MATHEMATISCHESINSTITUT
PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL
ERIKCHUDZIK
SINADAHM
DAVIDKERKMANN
DR. ELENAKLIMENKO
21. MAI2020
Numerik I – 5. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 17: Zusatzaufgabe (4 Punkte) Sei I = [a, b] undh= b−a2 .
(a) Leiten Sie die Simpson-Regel
S(f) = h 3
f(a) + 4f
a+b 2
+f(b)
her, indem Sie das Interpolationspolynom zu den Knoten a,a+b2 undb integrieren.
(b) Zeigen Sie, dass die Simpson-Regel nicht nur Polynome 2. Grades, sondern auch Polynome 3.
Grades exakt integriert.
(c) Leiten Sie daraus f¨urf ∈C4([a, b],R) die Fehlerdarstellung R(f) :=
Z b a
f(x) dx−S(f) =−1
90h5f(4)(ξ), ξ ∈[a, b]
her.
Hinweis: Da die Simpsonregel auch Polynome dritten Grades exakt integriert, wird insbesondere auch das Hermite Interpolationspolynom p ∈P3 mitp(xi) =f(xi),i = 0,1,2,p0(x1) =f0(x1), exakt integriert.
Aufgabe 18: Zusatzaufgabe(2 Punkte) Sei
Z b a
f(x)dx=
n
X
r=0
arf(xr) +R[f] (1)
eine interpolatorische Quadraturformel zum Grundintervall [a, b]. Zeigen Sie, dass Z ˜b
˜ a
g(x)dx=
n
X
r=0
˜
arg(˜xr) +
˜b−a˜ b−aR[g]
mit ˜ar = ˜b−˜b−aaar und ˜xr = ˜a+ (xr−a)˜b−˜b−aa eine Quadraturformel auf dem Interval h
˜ a,˜bi
, die s.g.
Transformierte von (1), liefert.
Aufgabe 19: Programmieraufgabe (Zusatzaufgabe) (4 Punkte)
Seien f : [a, b] → R eine Funktion, X : a = x0 < x1 < . . . < xn = b, n ∈ N, eine Zerlegung des Intervalls [a, b] und x= [x0, . . . , xn] einarray.
(a) Schreiben Sie eine FunktionSimpsonRegel(a,b,f), welche den mittels der Simpsonregel appro- ximierten Wert vonRb
af(x) dxzur¨uckgibt, sowie die Fl¨ache plottet, welche das Integral approxi- miert.
(b) Schreiben Sie eine Funktion SimpsonInt(x,f), welche SimpsonRegel f¨ur jedes Teilintervall [xi, xi+1],i= 0,· · ·, n−1 aufruft, umRb
af(x) dxzu approximieren und um die Fl¨ache zu plotten, welche das Integral approximiert.
(c) Seien a=−1,b= 2π und f(x) = cos(x−1)2+ sin(0.7x) +x.
Approximieren Sie mit SimpsonInt das Integral Rb
af(x) dx f¨ur ¨aquidistante Zerlegungen mit n = 4,9,14,19 und plotten Sie f¨ur jede Zerlegung die Funktion, sowie die approximierende Fl¨ache in einen Plot.
Geben Sie auch den absoluten Fehler der Approximationen aus, indem Sie den analytischen Wert des Integrals von einer vorimplementierten Routine berechnen lassen.
Hinweis: Selbstverst¨andlich k¨onnen Sie die ¨Ubungsaufgaben mit Ihren Kommilitonen diskutieren. Wir erwarten aber, dass Sie Ihre L¨osung selbst¨andig verfassen. Schreiben Sie auf keinen Fall die L¨osung einer anderen Person ab. Wir werden alle Abgaben auf Gleichheit/starke ¨Ahnlichkeit pr¨ufen und gegebenenfalls 0 Punkte f¨ur alle Beteiligten vergeben.
Zus¨atzlich m¨ochten wir noch einmal darauf aufmerksam machen, dass eine aktive Mit- arbeit in den ¨Ubungen ebenfalls zu den Zulassungskriterien geh¨ort.
Abgabe am 28. Mai 2020 bis 16 Uhr.
Besprechung in den ¨Ubungen ab 4. Juni 2020.