzen wird dieDierenz der maximalenZugspan-

nung zu der beieingepaÿten Bolzen mitsteigender Last kleiner

DasProblemder Spannungsverteilungineinerunendlichausgedehnten dün-

nen Scheibe, die durch eine Bolzenkraft in ihrer Ebene beansprucht wird,

kann mit der Elastizitätstheorie streng gelöst werden. Die Lösung wurde

von Sonntag[58] für verschiedene Lochleibungsdrücke angegeben. Experi-

mentelle Untersuchungen haben Rühl [50], Hennig [31] und Jessop [35]

durchgeführt. Seeger [54] hat die Krafteinleitung in dünne Scheiben über

Bolzen und Scheibenlöcher berechnet und dazu Experimentedurchgeführt.

In neueren spannungsoptischen Untersuchungen vonSeeger [54] wurdedie

Abhängigkeit des Spannungszustandes in der Umgebung des Loches vom

Lochdurchmesser, Bolzenspiel und Wangenbreitebestimmt.

Abbildung3.4:Verschiedene Augenstabbemessungen aundcfürgleiche Ab-

messungen b und d nach Schaper [51]: (A) Auge der Budapester Ketten-

brücke, (B) Auge nach Winkler, (C) nach Häseler, (D) nach Gerber,

(E)nach Pencoyd-Works, (F) nachBaltimore-Bridge-Comp

formsiehe Abb. 3.5) dieFormzahl

=3;4(c=a) 0;2

(c=d) 0;5

(3.4)

(gültig imBereich 0;8<c/a<1;1 und 0;6<c/d<1;3).Abb. 3.6a) zeigt

dienachdieser Formelberechneten Formzahlenmitden vonKuntzsch[37]

aus Dehnungsmessungen bestimmten Werten. Das Bolzenspiel2 % imAbb.

3.6 a) istauf den Bolzendurchmesser d bezogen.

Zur Frage der Ermüdungsfestigkeit von Augenstäben liegen mehrere Unter-

suchungenmitmaschinenbaulicher Orientierungvor ([29]und[32]).Die Ver-

suche zeigen, daÿ die Ermüdungsfestigkeit vom Kerbspannungszustand im

Wangenbereichund vomSchädigungsgrad durchReibkorrosion inden Flan-

kenbereichen des Loches abhängig ist.

VonKuntzschwurde gezeigt,daÿ dieErmüdungdurchReibkorrosionaus-

gelöst wird: Durch diegegenseitige Verschiebung (Reibung) vonBolzen und

Lochwandung wird ständig Material abgetragen und in Form von Oxiden

abgelagert (Abb. 3.6b) und c)).

Verschiedene inderIngenieurpraxisangewandeVerfahrenfürdieBerechnung

der Augenstäbe sind von Beke/Bleich, Reiÿner & Strauch, Poócza

und Reidelbach entwickeltworden, die inAbschnitt 3.2erläutert werden.

Abbildung 3.5: Typische Spannungsverteilung nach spannungsoptische Ver-

suche vonFrocht

Abbildung3.6: Ergebnisse nach Kuntzsch und Frocht

3.2 Analytische Verfahren

Verfahren nach Beke [3]/Bleich [7]

Annahmen für dieBerechnung:

Der Augenbereich des Stabes wird durch einen Kreisringals ein stark

gekrümmter Stab mitkonstantem Querschnitt simuliert

Die Belastung des Kreisringes erfolgt durch gleichmäÿigverteilte Zug-

spannungen überdie Breitedes Schaft-Querschnittes

Der Kreisringistspielfrei am Innenrand gelagert.

DiezugehörigenLochleibungsspannungensind radialgerichtetund fol-

gen einer Cosinus-Verteilung(s.Abb. 3.7)

Die durch dieVoraussetzung, daÿ keinSpiel vorhanden ist,bedingte Verfor-

mungsbehinderungamInnenranddesAugesbleibtunberücksichtigt.Mitden

angegebenenFormelnlassensichfürbeliebigeSchnitteüberden Umfangdes

Ringes dieSchnittgröÿen und Spannungen berechnen.

Abbildung 3.7: Belastungsmodell zur Augenstabberechnung nach Be-

ke/Bleich

Die im Augenstab im Punkt 1 der Wange (Abb. 3.8) auftretende maximale

Abbildung3.8: FormzahldiagrammnachBeke/Bleich

max

= F

2ct

(3.5)

Dienach [7]ermitteltenFormzahlen sind inAbb. 3.8in Abhängigkeitvon

dem Radienverhältnis r=R mit den Kurvenparameter (Stabbreite) darge-

stellt. Die Dickevom Augenstab istt.

Wie das Diagramm Abb. 3.8 zeigt, liegen die Formzahlen für den prak-

tisch relevanten Bereich 0,3 < r=R < 0,5 für = 90 Æ

zwischen 3,4 und

3,7. DerVergleichmitden Ergebnissendieser Arbeit(Abb. 5.20)ergibtdort

für r=R =0,3 entsprechend g =0,54 (bei einer Nennspannung 50 N=mm 2

und ein Bolzenspiel von 0,1 mm ohne Reibungseinuÿ) den Wert =4,4;

für r=R =0,5 entsprechend g =0,33 den Wert =3,6; die Abweichungen

betragen23%bezw. 3%, dochmitgegenläugerTendenz, sodaÿ die Form-

zahlennachBeke/Bleichauÿerhalb diesesBereichunbrauchbar werden.

Das liegt an der Idealisierung als Stab, der einerseits den Lastabtrag durch

Seilwirkung (r=R > 0,5) nicht berücksichtigt, zum anderen für r=R < 0,3

die beim Stab vorausgesetzt Bernoullische Annahme des Ebenbleibens der

Querschnitte immerweniger zutreend ist.

Verfahren nach Reissner & Strauch[47]

Abbildung3.9: Belastungsmodellzur Augenstabberechnung nach Reiÿner

dellseiner Ringscheibe,derenInnen-und Auÿenrandjeweilsentgegengesetzt

miteiner Cosinus-Verteilung radial belastet wird. Die Lösung der partiellen

Dierentialgleichung (Scheibengleichung) erfolgte mit Hilfe von trigonome-

trischen Reihen fürdie Verschiebungen.

