Funktionen (Grundlagen) ANALYSIS

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Funktionen (Grundlagen)

ANALYSIS Kapitel 1 MNProfil - Gymnasiale Mittelstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

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Vorname:

6. Dezember 2021

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Inhaltsverzeichnis

1 Funktionen (Grundlagen) 1

1.1 Einleitung . . . 1

1.2 Zuordnung & Abh¨angigkeit am Beispiel desfreien Falls . . . 2

1.3 Weitere Beispiele . . . 8

1.3.1 Totaler Bremsweg . . . 9

1.3.2 Schulweg . . . 11

1.3.3 Flatrate . . . 13

1.3.4 Sch¨uler- & Studentenzahlen . . . 14

1.3.5 Formel 1. . . 15

1.4 Funktionsgleichungen. . . 26

1.4.1 Definitionen . . . 26

1.4.2 Zur¨uck zumfreien Fall. . . 29

1.5 Definitions- & Wertebereich und die Verkn¨upfung von Funktionen. . . 31

1.6 Von der Funktionsgleichung zum Graphen . . . 33

1.7 Funktionen & EXCEL . . . 37

1.8 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt . . . 38

1.9 Das Auffinden von Nullstellen - ein interdisziplin¨ares Projekt mit der Informatik . . . 41

1.10 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen . . . 48

1.11 Funktionen &GeoGebra . . . 52

1.12 Meine Zusammenfassung. . . 53

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1 Funktionen (Grundlagen)

1.1 Einleitung

Mit dem Begriff derFunktion werden wir ein Hilfsmittel der Mathematik kennenlernen, welches von zentraler Bedeutung ist.

Mit Hilfe von Funktionen lassen sich Bewegungsabläufe oder Veränderungen beschreiben, Vorhersagen über das Bevölkerungswachstum machen, die Bahn eines Satelliten im Weltraum berechnen, . . . und vieles mehr.

Mathematisch betrachtet ist eine Funktion nur eineVorschrift, die einem Ele- ment aus der einen Menge genau ein Element in einer anderen Mengezuordnet.

In einem mathematischen Zusammenhang wurde der BegriffFunktion erstmals von Leibniz 1673 verwendet, in seiner AbhandlungMethodus tangentium inversa, seu de functionibus. (dt.: Eine Methode, Tangenten umzukehren - oder:

¨uber Funktionen).

Der Begriff der Funktion hatte bei Leibniz jedoch noch nicht die heutige mathematische Bedeutung. Vielmehr wird er im Sinne von funktionieren einer Wir- kungsweise eines Gliedes innerhalb eines Organismus bzw. einer Maschine ver- standen.

Bei Leibniz findet sich auch erstmals die heute allt¨aglich verwendete Schreib- weisef(x) =y.

F¨ur weitere Informationen zur geschichtlichen Entwicklung des Begriffs der Funktion von den Babyloniern bis heute empfiehlt sich die Arbeit von Horst Hischer zurGeschichte des Funktionsbegriffs, Universit¨at Saarland

http://www.math.uni-sb.de/service/preprints/preprint54.pdf

Die Eigenschaften und die Diskussion von Funktionen werden im weiteren Mathematikunterricht der gymnasialen Ausbildung eine sehr sehr wichtige Rolle spielen.

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1.2 Zuordnung & Abh¨ angigkeit am Beispiel des freien Falls

Einen ersten Zugang zum Begriff der Funktion wollen wir uns mit dem Bei- spiel des (idealen) freien Falls verschaffen und gehen dazu von den folgenden (messbaren) Werten aus:

Aufgewendete Zeit[in s] 0 1 2 5 10

Momentane Geschwindigkeit[in m/s] 0 9.81 19.62 49.05 98.1 Zur¨uckgelegter Weg[in m] 0 4.905 19.62 122.625 490.5

Wir wollen die Informationen und Zusammenh¨ange aus der Tabelle graphisch darstellen in dem wir die obigen Werte in ein Koordinatensystem ¨uber- tragen.

