2 Hardy-Littlewood Maximaloperator

Symmetrische Ableitungen von Massen

Hyuksung Kwon 5. Juni 2013

Inhaltsverzeichnis

1 Einf¨uhrung 1

2 Hardy-Littlewood Maximaloperator 2

3 Symmetrische Ableitung vom positiven Maß 7

1 Einf¨ uhrung

Definition 1.1 (Borelmaß und ¨außeres Maß). SeiB^d die Menge aller Borelmengen imR^d, und bezeichne M(R^d,B^d) die Menge aller auf R^d definierten positiven Maße. Ein µ ∈ M(R^d,B^d) heißt Borelmaß, wenn jede kompakte Teilmenge k von R^d endliches Maßµ(k) hat.

Eine Abbildungµ^∗ :P(R^d)→[0,∞] heißt ein ¨außeres Maß, wenn 1) µ^∗(∅) = 0,

2) A⊆B ⇒µ^∗(A)≤µ^∗(B), ∀A, B ⊆R^d, (Monotonie) 3) µ^∗([

n∈N

A_n)≤X

n∈N

µ^∗(A_n). (sub-σ-Additivit¨at von µ^∗) Bemerkung 1.2. Jedes Borelmaßµerzeugt ein ¨außeres Maßµ^∗. Definition 1.3 (Regul¨arit¨at). Seiµ∈M(R^d,B^d).

1) µ heißt von innen regul¨ar ⇐⇒µ(A) = sup{µ(K) :K ⊆A , K kompakt}

2) µ heißt von außen regul¨ar ⇐⇒µ(A) = inf{µ(G) :G⊆A ,G offen}

3) µ heißt regul¨ar ⇐⇒µ(A) ist von beiden regul¨ar Definition 1.4 (µ^∗ messbar und σ-Algebra).

1) Eine Menge A ∈ P(Ω)heißt µ^∗ messbar, wenn µ^∗(M)≥µ^∗(A∩M) +µ^∗(A^c∩M),

∀M ⊆R^d.

2) Die Menge A_µ:={A⊆Ω : A µ^∗messbar} ist eine σ-Algebra, und µ^∗|_Aµ ist ein Maß auf A_µ.

Bemerkung 1.5. Ein ¨außeres Maß µ^∗:P(Ω)→[0,∞] heißt regul¨ar bez¨uglich µ, falls f¨ur jede MengeE ⊂Ω eine µ^∗ messbare Obermenge A⊃E mitµ^∗(E) =µ^∗(A) existiert.

Satz 1.6 (Radon-Nikodym und Lebesgue Zerlegungssatz). Seien µ,σ positive Borelmaße auf R^d.

1) Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Maßeµ_s und µ_a aus positiven Borelmaß mit µ=µs+µa, sodass µs⊥σ , µsσ gilt. (Lebesgue Zerlegungssatz)

2) Seif :R^d→[0,∞]. Dann gilt µa(A) = Z

A

f dσ , A∈ B.(Satz von Radon-Nikodym)

Beweis. Siehe Wolfgang Wertz: Mass- & Wahrscheinlichkeitstheorie Seite 108, 133.

Satz 1.7. Seien µ,σ positive Borelmaße aufR^d, seiµ=µs+µa die Zerlegung aus dem Lebes- gueschen Zerlegungssatz, und bezeichne σ^∗, µ^∗, µ^∗_s, und µ^∗_a die entsprechenden ¨außeren Maße.

Weiters setzeA{µ,σ} :=Aµ∩Aσ, und sei f die Radon-Nikodym Ableitung von µa nach σ. Dann gilt

1) µ^∗|_A{µ,σ} =µ^∗_s|_A{µ,σ}+µ^∗_a|_A{µ,σ}, sodass µ^∗_s|_A{µ,σ}⊥σ^∗|_A{µ,σ} , µ^∗_a|_A{µ,σ} σ^∗|_A{µ,σ}. 2) µ^∗_a(A) =

Z

A

f dσ^∗|_Aσ, A∈Aσ.

Beweis. Zuerst zeigen wir die absolut stetigen Teil. Sei A∈Aσ. W¨ahle Q∈ B mitQ⊇A und σ^∗(Q\A) = 0, seiS ∈ B mitS ⊇Q\A, und σ(S) = 0. Dann giltµa(S) = 0, µ^∗_a(Q\A) = 0.