Der Bolzen sitzt spielfrei in der Bohrung. Die Verformungsbehinderung des

Auges durch den Bolzen wird in der Weise berücksichtigt, daÿ die zunächst

erfolgtefreieVerformungderInnenseite derRingscheibedurchÜberlagerung

miteinemEigenspannungszustand zur ursprünglichen Kreisformrückgängig

gemacht wird. Die Spannungspitze in der Wange ergibtsich zu:

max

=

Æ

8F

2

Rt

(3.6)

Hierin ist

Æ

= 4;21+0;045, wobei = R =r ist. Aus Gleichung (3.7)

ergibt dieFormzahl zu

=

max

=

n

=

Æ

16

2

1 r

R

: (3.7)

EinvorhandenesBolzenspielkannannähernddadurchberücksichtigtwerden,

daÿman denüberlagertenEigenspannungszustandentsprechendverkleinert.

Dies Verfahren gilt nur für die Augenstabform nach Abb. 2.1 (b) ohne eine

Kopfhöhenvergröÿerung. Für r=R =0,3 entsprechend = 3;33 wird nach

Gleichung (3.7) =4;95 (4,4 nach Abb. 5.20) und für r=R = 0;5 entspre-

chend =2;0ergibt sich=3;49(3,6 nachAbb. 5.20).Für r=R =0;3er-

Beke/Bleich, aber nur 15,1 % gröÿer als nach Abb. 5.20, für r=R = 0;5

eine um 8,9 % kleinere Formzahl gegenüber Beke/Bleich, gegenüber den

eigenenErgebnissen nach Abb. 5.20 einen um 9,1% gröÿeren Wert.

DieaufdiesemanalytischenWegermitteltenmaximalenZugspannungenlie-

fernfürR=1eineguteÜbereinstimmungderErgebnissemitderunendlich

ausgedehnteScheibemitLochdieauchvonBickley[4]untersucht wurde

und mit den experimentellen Ergebnissen vonCoker [11] [12].

Verfahren nach Poócza [45]

Annahmen für dieBerechnung:

DerAugenstab der Form (b) mitKopfhöhenvergröÿerung e nach Abb.

2.1 (b) wird durch einen gekrümmten Stab mit veränderlicher Quer-

schnittshöhe ersetzt

DieZugkraft imSchaftwirkt alsEinzellastgegenüberdieanderen Un-

tersuchungen mitStreckenlasten (s.Abb. 3.10)

DieLochleibungskraftwird inFormvonzwei axialgerichteten Kräften

angesetzt. Ihre Lage ist durch den Winkel festgelegt. Für die Form-

zahlenmüsseninAbhängigkeitdesBolzenspielesAnnahmengetreen

werden. Die Lösung vereinfacht sich , wenn die Kräfte F=2 bei einem

Winkel von 75 Æ

angreifen.

DieLage der Schwerpunktlinie des gekrümmten Stabeswird nur näherungs-

weise bestimmt.Dadurch können auch dieQuerschnittswerte nur Näherun-

gen sein. Die unter diesen Annahmen ermitteltenFormzahlen für diema-

ximaleZugspannung amPunkt A (s.Gl. (3.5))sind in Abb. 3.11 in Abhän-

gigkeitvon(R r)=(R+r)und derScheitelüberhöhung=1+e=(R+r)als

Parameter angegeben.

Unberücksichtigt bleiben dieEinüsse vonBolzenspiel s und Schaftbreiteb.

DieNachrechnung eines VersuchsstabesdurchPoócza ergabgute Überein-

stimmung mitder Messung (Dehnungsmeÿstreifen).

Der Vergleichzwischen den Formzahlen von Beke/Bleich und Poócza

zeigt für den Bereich 0,3 r=R 0,5 entsprechend 0,54 g 0,33, daÿ

nach Poócza für e = 0 sich um 15 % gröÿere Werte als nach Be-

ke/Bleichergeben. DiegrundsätzlichenEinwändegegendasVerfahrenvon

Abbildung3.10: Belastungsmodellzur Augenstabberechnung nach Poócza

Abbildung3.11:FormzahleninAbhängigkeitvonGeometrieundderSchei-

telüberhöhung nachPoócza (Winkel =75 Æ

)

Verfahren nach Reidelbach [46]

Von Reidelbach wird die Berechnung wie bei Reissner/Strauch an einer

Kreisringscheibe durchgeführt, wobei der im Abb. 3.12 gezeigte Beanspru-

chungszustand aus Radial- und Schubspannungen besteht und mitHilfe der

ebenenElastizitätstheoriedieSpannungsverteilungund darausdieFormzahl

(Gl. 3.8und Abb. 3.13) bestimmt wird. Die maximale Zugspannung liegt

imPunkt A des Lochrandes (Abb. 3.10).

=

3(1 w)

2(1 w 2

) 2

1+3w 2

2w +

1+2w 2

2w 4

+5w 6

1+2w 2

!

(3.8)

mitw=r/R

Abbildung3.12: Belastungsmodell zur Augenstabberechnung nach Reidel-

bach

Abbildung 3.13: Formzahlen als Funktion des Radienverhältniss r=R bei

Gleitsitzdes Bolzens, Bolzenspiels =0 nachReidelbach

3.3 Numerische Verfahren

DieFinite-Element-Methodealsleistungsstarkesnumerisches Näherungsver-

fahren zur Lösungsndung einzusetzen, hat den groÿen Vorteil, daÿ prak-

tisch alle Randbedingungen erfüllt werden können. In verschiedenen Arbei-

ten [15], [16], [5], [48], [30], [26], [23], [66] und [28] sind Augenstab-Bolzen-

Verbindungen mittels FEM untersucht worden. Hierbei wurde aber keine

UntersuchungüberdenEinuÿder Reibungdurchgeführt.Zweidimensionale

Modelle enthalten mehrere Vereinfachungen, die sich auf die darstellbaren

mechanischen Gröÿen auswirken können.