Beginnen werden wir deshalb mit einer kurzen Wiederholung der Grundbegriffe im Zusammenhang mit kartesischen Koordinatensystemen:

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Wir beginnen mit der Darstellung des zur¨uckgelegten Wegesin Abh¨angigkeit von der aufgewendeten Zeit:

Aufgewendete Zeit[in s] 0 1 2 5 10 Zur¨uckgelegter Weg[in m] 0 4.905 19.62 122.625 490.5

Wir haben somit . . . Zeitpunktt

. . . Streckenl¨angeszugeordnet:

. . . .

Die Streckenlängesist also . . . : Die Entwicklung der Streckenlänge lässt sichbildlichdarstellen:

Mit Hilfe dieser graphischen Darstellung lassen sich die folgenden Fragen (ungef¨ahr) beantworten:

4 Sekunden nach dem Start sind . . . m zur¨uckgelegt worden.

F¨ur die ersten 600mfreier Fall ben¨otigen wir . . . s.

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Wir wollen nun die momentane Geschwindigkeit in Abh¨angigkeit von der aufgewendeten Zeit graphisch darstellen:

Aufgewendete Zeit[in s] 0 1 2 5 10

Momentane Geschwindigkeit[in m/s] 0 9.81 19.62 49.05 98.1

und beantworte die folgenden Fragen:

Wie gross ist die momentane Geschwindigkeit nach 7.5sfreiem Fall ?

Wann wird eine Geschwindigkeit von 30m/serreicht ?

Wann wird eine Geschwindigkeit von 100km/herreicht und wie viele Me- ter freier Fall müssen dafür zurückgelegt werden ?

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Aufgaben 1.1 Stellet(s) graphisch dar:

Aufgewendete Zeit[in s] 0 1 2 5 10 Zur¨uckgelegter Weg[in m] 0 4.905 19.62 122.625 490.5

Wieviel Zeit wird f¨ur eine Strecke von250mgebraucht ?

Wie viele Meter freier Fall werden in9s zur¨uckgelegt ?

Formuliere weitere Fragen, die mit der obigen graphischen Darstellung beantwortet werden k¨onnen:

– – –

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Wichtig für die graphische Darstellung von funktionalen Zusammenhängen sind die folgenden Begriffe und Schreibweisen, die du jetzt noch in eigenen Wor- ten erklären sollst:

Koordinatensystem

Abh¨angigkeit

Zuordnung

s=s(t)

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Wir kennen die Eigenschaften einer Funktion und sind nun in der Lage, den Begriff derFunktionzu definieren:

Def.: EineFunktionist eine Vorschrift, die jedem Argument genau einen Funktionswertzugeordnet.

d.h.: wir haben jeweils . . .

jeder aufgewendeten Zeit, genau eine zur¨uckgelegte Wegstrecke zugeordnet,

t7→s , s=s(t)

. . . aufgewendeten Zeit, . . . momentane Geschwindigkeit zugeordnet,

t7→. . . , . . . = . . .

jeder . . . , genau eine . . . zugeordnet, s7→t , t=t(s)

und mit s(v) wird . . .

Analysis-Aufgaben:Funktionen (Grundlagen) 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

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1.3 Weitere Beispiele

Bevor wir uns (mathematisch) vertieft mit dem Begriff der Funktion ausein- andersetzen werden, noch einige weitere Beispiele, um uns graphisch mit den Zuordnungen und m¨oglichen Interpretationen von Funktionen zu befassen.

Die folgenden Beispiele sollt ihr selbst¨andig inGruppenl¨osen:

Struktur: 2 ×3-4 SchülerInnen für denBremsweg 2 ×3-4 SchülerInnen für dieFlatrat 2 ×3-4 SchülerInnen für dieF1

Hauptaufgabe:

Pr¨asentation & Diskussion der L¨osungen inneuenGruppen,

Nachbearbeitung: Fragen an die Hauptgruppen im Plenum.

Zeitrahmen:

F¨ur die Vorbereitung in derExpertengruppe:

eine 1/2 Lektion & HA.

F¨ur de Pr¨asentation & Diskussion:

3 x 10 Minuten.

F¨ur die Nachbesprechung:

nach Bedarf.

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1.3.1 Totaler Bremsweg

DerTotale Bremsweg sf¨ur ein Fahrzeug setzt sich zusammen aus

demBremsweg s_b,

der n¨otig ist um das Fahrzeug zum Stillstand zu bringen und

demReaktionsweg sr,

der zur¨uckgelegt wird, bis die Bremsung ¨uberhaupt erst eingeleitet wird.