Das heißt A∈A_µa, so folgt A_µa ⊇A_σ. Also, Z

Q\A

f dσ^∗|_Aσ = Z

S

f dσ =µ_a(Q) =µ^∗_a(A).

Es bleibt noch die Orthogonalit¨at zu zeigen.A_µ=A_µs∩A_µa impliziert, dassA_{µ,σ} =A_µs∩A_σ und µ^∗_s|_A{µ,σ} messbar sind. Nun w¨ahlen wir S∈ B mitµs(R^d\S) = 0,σ(S) = 0. Also

µ^∗_s(R^d\S) = 0 , σ^∗(S) = 0 undS ∈A_{µ,σ}, so folgtµ^∗_s|_A{µ,σ}⊥σ^∗|_A{µ,σ}.

2 Hardy-Littlewood Maximaloperator

Definition 2.1. Seiσ ein positives Borelmaß auf R^d und f ∈L¹(σ). Dann heißt Mσf :R^d→ [0,∞] Hardy-Littlewood Maximaloperator, wenn

(M_σf)(x) =









 sup

r>0

1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

|f|dσ , x∈supp(σ)

0 , x /∈supp(σ).

Lemma 2.2 (Lemma von Rising Sun). Sei F : [a, b]→ R eine stetige Funktion auf ein kom- paktes Interval [a, b], und sei U = {x ∈ (a, b)|∃y, F(y) > F(x), x < y < b}. Dann ist E eine offene Menge und kann man U als die Vereinigung der abz¨ahlbaren disjunkten nichtleeren offenen Intervalle bezeichnen, wie folgt

U =[

n

(an, bn), n∈N.

(F¨ur jedesn∈N, entweder F(an) =F(bn) oder F(bn)≥F(an) mit an=a).

Beweis. Wegen der Stetigkeit von F, ist U offen und k¨onnen wir U als die Vereinigung der abz¨ahlbaren disjunkten nichtleeren offenen IntervalleIn := (an, bn) mit an, bn ∈/ U bezeichnen.

Jetzt ist unsere BehauptungF(b_n)≥F(x), x∈(a_n, b_n). Machen wir die Widerspruchsannahme.

Sei F(b_n) < F(x) und sei A ein kompakte Teilmenge von [x, b_n], die aus ein Punkt y mit

F(y)≥F(x) besteht. Dann enth¨alt A x aber nicht b_n, und dazu hat es eine gr¨oßte Element z.

Weilz inU liegt, gibt es ein Punkty mitz < y < bundf(y)> f(z). Wir wissenb_n∈/U, sodass f(t)≤f(bn), bn≤t≤b. Also wegen f(y)> f(z)≥f(x)> f(bn), mussy in (z, bn) liegen. Das ist Widerspruch zu der Maximalit¨at von z. Daraus folgtf(b_n)≥f(a_n).

Nun denken wir 2. Fall. Sei a_n 6=a. Weil der Endpunkt a_n nicht inU liegt, existiert es ein Punkt y mit F(y) ≤ F(an) f¨ur alle an ≤ y ≤ b. Also erhalten wir F(bn) ≤ F(an), insgesamt F(b_n) =F(a_n). Wennf(x) =f(a_n) in einem inneren Punkt, dann giltf(y)≤f(x) ∀x < y < b.

Das ist Widerspruch zu x∈U.

Jetzt k¨onnen wir beweisen, die 1.dimensionale Hardy-Littlewood Maximalgleichung.

Theorem 2.3(1-dimensionale Hardy-Littlewood Maximalungleichung). Seiσdas 1-dimensionale Lebesgue Maß, und[a, b]ein kompaktes Interval. Dann gilt f¨ur jedes t >0

σ^∗({x∈[a, b] : sup

[x,x+h]⊂[a,b]

1 h

x+h

Z

x

|f|dσ > t})≤ 1 t

Z

R

|f|dσ, f ∈L¹. (1) Beweis. SeiF : [a, b]→RmitF(x) :=Rx

a |f|dσ−(x−a)t,t >0. WeilF stetig ist, k¨onnen wir Lemma von Rising Sun anwenden. Nach dieses Lemmas k¨onnen wir wenigstens ein abz¨ahlbares IntervalIn finden, d.h.,

{x∈[a, b] : sup

[x,x+h]⊂[a,b]

1 h

x+h

Z

x

|f|dσ > t} ⊂ [

x+h

In, t >0.