3.4 Normative Festlegungen

DerDDR-StandardTGL22838/04[63]galtfürLastaufnahmemitteldesBau-

wesens. Neben der Berechnung von Bolzen enthält dieser Standard für Au-

genstäbenachAbb. 3.14 einfache Dimensionierungsformeln.Dieangreifende

Kraftsetzt sichaus der angreifenden Nutzlast F sowie den Reiÿ-und Stoÿ-

kräften R und einem Massenkraftfaktor zusammen, die nach dem DDR-

Standard TGL 13473 [61] bestimmtwurden:

=0(axial wirkende Kraft):

c0;65

(1;0+ )(F +R )

zult

(3.9)

a 0;85

(1;0+ )(F +R )

zult

r (3.10)

>0(Schrägzug)

c=a1;0

(1;0+ )(F +R )

zult

1;6r (3.11)

Abbildung 3.14:Augenstabformen nachTGL 22838/04

DerDDR-StandardTGL19337[62](s.Abb.3.15)warfürdenMaschinenbau

entwickelt worden. Der -Wert (Formzahl)darf näherungsweise für alledrei

Formen A bis C aus = 3 2d=b+0;8(d=b) 2

bestimmt werden. Beide

Abbildung3.15: Augenstabformennach TGL 19337

DieStahlbau-NormenDIN4131 (03.69)und DIN4133(08.73)geben Anwei-

sungen mitdem Wortlaut: Bei Augenstäben, deren Lochränder planmäÿig

nicht unter der Klemmwirkung eines Verbindungsmittels stehen, sind die

maÿgeblichen Schnitte wie folgt zu bemessen, sofern nicht die 2,3-fache Si-

cherheit gegenBruch durch Versuche nachgewiesen wird (Bedingung(3.12)

und (3.13) mit Abb. 3.16). Die neue Grundnorm DIN 18800 Teil 1 (11.90)

enthält zwei alternative Bemessungsregeln (A, Abb. 3.16 und B, Abb. 3.17)

fürAugenstäbe.Die Bedingungen3.12 und 3.13für BemessungsregelA zum

Nachweis der Tragsicherheit sind die auf Schaper[51] zurückgehende DIN

4131/DIN 4133-Forderungen(Bezeichnungen nachAbb. 3.16).

agrenza=

F

2tf

y;k

=

M +

4

3

r (3.12)

cgrenzc=

F

2tf

y;k

=

M +

2

3

r (3.13)

Hierinist F dieauf den Augenstab entfallende Kraftim Bemessungslastfall

und f

y;k

der charakteristische Wert für dieStreckgrenze des Materials.

Die Bemessungsregel B der DIN 18800 Teil 1 (11.90) (s. Abb. 3.17) legt

dieAugenstababmessungenabhängigvomBolzenlochdurchmesse2rfest.Die

Dickedes Augenstabesundder Lochdurchmesser sind nachGleichung(3.14)

bzw. (3.15) zur ermitteln:

grenzt=0;7 s

F

f =

(3.14)

Abbildung3.16: Augenstababmessungen nachDIN 4131, DIN 4133und Be-

messungsregel A der DIN 18800 Teil1

grenz2r=2;5grenzt (3.15)

Die Bed. (3.12) und (3.13) bzw. die Gl. (3.14) und (3.15) gelten unter der

Voraussetzung, daÿ das Bolzenspiel s der Bed. (3.16)

0;1ds3mm (3.16)

eingehaltenist.

Der Eurocode 3 [24] (ENV1993-1-1) enthält für die Berechnung der Tragfä-

higkeit des Augenstabes im wesentlichen die gleichen Festlegungen wie die

DIN18800 Teil 1,jedochkeine Bedingungen für das Bolzenspiel.

Die Schweizer Norm SIA161 [55] besagt im Abschnitt 4.6.21, daÿ bei zug-

beanspruchten Teilen die Abmessungen von Augenstäben die in Abb. 3.18

eingezeichneten Vorgaben einhalten sollen.

DieBerechnungsmethode nachDIN19704[18]istfolgende:zurBerücksichti-

gungder ReibungbeiGelenkdrehung sinddieNennzugspannungen imWan-

genquerschnitt um den Faktor zu erhöhen. Es istdaher nachzuweisen, daÿ

die erhöhte Nennspannung

n

den Bemessungswert der Streckgrenze nicht

überschreitet.

n

= F

(2ct) f

y;k

=

M

(3.17)

Der Beiwert ist: = 1+2r=(R+r), t ist die Augenblechdicke, ist das

Reibungszahl.

Die Formzahl beträgt:

=2(1+ 2c

)(1

a c

) (3.18)

Abbildung 3.17: Augenstababmessungen nach Bemessungsregel B der DIN

18800 Teil1

Abbildung3.18: Gelenkige Verbindung nach NormSIA161(d=2r)

wobei c a 1;5c (s. Abb. 3.19). Das Bolzenspiel ist nicht gröÿer als das

der PassungB9=h8nachDIN 7155-1 [22].

Im DIN22261 Teil2 [19] sind folgendeFormelnfür den statischen Nachweis

aufgeführt:

1;4

n

R;d

(3.19)

= + (3.20)

Abbildung3.19: Augenstab, Kettenlasche, Augenblech nach DIN19704

nz

= F

2ct

(3.21)

n

=

8

(1+R =r)

nz

(3.22)

R;d

istdieBeanspruchbarkeitfürBauteile,

nz

istdieNennspannunginfolge

der Zugkraft F,

n

istdieNennspannung infolgeder Reibungsmomente.

Der Betriebsfestigkeitsnachweis ist für max =

n

zu führen, mit der

Formzahl nachfolgender Gleichung für Augenbleche nach Abb. 2.1ermit-

telt werden:

=

"

( R

r r

R )

1

1+Æ +2

#

1

q

1+ e

R

(3.23)

mit

R=r+c; e=a c; Æ= tan

4

R+r

R r

(3.24)

Gleichung (3.23) und (3.24) setzen ein maximales Bolzenspiel entsprechend

3.5 Zusammenfassung des jetzigen Kenntnis-

standes und Schluÿfolgerungen

Berechnungsansätze zur Bestimmung der gegebenen Spannungen sind aus

verschiedenen Veröentlichungenvorgestelltworden.BeimStudiumderhier-

für vorliegenden Berechnungsansätze istfestzustellen, daÿ siekritischen Be-

trachtungen häugnicht standhalten.

Es fehlen gesicherteAngaben. Diese Berechnungsverfahren basieren auf An-

nahmenüberden MechanismusderKraftübertragungzwischen Bohrungdes

Augenstabes und Bolzen. Erst wenn zuverlässige Angaben über die Kraft-

verteilung zwischen Bohrung und Bolzen zur Verfügung stehen, können die

vorhandenenRechenschemataerweitert undverbessert bzw.neue Dimensio-

nierungsverfahren entwickeltwerden.