Es gilt somit: s=sb+sr

Das Messen bei Versuchen liefert uns die folgenden Werte:

Geschwindigkeit v[in km/h] 0 20 40 60 80 100 120 140 Bremswegsb [in m] 0 4 16 36 64 100 144 196 Reaktionswegsr [in m] 0 6 12 18 24 30 36 42 Totaler Bremsweg s[in m] . . . .

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Aufgaben 1.2 Stellesb(v), sr(v) unds(v)graphisch dar:

1. Wie lang ist der Totale Bremsweg bei 50km/h ?

2. Wie schnell ist das Fahrzeug unterwegs, wenn der Bremsweg 75m betr¨agt ? 3. Wie lang sind Brems- und Reaktionsweg, wenn der Totale Bremsweg 150m

betr¨agt ?

4. Das Fahrzeug ist mit 170km/h unterwegs. Bestimme den Brems- & Reak- tionsweg.

5. Das Fahrzeug ist mit 100km/h unterwegs.

Wie weit muss die Geschwindigkeit reduziert werden, damit (a) der Reaktionsweg sich halbiert ?

(b) der Bremsweg sich halbiert ? (c) der totale Bremsweg sich halbiert ?

6. Wenn das Fahrzeug statt mit 30km/h mit 60km/h unterwegs ist, um wie viele % verl¨angert sich der Totale Bremsweg ?

7. Wenn das Fahrzeug statt mit 60km/h mit 120km/h unterwegs ist, um wie viele % verl¨angert sich der Totale Bremsweg ?

8. Wenn das Fahrzeug statt mit 45km/h mit 90km/h unterwegs ist, um wie viele m verl¨angert sich der Bremsweg ?

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1.3.2 Schulweg

Als ein weiteres Beispiel verwenden wir eine Aufgabe aus dem neuen Lehrmittel Mathematik 2 der Sekundarstufe 1:

Trage in der Graphik die Nummern beim entsprechendem Abschnitt ein:

1. Was wird in Abh¨angigkeit von was dargestellt?

2. Nadia hat ihre Turnsachen vergessen und kehrt nach Hause zur¨uck.

3. Sie beeilt sich, um Karin einzuholen.

4. Nadia nimmt den Sack mit den Turnsachen von der Garderobe bei der Haust¨ure und macht sich sofort wieder auf den Weg zur Schule.

5. An der Strassenkreuzung wartet sie wie immer auf Karin.

6. Endlich kann Nadia Karin auf der gemeinsam zurückgelegten Wegstrecke erzählen, was sie über das Wochenende alles erlebt hat.

7. Eine kurze Wegstrecke rennt Nadia.

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Jetzt musst du alleine arbeiten:

Erstelle eine graphische Darstellung deines übliche Schulweges. Stelle die aufgewendete Zeit in Abängigkeit von der zurückgelegten Strecke dar.

Gib deine graphische Darstellung deinem Banknachbarn/ deiner Banknach- barin und lasse ihn/sie aus der Graphik herauslesen, wo du wie unterwegs bist.

(zu Fuss, mit dem Fahrrad oder Bus, Flugzeug, Zug, im Stau stehend, ...)

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1.3.3 Flatrate

Stelle die folgenden Surftarife eines Telefonanbieters in Abh¨angigkeit der Zeit (f¨ur eine Surfzeit von 0 - 100 Stunden) graphisch dar:

Der Telefonanbieter bietet folgende Tarifmodelle an:

Tarif A: Grundgeb¨uhr 5Fr/Monat

die ersten 10 Stunden geb¨uhrenfrei, dann 0.5Rp/min.

Tarif B: Grundgeb¨uhr 10Fr / Monat

die ersten 20 Stunden geb¨uhrenfrei, dann 0.4Rp/min.

Flatrate 25Fr/Monat

Beantworte mit Hilfe deiner graphischen Darstellung die folgenden Fragen:

1. Wieviel kosten 30 Stunden surfen mit Tarif A ? 2. Wieviel kosten 60 Stunden surfen mit Tarif B ? 3. Wieviel kosten 90 Stunden surfen mit der Flatrate ?