Und _h¹Rx+h

x |f|dσ > tkann alsF(x+h)> F(x) bezeichnen werden. Also wegenσ-Additivit¨at, hat die linke Seite von (1) eine Obereschranke P

n(bn−an). Andereseits gilt es R

In|f|dσ ≥ t(b_n−a_n), daF(b_n)−F(a_n)≥0. Daraus folgt

X

n

(bn−an) ≤ 1 t

X

n

Z

In

|f|dσ

≤ 1 t

Z

[a,b]

|f|dσ.

In h¨oheren Dimensionen, oder f¨ur andere Maße als λ, kann man diesen Theorem nicht mit dem Lemma von Rising Sun beweisen. Anstelle von dieses Lemmas, verwenden wir die Besicovitch ¨Uberdeckung Theorem.

Definition 2.4 (Besicovitch ¨Uberdeckung). Sei E ⊂R^d und sei F eine Familie abgeshlossner B¨alle mit beschr¨ankten Radien. Falls f¨ur jedes x∈E es einen Ball inF mit Mittelpunktxgibt, nennen wirF eine Besicovitch ¨Uberdeckung vonE. (Das heißt,Eist die Menge der Mittelpunkte der B¨alle aus F.)

Theorem 2.5 (Besicovitch ¨Uberdeckung Theorem). Sei E ⊂ R^d und sei F eine Besicovitch Uberdeckung von¨ E. Dann gibt es jeweils abz¨ahlbare Unterfamilien F_i ⊂ F (f¨ur i= 1,· · ·, C_N) mit folgenden Eigenschaften : Die B¨alle in jedem F_i sind disjunkt und die Unterfamilien zu- sammen ¨uberdecken E, d.h.,

E⊂

CN

[

i=1

[F_i⊂

CN

[

i=1

[

B∈Fi

B (2)

Beweis. Siehe Emmanuele DiBenedetto:Real analysis, 2002 Birkh¨auser Boston.

Theorem 2.6(n-dimensionale Hardy-Littlewood Maximalungleichung). Seiσ ein positives Bo- relmaß auf R^d, und seiC_N ∈Neine Konstant mit der Eigenschaft im Besicovitch ¨Uberdeckung Theorem. Dann gilt f¨ur jedes t >0

σ^∗({x∈R^d: (M_σf)(x)> t})≤ C_N

t kfk₁, f ∈L¹(σ). (3) Beweis. Siehe

Um dieses Theorem zu beweisen, brauchen wir folgenden Hilfssatz.

Hilfssatz 2.7. SeiXn∈ P(R^d) mitXn⊆Xn+1,∀n, d∈N. Dann gilt, µ^∗(

∞

[

n=1

X_n) = lim

n→∞µ^∗(X_n). (4)

Beweis. W¨ahle A_n ∈ B mit A_n ⊇ X_n und µ^∗(X_n) = µ(A_n). Nun sei B_n := T

k≥nA_k, n ∈ N. Dann giltB_n∈ B mitX_n⊆B_n⊆A_n undB_n⊆B_n+1. Folglich gilt

µ^∗(Xn) ≤

|{z}

Xn⊆Bn

µ(Bn) ≤

|{z}

Bn⊆An

µ(An) =µ^∗(Xn), d.h., µ^∗(Xn) =µ(Bn).

Daraus folgt µ(

∞

[

n=1

B_n) = lim

n→∞µ(A_n) =

|{z}

µ^∗(Xn)=µ(An)

n→∞lim µ^∗(X_n).

Jetzt wissen wir

∞

[

n=1

B_n⊇

∞

[

n=1

X_n, sodass µ^∗(

∞

[

n=1

X_n)≤µ^∗(

∞

[

n=1

B_n).

Also

µ^∗(

∞

[

n=1

Xn)≤ lim

n→∞µ^∗(Xn) =µ(

∞

[

n=1

Bn) =

|{z}

µ(Bn)=µ^∗(Xn)

µ^∗(

∞

[

n=1

Xn).

