Berechnung von Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte

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BKO W FH11– Merkblatt Differentialrechnung – K.Fröhlig

Berechnung von Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte

Allgemeines

1. Ableitung einer Funktion f'(x) → berechnet wie groß die Steigung einer Funktion an der Stelle x ist.

Die Steigung ist 0 bei Hoch-, Tief- und Sattelpunkten.

2. f''(x) sagt etwas über der Krümmungsverhalten einer Funktion aus. f''(x)=0 → Wendepunkt, d.h. das Krümmungsverhalten ändert sich. Bei f''' <0 → von Linkskrümmung nach Rechtskrümmung;

f'''(x) > 0 → umgekehrt.

f''(x) sagt ebenso etwas über die Steigung der Steigung aus. Wichtig zum Beispiel bei Fragen 'Wann/Wo steigt die Steigung am höchsten/geringsten. (→ Hochpunkt/Tiefpunkt der

Steigungsfunktion f'(x)).

3. Durch Einsetzen eines x-Wertes in f(x) herhält man den entsprechenden Funktionswert (y-Wert).

Berechnung eines Tiefpunktes/Minimum, Hochpunktes/Maximum bzw. Sattelpunkt einer Funktion 1. Funktion zweimal ableiten

2. f'(x) = 0, d.h. 1. Ableitung null setzen; nach x auflösen.

3. Errechnetes x in f''(x) einsetzen: f''(x) > 0 → Nachweis: Tiefpunkt. f''(x) < 0 → Nachweis: Hochpunkt.;

f''(x) = 0 → Nachweis: Sattelpunkt.

4. Errechnetes x in f(x) einsetzen: Berechnung der y-Koordinate des Punktes.

Berechnung von Wendepunkten 1. Funktion dreimal ableiten

2. f''(x) = 0, d.h. 2 Ableitung null setzen; nach x auflösen.

3. Errechnetes x in f'''(x) einsetzen: f'''(x) ≠ 0 → Nachweis: Wendepunkt

4. Errechnetes x in f(x) einsetzen: Berechnung der y-Koordinate des Wendepunktes

Berechnung von Nullstellen f(x) = 0 und nach x auflösen.

→ Quadratische Funktionen: pq-Formel

→ Polynom 3-Ordnung (x³): TR mit Polysolve

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Steckbriefaufgaben

f(x) = ax³ + bx² +cx + d (Normalform) f'(x) = 3ax² + 2bx +c

f''(x) = 6ax + 2b

Mögliche Angaben Interpretation & Rechnung

Schnittpunkt mit der y-Achse → f(0); daraus kann d errechnet werden.

Schnittpunkt mit der x-Achse einsetzen in f(x); f(x) = 0 Punkt auf dem Graphen einsetzen in f(x)

Hochpunkt / Tiefpunkt 1. einsetzen in f(x)

2. f'(x) = 0 (einsetzen in f'(x))

Wendepunkt 1. einsetzen in f(x)

2. f''(x) = 0 (einsetzen in f''(x))

Sattelpunkt 1. einsetzen in f(x)

2. f'(x) = 0 (einsetzen in f'(x)) 3. f''(x) = 0 (einsetzen in f'(x))

Ökonomische Funktionen

Preisabsatzfunktion (=Nachfragefunktion) : Preis in Abhängigkeit von der Menge.

Polypol: Fester Preis p fest parallel zur x-Achse; Monopol zumeist linear fallend, d.h. mit sinkendem Preis kann mehr verkauft werden.

Erlösfunktion (Umsatzfunktion) E(x) = p(x) * x (Preis * Menge); Polypol: linear steigend; Monopol: i.d.R.

quadratisch

(Gesamt-)Kostenfunktion: K(x) → Kosten in Abhängigkeit der prod. Menge; Kosten 'ohne x' sind Fixkosten, alle andere sind variabel.

(Gesamt-)Stückkosten k(x)= K(x) / x; Variable Stückkosten: kvar = Kvar / x

Grenzkostenfunktion: K'(x); Sagt etwas über den Kostenzuwachs aus, wenn die Produktionsmenge erhöht wird.

Gewinnfunktion G(x): erzielter Gewinn in Abhängigkeit der Menge G(x) = E(x) – K(x)

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Begriffe / Fragen Ökonomische Bedeutung Rechenweg

Ökonomischer.

Definitionsbereich Bereich in dem das x definiert ist.

Monopol: Bei Mengen zwischen 0 und Sättigungsmenge.

Polypol: Bei Mengen zwischen 0 und Kapazitätsgrenze.

Monopol p(x) = 0; x ausrechnen;

Polypol: Kapazitätsgrenze dem Text entnehmen.

Schreibweise: x Ԑ [0;

Höchstmenge]

Sättigungsmenge

(Monopol) Mehr als diese Menge kann nicht abgesetzt

werden. Schnittpunkt der

Preisabsatzfunktion mit der x- Achse. p(x) = 0; x ausrechnen;

Höchstpreis/Prohibitiv-

preis (Monopol) Zu diesem Preis kann nichts mehr abgesetzt

werden, d.h. Menge x=0. Schnittpunkt p(x) mit der y-Achse.

Erlösmaximum

(Monopol) Menge bei der der höchste Erlös (Umsatz)

erzielt wird. Falls E(x) quadratisch; xmax=

Sättigungsmenge / 2; zur

Bestimmung des Umsatzes xmax in E(x) einsetzen. Falls E(x) mit x³o.ä.

Hochpunkt von E(x) durch Ableiten (…) s.o. bestimmen.

Gewinnmaximum wesentliches Ziel in der BWL Berechnung Hochpunkt G(x); s.o.

Cournotscher Punkt

(Monopol) Punkt auf der Preisabsatzfunktion bei der der höchste Gewinn erzielt wird. → Diesen Preis sollte der Monopolist wählen.

Gewinnmaximale Menge xmax

berechnen (Hochpunkt der Gewinnfunktion). Bestimmen des Preises: Einsetzen xmax in p(x).

Betriebsminimum Minimum der variablen Stückkosten Berechnung kvar; Berechnung der Menge bei der das Minimum von kvar erreicht wird. Durch Einsetzen von xmin in kvar werden die

variablen Stückkosten an dieser Stelle ausgerechnet.

Kurzfristige

Preisuntergrenze Kurzfristig sollen alle variablen Stückkosten gedeckt werden. Fixkosten sind nur langfristig zu beeinflussen. Preis entspricht den kvar im Betriebsminimum.

s. Betriebsminimum; Preis muss mindestens die variablen

Stückkosten decken.

Betriebsoptimum Minimum der Stückkosten Berechnung k(x); Berechnung der Menge bei der das Minimum von k(x) erreicht wird. Durch Einsetzen von xmin in k werden die

Stückkosten an dieser Stelle ausgerechnet.

langfristige Langfristig müssen alle Kosten gedeckt s. Betriebsoptimum

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Preisuntergrenze werden. Daher muss ich mindestens die Stückkosten decken. Optimaler Weise produziere ich dann die Menge, bei der die Stückkosten minimal sind.

Grenzkostenminimum Minimum an Kostenzuwachs bei Erhöhung der

Produktionsmenge Minimum der Grenzkostenfunktion

bestimmen. (d.h. K''(x) = 0;

K'''(x)<0;