4. Für welche Surfzeit herrscht Kostengleichheit für die Tarife A und B ? 5. Willi surft durchschnittlich zweieinhalb Stunden täglich.

(a) Welches Modell ist für Willi günstiger, A oder B ? (b) Ab welcher Surfzeit sollte Willi die Flatrate wählen ? 6. Welches Modell ist bei Deinem Surfverhalten das günstigere ?

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1.3.4 Sch¨uler- & Studentenzahlen

Stelle das folgende Zahlenmaterial in Abh¨angigkeit der Zeit graphisch dar:

Schüler & Studierende

Zahlenmaterial, zusammengestellt aus Daten der Bundesverwaltung admin.ch http://www.bfs.admin.ch/bfs/portal/de/index/themen/15/02/data/blank/01.html

Jahrgang Total % Frauen % Ausländer

2010 - 2011 Gynmasien 73'078 56.0 13.4

2007 - 2008 71'958 56.4 13.3

2004 - 2005 66'309 56.3 13.2

2001 - 2002 64'688 55.6 12.1

2010 - 2011 Universitäten 131'494 50.3 27.1

2007 - 2008 116'908 49.7 23.6

2004 - 2005 111'100 48.9 21.8

2001 - 2002 99'570 46.5 20.4

Die folgenden Fragen sind jeweils für die Gymnasien als auch für die Uni- versitäten zu beantworten:

1. Wie gross war der Anteil Frauen für den Jahrgang 2003 - 2004 ? 2. Wie gross war der Anteil Männer für den Jahrgang 1999 - 2000 ?

3. Was vermutet ihr für Schüler- & Studentenzahlen für den Jahrgang 2012 - 2013 ? 4. Wie gross wird der Anteil an Männern für den Jahrgang 2012 - 2013 sein ? 5. Wie entwickelt sich der Anteil an Ausländern ?

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1.3.5 Formel 1

Im Folgenden erhaltet ihr die Streckenprofile von 12 Formel1 Strecken mit den Geschwindigkeitsangaben an verschiedenen Stellen.

Ihr wählt drei Strecken aus und erstellt dafür eine graphische Darstellungder Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der zurückgelegten Wegstrecke. Die Dar- stellung sollte so genau sein, dass mit Hilfe eurer Graphik aus einer Auswahl von fünf Streckenprofilen, wo die Geschwindigkeitsangaben fehlen, es möglich ist, die richtige Strecke wieder zuordnen zu können.

Vorgehensweise:

1. W¨ahlt drei Streckenprofile aus.

2. Lest die notwendigen Angaben aus euren Streckenprofilen heraus.

3. Stellt den funktionalen Zusammenhang in einer Wertetabelle mit sinnvol- len Abst¨anden dar.

4. ¨Ubertragt eure L¨osungen einzeln in ein separates Koordinatensystemohne Angabe des Landes undohne Angaben der Einheiten auf der Geschwin- digkeitsachse.

5. W¨ahlt f¨unf Strecken aus (inkl. eurer drei Streckenprofile).

6. Tauscht eure graphischen Darstellungen zusammen mit den f¨unf m¨oglichen Streckennamen mit einer anderen Gruppe aus und versucht nun mit Hilfe der Streckenprofile ohne Geschwindigkeitsangabe auf den Seiten 21 - 24 wieder das richtige Land zuzuordnen.

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Die Streckenprofilemit:

Australien

Belgien

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Brasilien

Deutschland

Grossbritanien

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Italien

Japan

Monaco

(22)

Singapore

Spanien

China

(23)

Abu Dhabi

Quelle: www.focus.de/...

F¨ur die graphischen Darstellungen:

(24)

(25)

Die Streckenprofileohne:

1. Australien

2. Belgien

Belgien:

3. Brasilien Brasilien:

22

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4. Deutschland Deutschland:

5. Grossbritanien Grossbritanien:

6. Italien ^Italien:

23

(27)

7. Japan ^Japan:

8. Monaco

Monaco:

9. Singapore

Singapore:

24

(28)

10. Spanien ^Spanien:

11. China

China:

12. Abu Dhabi

Abu Dhabi:

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1.4 Funktionsgleichungen

Bei der Bearbeitung der bisherigen Fragen, die nicht durch Werten oder Mess- ergebnisse vorgegebenen sind, k¨onnen wir nur ungef¨ahre Antworten geben.