DerkomplexeZusammenhangzwischen Tragverhalten undReibungistnoch

nicht klar. Es liegt derzeit noch keine gesicherte Grundlage zur Berechnung

des Einusses der Reibung aufdieAugenstab-Bolzen-Verbindung vor.

Endsprechenddenverschiedenen Berechnungsmodellenergeben sichsehrun-

terschiedliche Ergebnisse über den Spannungszustand in den Augenstab-

Bolzen-Verbindungen. Experimentelle Untersuchungen haben vor allem den

Nachteil, daÿdie Erfassung des Einusses der verschiedene Parameter einen

sehrhohenAufwanderfordern,auÿerdemlassensichdieSpannungenimKon-

taktbereich nicht messen.

Tabelle 3.1 zeigt den Vergleich verschiedene Formzahlen mit den eigenen

Ergebnissen Abb. 5.20 für Form Abb. 2.1 (a) mit e = 0, Bolzenspiel 0,1

mm; Nennspannung 50N=mm 2

, =0 oder =0;3 mitGelenkdrehung für

dieGrenzen des für dieIngenieurspraxis relevanten Bereiches r=R=0,3 und

r=R =0,5.

Alle betrachteten Verfahren bassieren auf zweidimensionalenModellen. Da-

mit ist nicht bekannt, welchen Einuÿ die Durchbiegung des Bolzens (Bol-

zenverformung) auf dieSpannungsverteilung imAugenstab hat.

r/R 0,3 0,5

Bleich/Beke ( =0) 3,4 3,7

Reissner &Strauch (=0) 4,95 3,49

Poócza (=0) 4,0 5,0

Reidelbach (=0) 3,94 3,50

Frocht (=0) 3,67 2,41

DIN 19704 (=0) 3,56 2,67

DIN 19704 (=0;3) 4,05 3,20

DIN 22261 (=0) 5,03 3,50

DIN 22261 (=0;3) 5,92 4,39

Guo (=0) 4,4 3,6

Guo (=0;3) 6,1 4,3

Tabelle3.1:Vergleichunterschiedlicher Rechenergebnisse Formzahlen , e=

0, r =31mm, s =0;1 mm,

n

=50 N=mm 2

, Augenstabform (a), Werte für

=0;3mitder Gelenkdrehung

Grundlagen des verwendeten

Berechnungsverfahrens

4.1 Grundlagen und Ansätze der Finite-

Elemente-Methode

Die Methode der niten Elemente(FEM) ist eine numerische Methode, um

physikalische Probleme mathematisch näherungsweise zu lösen. Der Erfolg

der FEM bei der Lösung statischer Problem ist der Grund dafür, daÿ diese

Methode heute invielen Anwendungsgebieten des Bauwesens verbreitet ist.

DasPrinzipderFEM ist,einKontinuuminendliche,genügenkleine Teilezu

zerlegen, deren Verhalten genau oder zumindest annähernd genau beschrie-

ben werden kann. Das ganze Problem besteht somit aus der Beschreibung

der einzelnen Elemente und der Kopplungsbedingungen,diedieRandbedin-

gungender einzelnen Elemente darstellen. Die Kopplungder Elemente wird

an vorgegebenen Kontaktpunkten (Knotenpunkten) der Elemente herge-

stellt.Diese Kopplungsbedingungen werdendurchdie Knotenpunktverschie-

bungen ausgedrückt. Die Aufgabe ist somit die Berechnung der unbekann-

ten Knotenpunktverschiebungen. Die Verschiebungen und die Verzerrungen

bzw. der Verlauf der Feldvariablen innerhalb eines Elements werden durch

Verwendung von elementspezischen Interpolationsfunktionen aus den Kno-

tenpunktverschiebungen approximiert. Unter Verwendung eines Stogeset-

zes, das die Verzerrungen und Spannungen verknüpft, kann der Spannungs-

Verzerrungs-Zustand innerhalb eines Elementes bestimmt werden. Die nu-

merische Auswertung wird zunächst auf Elementebene mit Hilfe der Glei-

chungen der Arbeitsprinzipien vorgenommen, die im allgemeinen als Inte-

gralausdrückegegebensind.DannwerdendieelementbezogenenGleichungen

die Lösung des entstehenden algebraischen Gleichungssystems erhält man

die Knotenpunktverschiebung der Gesamtstruktur, und damit können die

Verzerrungen und Spannungen elementweise aus den berechneten Verschie-

bungen bestimmtwerden.

Die Arbeiten von ARGYRIS & KELSEY [1] und TURNER &CLOUGH &

MARTIN & TOPP [65] gelten als erste Meilensteine in der Geschichte der

FEM. Die starke Verbreitung der Computer und deren enorm gesteigerte

Leistungsfähigkeithaben dieAnwendung derFEM praktischerst ermöglicht

und damit auch deren Weiterentwicklung. Es wurden die mathematischen

Formulierungenvervollständigtund dieEinsatzgebieteerweitert.Heute gibt

es eine groÿe Anzahl von FEM-Programmen, z.B. ABAQUS [42], bei de-

nen die Eingabe durch Preprozessoren vereinfacht wird und weit gefächerte

Auswertungsmöglichkeiten der Ergebnisse integriertwerden.

In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Elastizitätstheorie wiederge-

geben. Es wird ferner die FEM kurz beschrieben. Schlieÿlich wird das Kon-

taktproblem erklärt. Eine ausführliche Beschreibung der FEM sowie ihrer

zahlreichen mathematischen Formulierungen wird nicht gegeben. Es werden

nur die Grundgleichungen und einige ausgewählte Beziehungen dargestellt,

um einen kurzen ingenieurmäÿigenEinstieg indas Verfahren fürdie Lösung

baustatischer Probleme zu geben. Es gibt hierzu zahlreiche Veröentlichun-

gen, z.B. BATHE[2], ZIENKIEWICZ[70].