Beweis. (n-dimensionale Hardy-Littlewood Maximalungleichung)

Sei t > 0, R ∈ N, f ∈L¹(σ) und definieren wir Ft,R := {x ∈ R^d :kxk ≤ R,(Mσf)(x) > t} ⊆ supp(σ). Wennx∈F_t,Rist, k¨onnen wir einen Radiusr(x)>0 mit σ(B(x,r(x))¹

R

B(x,r(x))|f(t)|dt >

tw¨ahlen.

Nun definieren wir eine Familie F wie folgt,

F :={B(x, r), x∈F_t,R}.

Dann istFdie Besicovitch ¨Uberdeckung vonF_t,R. Außerdem gibt es abz¨ahlbare Unterfamili- enF₁,F₂,· · · ,F_CN vonF. JedesF_i bestehet aus disjunkten Kugeln undF_t,R⊆SCN

i=1

S

B∈FiB, F₁={B_n1},· · ·,F_CN ={B_nCN}.

Also

σ^∗(F_t,R) ≤ σ(

CN

[

i=1

[

B∈F_i

B) ≤

|{z}

Sub-σ-Additivit¨at CN

X

i=1

X

B∈F_i

σ(B)

<

|{z}

1 σ(B)

R|f(t)|>t CN

X

i=1

X

B∈Fi

1 t

Z

B

|f(t)|dσ= 1 t

CN

X

i=1

Z

S

B∈Fi

|f(t)|dσ

≤ C_N

t kfk₁. W¨ahle R→ ∞. Dann gilt

σ^∗({x∈R^d: (Mσf)> t}) = σ^∗([

R∈N

Ft,R) =

|{z}

(4)

R→∞lim σ^∗(Ft,R)≤ CN

t kfk₁. (5)

Definition 2.8(Lebesgue Punkt). Seiσ ein positives Borelmaß aufR^dundf :R^d→Cist eine Borel messbare Funktion mit R

|f|dσ <∞. Dann heißt x∈R^d Lebsgue Punkt von f bez¨uglich σ, wenn

r→0lim 1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

|f(y)−f(x)|dσ= 0, (6)

wobei B(x, r) ={y∈R^d:|x−y|< r} ist.

Theorem 2.9. Sei σ ein positives Borelmaß auf R^d und f ∈ L¹(σ). Dann geh¨ort die Menge aller Lebesgue Punkte von f bez¨uglich σ zu A_µ und

σ^∗({x∈R^d:x ist kein Lebesgue Punkt von f bez¨uglich σ}) = 0. (7) Beweis. Sei zuerst f stetig. Dann gilt,

1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

|f(y)−f(x)|dσ(y) ≤ 1

σ(B(x, r)) sup

y∈B(x,r)

|f(y)−f(x)| ·σ(B(x, r))

= sup

y∈B(x,r)

|f(y)−f(x)|

F¨urr→0 strebt die rechte Seite, und damit auch die linke, gegen Null.

Nun betrachten wir den allgemeinen Fall. Fixieren wir n ∈ N und w¨ahlen wir eine steti- ge Funktion hn mit kompakten Tr¨ager wie folgt, kf−hnk₁< ¹_n.

Sei g_n:=f −h_n. Dann gilt f¨ur jede x∈supp(σ), 1

σ(B(x, r)) Z

B(x,r)

|f(y)−f(x)|dσ(y)

≤ 1

σ(B(x, r)) Z

B(x,r)

|g_n(y)−g_n(x)|dσ(y) + 1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

|h_n(y)−h_n(x)|dσ(y)

≤ 1

σ(B(x, r)) Z

B(x,r)

|g_n(y)|dσ(y) +|g_n(x)|+ 1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

|h_n(y)−hn(x)|dσ(y)

≤ (M_σg_n)(x) +|g_n(x)|+ 1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

|h_n(y)−h_n(x)|dσ(y).

Also

(T f)(x) := lim sup

r→0

1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

|f(y)−f(x)|dσ(y)

≤ (Mσgn)(x) +|g_n(x)| (8)

und wegen (8), bekommen wir f¨urt >0

{x∈supp(σ) : (T f)(x)> t} ⊆ {x∈supp(σ) : (Mσgn)(x)> t

2} ∪ {x∈supp :|g_n(x)|> t 2}.