Die Genauigkeit l¨asst sich verbessern, z.B. durch

Diese Vorschriften werden durch sogenannte Funktionsgleichungen dargestellt, welche in der Mathematik in ihrer Allgemeinheit sehr intensiv behandelt werden und auch in der gymnasialen Ausbildung einen grossen Stellenwert ein- nehmen.

Die Basis bildet der Begriff derFunktion.

Wir werden in diesem Kapitel losgelöst von praktischen Experimenten oder Datensätz die Funktion und zugehörige Begriffe und Schreibweisen in voller Allgemeinheit kennenlernen, so dass ihr sie später problemlos in der Physik, Chemie,Wirtschaft, . . . anwenden könnt.

1.4.1 Definitionen

Wir beginnen mit der Definition einer Funktion, in welcher die zentralen Eigen- schaften der Zuordnung, wie wir sie schon in den bisherigen Beispielen kennen- gelernt haben, eingebunden werden:

Def.: SeienAundBzwei nicht-leere Mengen.

EineAbbildung / Funktionf :A→Bist eine . . . , die . . . Element ausA . . . ein Element aus B zugeordnet.

Bem.:

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Beispiel 1.1 f(3) = 9

f(5) = 25

f(−2) = 4

Beispiel 1.2 g(x) =−x

1. g(2) =−2 2. g(18) = 3. g(−7) =

Beispiel 1.3 h(x) =x²−2

1. h(7) = 2. h(3) = 3. h(0) = 4. h(−3) =

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Aufgaben 1.3 g(x) :=−5x+ 23, h(x) :=−2x³+ 5x Berechne die folgenden Werte:

1. g(1) =. . . 2. h(0) =. . . 3. g(23) =. . . 4. h(−5) =. . . 5. g(6) =. . . 6. h(−4) =. . . 7. g(0) =. . . 8. h(3) =. . .

a(x) :=x−2, b(x) :=x², c(x) :=−4x+ 15 Berechne die zugeh¨origen Argumente:

1. a(x) = 7 2. b(x) =−0.125 3. c(x) = 0 4. a(x) =−2 5. b(x) = 0.25 6. c(x) = 20

Aufgaben 1.4 Definiere die Funktion mit dem Namenqund der Va- riablent, welche vom 8fachen des Argumentes 5 subtrahiert.

Definiere die Funktion mit dem Namenyund der Va- riablen x, welche vom Quadrat aus der Summe des Argumentes und 12 das halbe Argument subtrahiert.

Berechne 1. q(0) = 2. y(0) = 3. q(2) = 4. y(−1) =

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1.4.2 Zur¨uck zum freien Fall

Im Folgenden wollen wir die Funktionsgleichungen für unsere Bewegungen (die Herleitung erfolgt später in der Physik) verwenden, um den sprachlichen Ge- brauch einzuüben und unsere Genauigkeit beimAblesender Antworten aus der graphischen Darstellung auf ihre Genauigkeit hin zu überprüfen

Beispiel 1.4 . . .jederaufgewendeten Zeit wirdgenau einezur¨uckgelegte Wegstrecke zuordnet:

s(t) = 9.81 2 ·t²

1. s(2) =

Ausgedeutschtbedeutet das

2. s(10) =

3. Bestimme die zur¨uckgelegte Wegstrecke nach 5s 4. Ob wir mit den obigen Resultaten richtig liegen,

k¨onnen wir kontrollieren:

5. Mits(t) berechnen wir somit . . .

(33)

Beispiel 1.5 . . .jeder aufgewendeten Zeit wird genau eine momentane Geschwindigkeit zuordnet:

v(t) = 9.81·t

Berechnev(1) =

Bestimme die Geschwindigkeit nach 5sfreiem Fall

Wie lange muss ein K¨orper fallen, um eine momentane Geschwindigkeit von 75m/szu erreichen ?

Aufgaben 1.5 Formuliere eine eigene Fragenstellung:

Bestimme die zugeh¨orige mathematische Darstellung:

Bestimme die L¨osung rechnerisch:

Beispiel 1.6 . . .jeder zur¨uckgelegter Strecke wird genau eine aufgewendete Zeit zuordnet:

t(s) = r 2s

9.81

Aufgaben 1.6 t(15) =

t(450) =

Bestimme die Zeit, welche f¨ur250maufgewendet werden m¨ussen.