4.1.1 Grundbegrie der Elastizitätslehre

Das Problem der statischen Kontakte in der Augenstab-Bolzen-Verbindung

wirdindieserArbeitgemäÿihrerZielsetzungnur fürelastischen Verformun-

genbehandelt,obwohldieFEMauchfürnichtlineareStogesetzeanwendbar

ist. Grundlage ist somit die Elastizitätstheorie. Im folgenden werden einige

Grundbegrie der Elastizitätstheorie kurz erläutert (s.Abb. 4.1):

Geometrische Gröÿen (Verformungsgröÿen): Zu den geometrischen

Gröÿen gehören Verschiebungen und Verzerrungen. In einem dreidi-

mensionalen Raum hat der Verschiebungsvektor die Komponenten u

i

(i=x;y;z) inx-, y-, z-Richtung. Die Verzerrungskomponenten sind:

"

i

=

@u

i

@x

i

ij

=

@u

i

@x

j +

@u

j

@x

i

i;j =x;y;z

Statische-dynamischeGröÿen(Kraftgröÿen):JedesElementweistsechs

Freiheitsgradeder Verschiebungenauf,dreiTranslationenunddreiRo-

tationen. Führt man diese zurück auf den allgemeinen Spannungszu-

x y

z

σ τ τ τ τ

σ

σ τ

τ y

yz

yx x

xy xz

z

zy zx

0

Abbildung4.1:Normal-undSchubspannungenaneinemwürfelförmigenKör-

perelement

x

;

y

;

z

;

xy

=

yx

;

xz

=

zx

;

yz

=

zy

;die den Spannungszustand be-

schreiben. Der dazu gehörende Spannungstensor S hat folgendes Aus-

sehen:

S = 0

B

@

x

yx

zx

xy

y

zy

xz

yz

z 1

C

A (4.1)

Den Spannungen entsprechend wird der Verformungszustand (Defor-

mationszustand) durch sechsVerzerrungskomponenten "

x

;"

y

;"

z

;

xy

=

yx

;

xz

=

zx

;

yz

=

zy

des Verzerrungsmatrix T beschrieben:

T = 0

B

@

"

x

yx

zx

xy

"

y

zy

xz

yz

"

z 1

C

A (4.2)

Das HOOKEsche Gesetz stellt eine lineare Beziehung zwischen Spannungen

und Verformungendar:

x

= E

("

x +

") (4.3)

y

= E

1+ ("

y +

1 2

") (4.4)

z

= E

1+ ("

z +

1 2

") (4.5)

xy

=

E

2(1+)

xy

=G

xy

(4.6)

xz

=

E

2(1+)

xz

=G

xz

(4.7)

yz

=

E

2(1+)

yz

=G

yz

(4.8)

wobei"="

x +"

y +"

z

dieVolumendilatationist.InMatrixschreibweise lautet

der Ansatz:

0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

x

y

z

xy

yz

zx 1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

= E

2(1+) 0

B

B

B

B

B

B

B

B

@ 2(1+

1 2 )

2

1 2

2

1 2

0 0 0

2

1 2

2(1+

1 2 )

2

1 2

0 0 0

2

1 2

2

1 2

2(1+

1 2

) 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A 0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

"

x

"

y

"

z

xy

yz

zx 1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(4.9)

Eine Zurückführung des dreidimensionalen Modelles in ein zwei-

dimensionalesModellreduziertdennumerischenAufwand erheblich.Beiden

ebenenProblemenistzu unterscheiden,obdieQuerdehnungensenkrechtzur

Ebene ungehindert auftreten (ebener Spannungszustand) oder nicht auftre-

ten können (ebener Verformungszustand). Die HOOKEsche Gesetze für die

ebenenProblemelassensichleichtausdenenfürdenallgemeinenSpannungs-

zustand herleiten.

4.1.2 Numerische Modellierung mit der FEM

Es gibt zahlreiche FEM-Verfahren, um mechanische und physikalische Pro-

bleme zu lösen. Geeignete Grundlagen für dieFEM sind dieVariationsprin-

zipien.LANCZOS [38]und ODEN&REDDY [44]haben dieVariationsprin-

zipien in der Mechanik beschrieben. Ein oft für die Formulierung der FEM

angewandtes Prinzip ist das Prinzip der virtuellen Arbeit. Wir beschränken

unshier aufphysikalischlineareProblemederElastizitätstheorie,dieeinzige

Nichtlinearitätbesteht inder Ausbildung des Kontaktes.

Prinzipder virtuellenArbeit:

Hier werden das Prinzip der virtuellen Verschiebungen und das Prinzip der

schiebungen isteine Energiebilanz.BeimPrinzipder virtuellenVerschiebun-

gen wird für einen sich im Gleichgewicht bendenden Körper ein Verschie-

bungsfeldÆ

u

eingeführt, dasein gedachter, dierentieller,imInnerenund an

den Rändern kinematisch verträglicher Verschiebungszustand ist. Die dabei

entstandene Arbeit der innerenund der äuÿeren Kräfte ist gleich.

Z

V Æ"

T

dV Z

V Æu

T

P

V dV

Z

A Æu

T

P

A dA

X

i Æu

T

i F

i

=0 (4.10)

Diese Aussage ist den Gleichgewichtsbedingungen äquivalent. Hierinsind

die inneren Spannungen, P

V

die Volumenkräfte, P

A

die Oberächenkräfte

und F

i

die Einzelkräfte. Aus dieser Gleichung kann man einerseits eine Dif-

ferentialgleichung herleiten, andererseits dieNäherungslösung z.B. mit Hilfe

der FEM ermitteln.Zum Lösen des Problemsmitder FEM wirdder Körper

zuerstinElementeaufgeteilt.DieAuswahlder Elementtypen muÿdemPro-

blem und der Geometrie angepaÿt sein. Auÿerdem sind die Elementeanzahl

sowie Elementedichte für die Genauigkeit der Berechnung von entscheiden-

der Bedeutung. Die verschiedenen Elementtypen sind in der am Anfangdes

Kapitelserwähnten Literaturbeschrieben.

DasPrinzipdervirtuellenArbeitgiltalsGleichgewichtsprinzipfürjedenTeil-

körperundwirddaheraufdieeinzelnenElementeübertragen. DieGleichung

lautet fürdiese

ÆW

e

= Z

Ve Æ"

T

dV Z

Ve Æu

T

P

V dV

Z

Ae Æu

T

P

A dA

X

i Æu

T

ie F

ie

=0 (4.11)

und damit für das Gesamtsystem

ÆW = X

e ÆW

e

= X

e f

Z

Ve Æ"

T

dV Z

V Æu

T

P

V dV

Z

Ae Æu

T

P

A dA

X

i Æu

T

ie F

ie g=0

(4.12)

Setzt man das HOOKEsche Gesetz und die Ansatzfunktionen für die Ver-

schiebungenimInnerendesElementeseinundformtman dieGleichungum,

dann bekommt man für dieeinzelnen Elemente:

ÆW

e

=Ær T

e fK

e r

e F

Ve F

Ae F

Ee

g=0 (4.13)

wobeiK

e

dieSteigkeitsmatrix(aus Gl.4.9),F

Ve

dieVolumenkraft,F

Ae die

Oberächenkraft und F dieSumme der einzelnen äuÿeren Kräfte sind.