Nach der Formel (3),







σ^∗({x∈supp(σ) : (Mσgn)(x)> t

2})≤ 2CN

t kg_nk₁ ≤ 2CN

tn σ^∗({x∈supp(σ) :|g_n(x)|> t

2})≤ 2

t kg_nk₁ ≤ 2 tn

also insgesamt,

σ^∗({x∈supp(σ) : (T f)(x)> t})≤ 2(CN + 1) tn . Weil nbeliebig ist, wissen wir jetzt

σ^∗({x∈supp(σ) : (T f)(x)> t}) = 0 f¨urn→ ∞ und{x∈supp(σ) : (T f)(x)> t} ∈A_σ. Nun fomulieren wir{x∈supp(σ) : (T f)(x)>0}alsA:=S

l∈N{x∈supp(σ) : (T f)(x)> ¹_l}.

Dann giltσ^∗(A) = 0 und {x∈supp(σ) : (T f)(x)>0} ∈A_σ. Also

{x∈R^d: xist kein Lebesgue Punkt von f bez¨uglichσ}

= (supp(σ)^c∪ {x∈supp(σ) : (T f)(x) = 0}.

3 Symmetrische Ableitung vom positiven Maß

Definition 3.1.

1) Seien µ, σ positive Borelmaße aufR^d. F¨urx∈supp(µ)∪supp(σ) bezeichnen wir (Dσµ)(x) := lim

r&0

µ(B(x, r))

σ(B(x, r)) (9)

sofern dieses Grenzwert in[0,∞]existiert. Weiters sei Dne(µ, σ)Die Menge aller punkte die nicht insupp(µ)∪supp(σ) liegen, oder f¨ur die obigen Grenzwert nicht existiert. Die Funktion D_σµ:R^d\D_ne(µ, σ)→[0,∞] heißt symmetrische Ableitung von µbez¨uglich σ.

2) F¨ur die Teilmenge M ⊆[0,∞]definieren wir DM(µ, σ) als

D_M(µ, σ) := (Dσµ)⁻¹(M) ={x∈Dne(µ, σ)^c: (Dσµ)(x)∈M}.

Bemerkung 3.2. Weil die Abbildung f :

([0,∞]→[0,∞]

x 7→ x⁻¹

hom¨oomorph ist (da, 0⁻¹=∞und ∞⁻¹ = 0) k¨onnen wir uns folgende Darstellung herleiten.

Dne(µ, σ) =Dne(σ, µ), (Dσµ)(x) = (Dµσ)(x)⁻¹, ∀x∈Dne(µ, σ)^c. (10) Besonders, fallsM ⊆[0,∞]

DM(µ, σ) = {x: (Dσµ)(x)∈M}={x: 1

(Dσµ)(x) ∈M⁻¹}

= {x: (Dµσ)(x)∈M⁻¹}=D_M⁻¹(σ, µ). (11) Theorem 3.3. Seienσ undµpositive Borelmaße aufR^d. Dann gelten folgenden Eigenschaften.

1) Es giltµ^∗(D_ne(µ, σ)) =σ^∗(D_ne(µ, σ)) = 0.

2) Es existiert eine BorelmengeS0 mit Dne(µ, σ)∪D{∞}(µ, σ)⊆S0 und σ(S0) = 0, sodass Dσµ|

R^d\S₀ Borel messbar ist.

3)SeiD˜_σµ:R^d→[0,∞]eine Fortsetzung vonD_σµ. Dann istD˜_σµ A_µ,σ-messbar und geh¨ort zu L¹_loc(σ).

4) Es giltD_{∞}(µ, σ)∈A_µ,σ und µ^∗(D_{∞}(µ, σ)) = 0.

5) Die Lebesgue Zerlegung vonµ in einen bez¨uglich σ singul¨aren und absolut stetigen Teil ist gegeben durch

µ^∗(x) =µ^∗(x∩D_{∞}(µ, σ)) + Z

x

D_σµ dσ , x∈A_σ. (12)

Zuerst betrachten wir absolut stetigen Teil bez¨uglich σ und singul¨aren Teil bez¨uglich σ.

Beweis.

Seienµ,σpositive Borelmaße auf R^d. Dann kann man nach dem Satz 1.6µ=µs+µamitµs⊥σ ,µ_sσ bezeichnen und µ_a,µ_s sind Borel messbar.