Nach 12swird welche Strecke zur¨uckgelegt ?

Der Strecke 100m wird welche Zeit zugeordnet?

Der Zeit 5s wird welche Strecke zugeordnet ?

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1.5 Definitions- & Wertebereich

und die Verkn¨ upfung von Funktionen

f :A→B

x7→^f x²

f(x) =x²

Beispiel 1.7 f :N→Q, x7→^f _x¹2

1. D(f) = 2. W(f) =

3. die zugeh¨orige Funktionsgleichung lautet:

4. f(3) = 5. f(¹₂) =

Beispiel 1.8 g:N⁰→N, t7→^g 2t−3 1. D(g) =

2. W(g) =

3. die zugeh¨orige Funktionsgleichung lautet:

4. g(4) = 5. g(0) =

(35)

Beispiel 1.9 a:Q→Q, a(r) =r³−r² , b:Q→Q, b(r) = 2r 1. a(1) =

2. b(2) = 3. a◦b(2) =

4. a◦b(1) =

5. b◦a(2) =

6. b◦b(0) =

7. a◦b◦a(−1) =

Beispiel 1.10 f(x) =x+ 1, g(x) =x² 1. f(2) =

2. g(4) = 3. f ◦g(4) =

4. f ◦f(2) =

5. g(a) =

6. f(k²) =

7. f ◦g(x) =

8. g◦f(x) =

(36)

1.6 Von der Funktionsgleichung zum Graphen

Ein wichtiges Thema in der Mathematik wird später dieDiskussion von Funk- tionensein. Wir werden dann unter Anwendung weiterer mathematischer Hilfs- mittelExtremas, Nullstellen, Monotonieverhalten, . . . einer Funktion exakt bestimmen. Wenn wir uns vom Verlauf der Funktion ein Bild machen, d.h. die Funktiongraphischdarstellen, können wir jetzt schon einige dieser Eigenschaf- ten ungefähr bestimmen.

Wir wollen die Darstellung an der folgenden Funktion f :R→R, f(x) =x²+ 1.5x−4.5 besprechen:

1. Wertetabelle:

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

2. Graphische Darstellung:

(37)

Beispiel 1.11

Mit diesem Beispiel wollen wir den ersten Einsatz elektronischer Hilfen besprechen und weitere zentrale Begriffe im Zusammenhang mit Funktionn besprechen.

Dazu verwenden wir die folgenden Funktionen:

f(x) =x²−6.25 und g(x) =x⁴−13x²+ 36

(Verwende als Argumente: -4, -3.5, -3, . . . 3.5, 4 und auf dery-Achse von -8 bis 40)

Bestimme weiter die Nullstellen vonf:

den Achsenabschnitt von g:

den Schnittpunkt vonf mit der y-Achse:

die Schnittpunkte von g mit derx-Achse:

die Schnittstellen vonf undg:

(38)

Aufgaben 1.7

F¨ur die Berechnung des Fl¨acheninhaltes der blauen Kreisscheibe gilt:

A= (r₁²−r₂²)π

Wir legen f¨ur unsere Aufgabe den Radiusr2des kleinen Kreises fest und setzen ihn gleich 2.

Stellen den Fl¨acheninhalt der Kreisscheibe als Funktion abh¨angig von r1

graphisch dar:

Dazu beginnen wir mit einerWertetabelle:

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

(39)

und beantworten noch die folgenden Fragen:

1. Wie gross mussr1für einen Flächeninhalt von 10 gewählt werden?

2. Wie gross ist der Fl¨acheninhalt, wennr1 = 4 gilt?

3. Wir gehen von einem Inhalt von 40 f¨ur die ganze Kreisfl¨ache aus.

In welchem Verh¨altnis stehen die Radien r₁ und r₂ zueinander (gesucht ist also r₁ :r₂ = ?), damit die blaue Kreisscheibe den halben Inhalt des ganzen Kreises hat?

Letzte Frage:

Wie gross muss der Radius des kleinen Kreises gew¨ahlt werden, wenn der grosse Radiusr1= 10 ist und der Inhalt der Kreisscheibe halb so gross wie der Inhalt des grossen Kreises sein soll?