DieAnsatzfunktionenr

e

sindeinwesentlicher Bestandteilder FEM.Siewer-

den entweder mit dem Ritzschen Ansatz ermitteltoder durch die Galerkin-

Methode gewonnen. Diegenauen Beschreibungen der beidenMethoden sind

aus der Arbeitvon RITZsowie zahlreichen Lehrbüchern zu entnehmen.

Für den Gesamtkörpergiltentsprechend:

ÆW = X

e Ær

T

e fK

e r

e F

Ve F

Ae F

Ee

g=0 (4.14)

Die lokalen Koordinaten r

e

haben eine lineare Beziehung zu den globalen

Koordinaten q:

r

e

=T

oe

q (4.15)

Daraus folgt:

ÆW =Æq T

f X

e T

T

oe K

e T

oe q

X

e T

T

oe F

Ve X

e T

T

oe F

Ae X

e T

T

oe F

Ee

g=0 (4.16)

Deniert man:

K = X

e T

T

oe K

e T

oe

(4.17)

als Gesamtsteigkeitsmatrix, hat man dann:

Kq=Q

V +Q

A +Q

E

=Q (4.18)

wobeiq derVektorderglobalenVerschiebung,Q

V

derglobaleVolumenkraft-

vektor, Q

A

der globale Oberächenkraftvektor, Q

E

der globale Einzelkraft-

vektor sowie Q der Vektor der globalen Kräfte ist. Nun liegt ein lineares

Gleichungssystem vor, dessen Lösung je nach Freiheitsgrad der Diskretisie-

rung hohen rechentechnischen Aufwand in Form von Speicherkapazität und

Rechenzeiterfordert.Essind programmiertechnische Problemezu lösen. Als

Ergebnis liegt die Verschiebungsspalte q vor, die man in Spannungen um-

rechnen kann.

4.2 Kontaktmodellierung

4.2.1 Allgemeines

Kontakt ist ein häug vorkommendes Phänomen. Überall, wo Körper oder

Kinematik Materialgesetz Reibung Belastungsform 1. statisch 1. elastisch 1. mit Reibung 1. reiner Druck

2. dynamisch 2. viskoelastisch 2. ohne Reibung 2. gleichmäßiges Gleiten 3. plastisch 3. Rotation + Druck 4. Translation + Druck

5. gleichmäßiges Rollen 6. gemischter Kontakt 7. Stoß

Abbildung4.2: Kontaktprobleme

statische Kontaktezwischenelastischen isotropenMaterialien(Stahl)behan-

delt, wobei nurCOULOMBsche Reibungberücksichtigt wird.

Eshandelt sichhier trotz des linearenMaterialverhaltens um einnichtlinea-

res Problem, weil sich ein Gleichgewicht an den Kontaktstellen erst durch

Verformender Oberächen imKontaktbereich einstellen kann.

Als erster hat HERTZ [33] das Kontaktproblem zwischen Körpern mitHilfe

der Potentialtheorie des elastischen Halbraumes behandelt. KALKAR [36]

hat die Kontaktprobleme klassiziert und die bis dahin bekannten Arbei-

ten überKontaktprobleme angegeben. Einetheoretische Arbeitneuerer Zeit

stammt von BISCHOFF [6]. Darin wurde das Kontaktproblem des quasi-

statischen Kontaktes elastischer bzw. elastoplastischer Körperunter Berück-

sichtigung von Reibung mitHilfe von Extremalprinzipien behandelt. Einige

Rechenalgorithmen wurden getestet.

Die analytische Lösung des Kontaktproblems (s. Abb. 4.2) ist nur für spe-

zielle Fälle, wie z.B. das HERTZsche Problem, möglich, so daÿ i.a. nume-

rische Methoden eingesetzt werden. Für die numerische Lösung bietet sich

die FEM an. Der groÿe numerische Aufwand ist durch die rasche Entwick-

lung der Rechnerkapazität heute kein Problem. Eine der ersten Arbeiten in

diesem Bereich wurde Anfang der 70-er Jahre von CHAN & TUBA [9]ver-

öentlicht. Dabei wurden die Körper freigeschnitten und die Kontaktkräfte

mitHilfedes LAGRANGEschen Befreiungsprinzipesunter Berücksichtigung

der Nebenbedingungen imKontaktbereich berechnet. Diese Methode wurde

auchvonFRANCAVILLE &ZIENKIEWCZ [25] benutzt. WRIGGERS[69]

hatsieweiterentwickeltundineinvorhandenesFE-Programmintegriert.Die

KontaktrechnungmiteinemOptimierungsverfahrenhabenNGUYENDANG

HUNG & GERY DE SAXE [41] durchgeführt. WILSON & PARSONS [67]

haben die Methode der dierentiellen Verschiebungen eingesetzt, um rota-

Penalty-Methode zur Lösung von Variationsproblemen,darunter auch Kon-

taktproblemen,untersucht. COMPOS&ODEN&KIKUCHI [13]haben die

Penalty-Methodeweiterentwickelt, wobeidieReibungberücksichtigtwurde.

EinederPenalty-MethodeähnlicheMethodeistdievonSTADTER&WEISS

[59] ineinvorhandenes FE-ProgrammeingebauteGap-Elemente-Methode.

Diese Methode wurde auch zur Lösung von Kontaktproblemen in das FE-

ProgrammNASTRANeingebunden. Einsehr eektiverAlgorithmuszurLö-

sung der Kontaktproblemeist dieMethode der LAGRANGEschen Multipli-

katoren.HUGHES &TAYLOR[34] u.a haben dieMethode fürKontaktpro-

blemeohneReibungformuliertundeinigeBeispieleberechnet.WeitereArbei-

tenmitLAGRANGEscher FormulierungwurdenvonSTEIN&WRIGGERS

[60]sowieSIMO&WRIGGERS&TAYLOR[56]ausgeführt.CHAUDHARY

& BATHE [10] haben die LAGRANGE-Multiplikatoren-Methode im Sinne

derFEMdiskretisiert,unddabeisowohldieHaftreibungalsauchdieGleitrei-

bungberücksichtigt. DieseMethode istindemhierzur Verfügungstehenden

FE-ProgrammABAQUS implementiert.