Schritt 1.[Absolut stetiger Teil]

Sei f :R^d→[0,∞]. Dann giltµ_a(x) =R

xf dσ , x∈ B. Weilµendliche Werte auf kompak- ten Mengen hat, gilt esf ∈L¹(σ) und Borel messbar. Also f¨ur jedesR∈N, ist f·11_R auch aus L¹(σ).

Sei L_Reine Menge der Lebesgue Punkte von f·11_R. Jetzt w¨ahlen wir einde BorelmengeS_R mitσ(S_R) = 0,L^c_R⊆S_R und S :=S

R∈NS_R. Dann gilt, S ∈ B, (da,B ∪ B ∪ · · ·=B) σ(S) = 0, (da, σ(S_R) = 0) und S

R∈NL^c_R⊆S. (da, S

R∈NL^c_R⊆S

R∈NSR⊆S).

Nun sei x ∈ (R^d \S) ∩supp(σ) und w¨ahle R ∈ N mit R > kxk. Dann gilt f¨ur jedes r < R− kxk,B(x, r)⊆B(0, R) und (f·11R)(y) =f(y),∀y ∈B(x, r). Also

µ_a(B(x, r))

σ(B(x, r)) −f(x)

=

1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

f(y)dσ(y)− 1 σ(B(x, r))

Z

B(x,r)

f(x)dσ(y)

≤ 1

σ(B(x, r)) Z

B(x,r)

|f(y)−f(x)|dσ(y)

= 1

σ(B(x, r)) Z

B(x,r)

|(f ·11_R)(y)−(f ·11_R)(x)|dσ(y).

Falls r→0, wegen x∈S^c⊆L_R, wird rechte Seite 0 sein. Also bekommen wir (Dσµa)(x) =f(x) und R^d\(S∪(supp(σ))^c)⊆D_[0,∞](µa, σ), und Dσµa|_Rd\(S∪(supp(σ))^c) ist Borel messbar, weil f Borel messbar ist.

Zus¨atzlichDne(µa, σ)∪D_{∞}(µa, σ)⊆S∪(supp(σ))^c. (da, L^c_R⊆S⇒ Dne(µa, σ) ⊆S und D_{∞}(µ_a, σ)⊆(supp(σ))^c)

Also

Dne(µa, σ),D_{∞}(µa, σ),D_[0,∞)(µa, σ)∈Aσ, (da, S∪(supp(σ))^c∈Aσ) σ^∗(D_ne(µ_a, σ)) =σ^∗(D_{∞}(µ_a, σ)) = 0, (da, σ(S∪(supp(σ))^c) = 0) und µ_a(A) =

Z

A

D˜_σµ dσ,A∈ B. (Satz von Radon-Nikodym) Nach dem Satz 1.7.2), bekommen wir

D_ne(µ_a, σ),D_{∞}(µ_a, σ),D_[0,∞)(µ_a, σ)∈A_µa, µ^∗_a(Dne(µa, σ)) =µ^∗_a(D{∞}(µa, σ)) = 0, und µ^∗_a(A) =

Z

A

D˜σµadσ, A∈Aσ.

Schritt 2. [Singul¨arer Teil]

W¨ahle S∈ B mitσ(S) = 0,σ_s(R^d\S) = 0 und definieren wir Ek :={x∈S∩(supp(σ)∪supp(µs)) : lim inf

r→0

µ_s(B(x, r))

σ(B(x, r)) < k}, k∈N.

Und f¨ur jedes n ∈ N w¨ahlen wir eine offene Menge V_n mit S ⊆V_n und σ(V_n) < ¹_n. Wenn x ∈ E_k, existiert es ein Radius r_x,k,n > 0 mit ^µ_σ(B(x,r^{s(B(x,rx,k,n))}

x,k,n)) ≤ k und B(x, r_x,k,n) ⊆ V_n. Nun sei eine Familie F_k,n := {B(x, r_x,k,n) : x ∈ Ek} Besicovitch ¨Uberdeckung von Ek. Dann gibt es abz¨ahlbare Unterfamilien F_k,n¹ ,· · ·,F_k,n^CN von F_k,n und jedes F_k,n besteht aus punktweise disjunkte B¨alle mitE_k⊆