(40)

1.7 Funktionen & EXCEL

In diesem Abschnitt geht es darum, dass Programm EXCEL als Hilfsmittel zur Darstellung von Funktionen kennenzulernen.

Als Grundage dient dazu

Analysis-Aufgaben:Funktionen (Grundlagen) 5

Zusammenfassung:

(41)

1.8 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt

Der Verlauf des B¨orsenkurses der Nestle Namensaktie vom 2. Okt.’06 bis zum 2. Nov.’06:

(Quelle: http://www.swissquote.ch )

Bestimme den Definitions- und Wertebereich

Bestimme den Wert der Aktien am 19. Oktober 2006

. . .

(42)

Bestimme die Tage, an welchen der Wert der Aktien gr¨osser als Fr. 440.- war.

. . .

Bestimme den Tag, an welchem der Wert der Aktien am gr¨ossten war.

. . .

{x∈ D(f)|f(x) =minimal}

. . .

{x∈ D(f)|f(x)<420}

. . .

{x∈ D(f)|y >450}

. . .

{x∈ D(f)|420< y <430}

. . .

Bestimme die Tage, an welchen der Aktienwert kleiner als Fr. 500.- war.

. . .

{y|10≤x≤23}

. . .

{y∈ W(f)|10≤x≤23}

. . .

Analysis-Aufgaben:Funktionen (Grundlagen) 4b (Zugeh¨orige L¨osungen)

(43)

Aufgaben 1.8 Suche auf der homepage

https://www.swissquote.ch

ein aktuelles Beispiel und formuliere sechs eigene Fragen:

drei in deutsch,

drei in der mathematisch beschreibendenForm.

(44)

1.9 Das Auffinden von Nullstellen -

ein interdisziplin¨ ares Projekt mit der Informatik

Eine zentrales Problem in der Mathematik ist das Bestimmen der Nullstellen einer Funktion, d.h. f¨ur eine beliebige Funktion f :R→Rgeht es um folgende Fragestellung:

Es ist das Ziel dieses Kapitels, eine Möglichkeit zur näherungsweise Bestim- mung von Nullstellen einer beliebigen Funktion so weit aufzuzeigen, um diese dann interdisziplinär in der Informatik umzusetzen.

Bei einfachen Funktionen l¨asst sich das Problem noch algebraisch l¨osen:

Beispiel 1.12 f(x) = 5x+ 7 ⇒ N S=x=. . .

g(x) = −3x ⇒ N S=x=. . .

h(x) = 17 ⇒ . . .

Wir k¨onnen festhalten, dass

(45)

Bei etwas interessanteren Funktionen l¨asst sich das Problem immer noch algebraisch l¨osen, jedoch nur, wenn die Funktionsgleichung gut konditioniert ist:

Beispiel 1.13 f(x) = x·(x+ 2) ⇒ die NS sind . . .

g(x) = 2x²−7x ⇒ die NS sind

h(x) = x²−4 ⇒ die NS sind

i(x) = x²−2x−3 ⇒ die NS sind

j(x) = x³−x²−30x ⇒ die NS sind

Wir k¨onnen festhalten, dass

(46)

F¨ur das Bestimmen der Nullstellen von sog.quadratischen Funktionen, d.h.

bei Funktionen von folgendem Typ

f(x) = ax²+bx+c z.B.: f(x) = . . .

g(x) = . . .

werden wir sp¨ater noch eine L¨osungsformel kennenlernen.

F¨ur das Bestimmen der Nullstellen von sog.Polynomfunktionen 3.ten Gra- des, d.h. bei Funktionen von folgendem Typ

f(x) = ax³+bx²+cx+d z.B.: f(x) = . . .

g(x) = . . .

gibt es noch die Formeln von Cardano.

F¨ur das Bestimmen der Nullstellen von sog. Polynomfunktionen 5.ten &

h¨oheren Grades, d.h. bei Funktionen von folgendem Typ

f(x) = a+bx+cx²+dx³+ex⁴+f x⁵+. . . z.B.: f(x) = . . .

g(x) = . . .

gibt es, wie von Galois bewiesen, keine Formeln (Wurzeln) mehr.