4.2.2 Das verwendete Programmsystem

Für dievorliegende Arbeit waren umfangreiche numerische Untersuchungen

der zwei- und dreidimensionalen Spannungs- und Verformungszustände, die

beimAugenstabunterZug-undDrehbelastungenauftreten,erforderlich.Für

dieseBerechnungen wurdedas ProgrammsystemABAQUS, Version5.6, das

aufderRechenanlageHP-Cluster(HP9000/755/735)desRRZN(Regionales

Rechenzentrum fürNiedersachsen/UniversitätHannover) installiertist,her-

angezogen.Das Programmsystem ABAQUS wurdevonder FIRMA H,K &

S(HIBBIT,KARLSSON ANDSTÖRENSEN)entwickelt. Eine ausführliche

Beschreibungdes ProgrammsystemsndetsichinderzitiertenLiteratur[42]

und inweiteren zahlreichen Veröentlichungen.

Im Programmsystem ABAQUS stehen verschiedene Prozeduren zur Verfü-

gung, die je nach dem zu lösenden Problem angewendet werden können;

weiterhin können sowohl lineare als auch nichtlineare Probleme behandelt

werden. Esgibt drei Arten von Nichtlinearitäten:

Nichtlineare Randbedingungen: Der Übergang vom Kontinuum zum

Diskontinuum, d.h. Kontakt und Reibung zwischen dem Augenstab

und dem Bolzen, verursacht nichtlineareRandbedingungen.

Materialbedingte bzw. physikalische Nichtlinearität: Diese entsteht

durch nichtlineare Beziehungen zwischen Spannungen und Verzerrun-

Geometrische Nichtlinearität: Diese ergibt sich aus dem nichtlinea-

renZusammenhangzwischenVerschiebungenund Verzerrungen (groÿe

Verformungen).

Mit ABAQUS werden hauptsächlich Aufgaben aus dem nichtlinearen Ge-

biet der Strukturmechanik im zwei- und dreidimensionalen Raum behan-

delt. Das Programm ABAQUS ndet eine groÿe Verbreitung aufgrund der

Vielseitigkeitund Unabhängigkeitder Element-und Materialbibliothek,den

groÿen Fähigkeiten bei nichtlinearen Analyseformen, der Vielfältigkeit bei

der Modellierung von Kontaktproblemen sowie der Integrationsmöglichkeit

von Benutzerroutinen. ABAQUS verwendet je nach Problem eines der drei

Verfahren(s. Anhang A):

Newton-Raphson bei starknichtlinearenProblemen

Modizierter Newton-Raphson mitgelegentlichem Matrix-Update

Bei groÿen Systemen und wenn die Matrix sich nur wenig ändert von

Iteration zu Iteration, kann die BFGS-Methode (Broyden-Fletcher-

Goldfarb-Shanno)praktischer sein alsdieNewton-Methode.

Vergleich der Vor- und Nachteile dieser Verfahren:

Newton-Raphson:

Vorteil: Schnelle Konvergenz

Nachteil: Nach jeder Iteration muÿ eine neue Steigkeitsmatrix

gebildetwerden. DieSteigkeitsmatrixkann beibestimmten Ma-

terialeigenschaften unsymmetrisch werden.

Modizierter Newton-Raphson:

Vorteil:EsmuÿnureinmaldieSteigkeitsmatrixgebildetwerden.

Nachteil:Langsamere Konvergenz.

Quasi-Newton:

Vorteil: SchnellereKonvergenz, erhältdie Matrixsymmetrie

Nachteil: Unter Umständen gröÿerer Rechenaufwand. In

ABAQUS wird zur Aktualisierung der Matrix der BFGS-

Bei statischen linearen Problemen wird die Lösung in einem Zeitschritt ite-

riert. Bei nichtlinearen Problemen (z.B. Kontaktproblem) wird die Last in

Inkremente aufgeteilt, wobei jedes Inkrement ein Zeitschritt bedeutet. Al-

so auch statische Lasten werden in einem Zeitintervall aufgebracht. Jeder

Zeitschritt wird iteriert, wobei die Gröÿe des Inkrements von ABAQUS so

gesteuertwird,daÿdieLösunginnerhalbeinervorgegebenenIterationsanzahl

konvergiert.

Bei den Iterationsverfahren muÿ für jeden Iterationsschritt die System-

Matrix aufgestellt und das Gleichungssystem gelöst werden. Dies geschieht

meist inzwei Schritten:

AufbauderGesamtsteigkeitsmatrixausdenElementsteigkeitsmatri-

zen (Assemblierung)

Lösen des Gleichungssystems; häug verwendete Algorithmen sind:

Gauÿsches Eliminationsverfahren(direktes Verfahren)

Iterative Verfahren.

ABAQUSverwendetdiesogenannteWavefront-Methode (s.AnhangB).Das

Programmenthält einenOptimierer,der dieMatrizensoumsortiert, daÿein

minimalerAufwand zur Lösungdieser Gleichungssysteme entsteht.

Für die Erstellung aller indieser Arbeit verwendeten geometrischen Model-

le (Netzgenerierung, Randbedingungen, u.a.) wurde das System PATRAN

[43], Version 1.6-3, verwendet. PATRAN basiertauf einer einfachenTechnik

derGeometriedatenerstellungunderweitertdieMöglichkeitenderVisualisie-

rungund Animationzur Präsentation undAufbereitung der FE-Ergebnisse.

DasProgrammPATRAN isteininteraktivesProgrammsystemfür das rech-

nerunterstützte Entwerfen beliebiger Konstruktionsmodelle. Es handelt sich

umeinenmenügesteuertenPreprozessor,derzahlreicheInterface-Programme

zumDatenaustausch zwischen CAD-Entwurfs- undFE-Analyseprogrammen

zur Verfügungstellt und auchzur Präsentation von FE-Ausgabeergebnissen

einsetzbar ist.

4.2.3 Kontaktanalyse in der FEM

Wenn beieinemRechenmodellDiskontinuitäten(radial) vorhanden sind, an

denen sich zwei Oberächen gegeneinander verschieben können, so spricht

manvonKontaktinteraktion.Daheristesnotwendig,denKontaktimSystem

Augenstab-Bolzen durch ein geeignetes Modell abzubilden. An ein solches

DerKontaktzwischenAugenstabundBolzenmuÿerkanntwerden,eine

mögliche Durchdringung der Körperdarf nicht stattnden.

DasVerhalten ander Grenzäche muÿjeweilsfürdieZustände Haften

und Gleiten realitätsnahabgebildet werden (Kontaktinteraktion).

DasModellmuÿdieaprioriunbekanntenKontaktspannungen,nämlich

dieKontaktnormalspannungen und die-schubspannungen liefern.

Das Modellmuÿauchfür dreidimensionale Problemeanwendbar sein.

Die Rechenalgorithmen des Kontaktproblems zeigt Abb. 4.3.

Abbildung4.3: Kontakt-Logik

Für die Modellierung des Kontaktes zwischen zwei Körpern stehen im ver-

wendeten ProgrammsystemABAQUSverschiedene MöglichkeitenzurVerfü-

gung, dieden folgenden zwei Methoden zugeordnet werden können:

Contactpair-Methode:HierwerdenallemöglichenKontaktbedingun-

gen durchzugehörige Kontaktelemente vonbeiden Kontaktächen de-

Kontaktelement-Methode: Hierbei werden zu dem Problem passende

Spezialkontaktelemente, sogenannte interface elements verwendet.

Die erste Methode wird für die Behandlung der meisten Kontaktprobleme,

dieKontaktelement-MethodedagegennurinspeziellenFällenangewendet.In

beidenMethodenkannzwischenzweiFormulierungenderKontaktinteraktion

gewählt werden:

Kleine Relativverschiebung (small sliding-Formulierung): Bei dieser

Formulierung der Kontaktinteraktion können die Kontaktächen nur

kleine Relativverschiebungen zueinander erfahren, willkürliche Rota-

tionenauf der Kontaktäche sind erlaubt.

Finite Relativverschiebung (nite sliding-Formulierung): Bei dieser

FormulierungkönneneinerelativeVerschiebunginnitenGröÿensowie

eine willkürliche Rotation aufder Kontaktäche auftreten.

IndieserArbeitwurdedienitesliding-FormulierunginVerbindungmitder

contactpair-MethodeindenRechenmodellenzurModellierungderKontak-

tinteraktion verwendet. Im folgenden Abschnitt wird ein kurzer Überblick

über das verwendete Kontaktmodell gegeben. Zunächst wird die Interakti-

on zwischen einem deformierbaren Körper und einem Starrkörper betrach-

tet, weil beidem Haupteil der hier durchgeführten Untersuchungen nur der

AugenstabalsdeformierbarerKörper,dagegender BolzenalsStarrkörperbe-

trachtet wurde.

AufzweiLösungsalgorithmenfür dieBerechnung der Kontaktproblemewird

hier kurz eingegangen, dasiein dieser Arbeitverwendet werden:

Das Penalty-Verfahren:

DiesesVerfahrenwurdeindieserArbeitfürdieBerechnungdesKontak-

teszurSimulationderEindringvorgängemitdemgeschlossenenSystem

verwendet.Dabeiwirddas Eindringen desgeschlossenen kreisförmigen

Starrkörpers in den deformierbaren Körper durch angebrachte Federn

verhindert. Die zum Gesamtsystem hinzuzufügende Federenergie ist:

Pen

=

"h 2

2

(4.19)

mit der Eindringung h, siehe auch Gl. (4.19) und dem Penalty-

Parameter " (" > 0).

F

c

="h: (4.20)

Die groÿen Vorteile dieser Methode liegen in ihrer einfachen Anwend-

barkeit. Der Nachteil besteht darin, daÿ die Durchdringung h nicht

vollständig eliminiertwerden kann [42].

Das LAGRANGEsche Multiplikator-Verfahren:

Im verwendeten Programmsystem ABAQUS ist ein Kontaktprozessor

implementiert, der die LAGRANGEsche Multiplikator-Methode ver-

wendet.BeidieserMethodewirdauÿerdenKnotenverschiebungenauch

dieReaktionskraft (Lagrange Multiplikatoren)in der Kontaktzone als

Variable betrachtet. Für jeden Kontakt werden durch die LAGRAN-

GEschen Multiplikatoren die Kontaktbedingungen (z.B. kein Eindrin-

genderKontaktknotendesdeformierbarenKörpersindenStarrkörper)

erzwungen. Die hieraus resultierenden zusätzliche Gleichungen führen

damit zu einem erhöhten numerischen Aufwand.

4.2.4 Das Kontaktinteraktionsmodell

Bei der contact pair-Methode ist der Kontakt durch zwei Kontaktächen

deniert. Das Programm ABAQUS verwendet das Slave-Master-Konzept

zur Beschreibung der Kontaktbedingungen. Dabei wird im weiteren davon

ausgegangen, daÿessichbeiderSlave-Flächeum dieKontaktäche desde-

formierbarenKörpers (Augenstab)und beider Master-Fläche umdieKon-

taktäche des Starrkörpers (Bolzen) handelt. Dieses bedeutet in dieser Ar-

beit, daÿ dieKnotender Slave-Fläche dieMaster-Fläche nichtdurchdrin-

gen. Dagegen können die Knoten der Master-Fläche in die Slave-Fläche

eindringen (s. Abb. 4.4). Die Formulierung der Kontaktinteraktion mit -

niten Relativverschiebungen ist im Programm ABAQUS mit verschiedenen

Elementen, die automatisch an das Programm angepaÿt generiert werden,

implementiert. An jedem Integrationspunkt dieser Elemente werden die ki-

nematischen Gröÿen, nämlich die Durchdringungungsgröÿe h und die rela-

tive Tangentialverschiebung, ermittelt. Mit diesen kinematischen Gröÿen in

Verbindung mit passenden LAGRANGEschen Multiplikatoren können die

Flächen-Kontaktinteraktionsmodelle formuliert und das Verhalten an der

Grenzäche beschrieben werden (Kontakt und Reibung).

Kurze Beschreibung der Kinematik der Flächeninteraktionsmodelle für den

Fall eines Kontaktes zwischen deformierbaren Körper und Starrkörper mit