(47)

Da uns algebraische Methoden (Termumformungen, . . . ) nur beschränkt hel- fen können, benötigen wir neue, numerische Methoden, mit welchen wir die gesuchten Nullstellen näherungsweise bestimmen können. Hierbei hilft uns die graphische Darstellung der Funktion und der Computer.

Wir werden uns an folgendem Beispiel mit der grundlegenden Idee vertraut machen:

Beispiel 1.14 f(x) =x³−2.07x²−0.813x+ 2.257

1. Schritt: Wir lesen die m¨oglichen Nullstellen ab:

2. Schritt: Wir kontrollieren unsere L¨osungsvoschl¨age:

3. Schritt: Wir treffen eine bessere Wahl:

(48)

Wir wollen die Bedingungen f¨ur das Finden einer besseren Nullstellen zu- sammenfassen:

1. Wahl:x1 ⇒ Wenn . . . und . . . dann . . .

Wenn . . . und . . . dann . . .

2. Wahl:x2 ⇒ Wenn . . . und . . . dann . . .

Wenn . . . und . . . dann . . .

(49)

Aufgaben 1.9 Bestimme mit Hilfe der numerischen Approximation die Nullstellen von folgenden Funktionen:

f(x) =x²−1.3x

g(x) =x³−0.58x²−3.58x+ 3.16

(Erstelle mit EXCEL eine Wertetabelle, stelle die Funktionen graphisch dar, verwende als Argumente x=−3,−2.5, . . .3.)

(50)

Aufgaben 1.10 L¨ose das N¨aherungsverfahren mit EXCEL

(51)

1.10 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen

Am folgenden Beispiel der graphischen Darstellung zweier Funktionen . . .

. . . wollen wir die folgenden Mengen kennzeichnen:

1. {x∈R|f(x)>0}

2. {x∈R|g(x)≤0}

3. {x∈R|g(x) = 2}

4. {x∈R|f(x) = 2}

5. {x∈R|f(x)<−2}

6. {x∈N|f(x) =g(x)}

(52)

7. {(x|y)|x=−2.5}

8. {(x|y)|y= 0}

9. {(x|y)|x≥2∧y <−4}

10. {(x|y)|x= 1∧y=f(x)>2}

11. {(x|y)|x= 1∧y=f(x)>3}

12. {(x|y)|y=g(x)}

(53)

Von grosser Bedeutung ist auch die Betrachtung des Graphen einer Funktion als eine Menge.

Versuche, in dem Du einige Elemente (Punkte) eines Graphen bestimmst, mit Hilfe der folgenden Beispiele den Graphen einer Funktion als eine Menge zu beschreiben:

Def.: Seif :R→Reine Funktion.

Dann gilt: graph(f) :={. . .

(54)

Aufgaben 1.11 Wir gehen von der folgenden Funktion aus:

f(x) = 3x−2.

1. Welche der folgenden Punkte sind Elemente des Gra- phen vonf:

(Begr¨unde deine Antwort!) (a) A= (0/−2) (b) B= (3/7) (c) C= (−3/−7) (d) D= (²₃/0)

2. Bestimme die fehlende Koordinate so, dass der Punkt auf dem Graphen von f liegt:

(a) E= (1/yE) (b) F = (xF/−1) (c) G= (−5/yG) (d) H = (x_H/−35)

Analysis-Aufgaben:Funktionen (Grundlagen) 6b (Zugeh¨orige L¨osungen)

(55)

1.11 Funktionen & GeoGebra

Für ein selbständiges Kennenlernen & Einarbeiten in eine Auswahl der Möglich- keiten vonGeoGebraim Bereich der Funktionen verwenden wir unter folgendem Link

www.ronaldbalestra.ch/Informatik/Geogebra/

das Skript

Einf¨uhrung inGeoGebra: Funktionen - Grundlagen, welche auf das aktuelle Skript zur¨uckgreift.

(bei einzelnen Anwendungen werden funktionale Zusammenh¨ange ohne Herlei- tungen verwendet)

Einführung inGeoGebra: Funktionen - Grundlagen & erste Anwendungen, welche auf das aktuelle Skriptundauf Kenntnisse über affine Funktionen zurückgreift.

(auch hier gilt, dass bei einzelnen Anwendungen funktionale Zusammenh¨ange ohne Herleitungen verwendet werden.)

(56)