CN

[

i=1

[

B∈F_k,nⁱ

B. Also

µ^∗_s(E_k) ≤ µs(

CN

[

i=1

[

B∈F_k,nⁱ

B) ≤

|{z}

Sub-σ-Additivit¨at CN

X

i=1

X

B∈F_k,nⁱ

µs(B)

≤ k

CN

X

i=1

X

B∈F_k,nⁱ

σ(B) =

|{z}

B disjunkt

k

CN

X

i=1

σ( [

B∈F_k,nⁱ

B)

≤ k·CN·σ(Vn) (da, B⊆Vn)

≤ k·C_N

n (da, σ(V_n)< 1

n). (13)

Weiln∈Nbeliebig ist, bekommen wirµ^∗_s(Ek) = 0 und zus¨atzlichD{∞}(µs, σ)^c⊆S

k∈NEk∪ [(supp(σ))^c∩(supp(µ_s))^c], sodassµ^∗_s(D_{∞}(µ_s, σ)^c) = 0. Also

Dne(µs, σ), DM(µs, σ) mit∞∈/ M,D{∞}(µs, σ)∈Aµs, µ^∗_s(Dne(µs, σ)) =µ^∗_s(D_M(µs, σ)) = 0, ∞∈/M.

Nach der Bemerkung 3.2, k¨onnen wir σ^∗(D_{0}(µs, σ)^c) = σ^∗(D_{∞}(σ, µs)^c) = 0 wissen, sodass

D_{0}(µs, σ),D_M(µs, σ) mit 0∈/ M,Dne(µs, σ)∈Aσ, σ^∗(D_ne(µ_s, σ)) =σ^∗(D_M(µ_s, σ)) = 0, 0∈/M.

Wir haben schonµ^∗_s(D_{∞}(µ_s, σ)^c) = 0 gezeigt, also

µ^∗_s(x) = µ^∗_s([x∩D_{∞}(µs, σ)]∪[x∩D_{∞}(µs, σ)^c])

= µ^∗_s([x∩D{∞}(µs, σ)]) +µ^∗_s([x∩D{∞}(µs, σ)^c])

= µ^∗_s([x∩D_{∞}(µ_s, σ)]), x⊆R^d. (14)

Schritt 3. Nun beweisen wir das Theorem.

1) Nach dem Lebesgue Zerlegungsssatz, gilt es D_ne(µ, σ) ⊆ D_ne(µ_a, σ)∪D_ne(µ_s, σ) und we- genσ^∗(D_ne(µ_a, σ)) =σ^∗(D_ne(µ_s, σ)) = 0, erhalten wirσ^∗(D_ne(µ, σ)) = 0, undD_ne(µ, σ)∈A_σ. Also

µ^∗_a(D_ne(µ, σ)) = 0.

Und wir wissen schon Dne(µ, σ)⊆D_{∞}(µ, σ)^c⊆D_{∞}(µs, σ)^c, sodass µ^∗_s(Dne(µ, σ)) = 0. (da, µs(D{∞}(µs, σ)^c) = 0)

2) Es gelten die Voraussetzungen von S im ersten Schritt. W¨ahle eine Menge S⁰ ∈ B mit S⁰ ⊇D{0}(µs, σ)^c und σ(S⁰) = 0. Jetzt setzen wir S0 :=S∪(supp(σ))^c∪S⁰. Dann gilt S0 ∈ B und σ(S₀) = 0, daσ(S) =σ((supp(σ))^c) = σ(S⁰) = 0. Also bekommen wir (D_σµ_s)(x) = 0 f¨ur jedes x ∈ R^d\S₀, weil x ∈R^d\S₀ ⇒ x /∈ S₀ ⇒ x /∈ S⁰ ⇒ x /∈ D_{0}(µ_s, σ)^c ⇒ x /∈ D_σµ_s ⇒ (Dσµs)(x) = 0.

Daraus folgt,

(D_σµ)(x) = (D_σµ_a)(x) + (D_σµ_s)(x) = (D_σµ_a)(x), x∈R^d\S₀. Das heißt die Funktion nimmt endliche Maß und Borel messbar auf R^d\S₀ . 3) Es gelten die Voraussetzungen vonS₀ :=S∪(supp(σ))^c∪S⁰ von 2). Dann gilt

D˜_σµ|

R^d\S0 =D_σµ|

R^d\S0 =

|{z}

Satz von Radon-Nikodym

f|

R^d\S0.

Weil σ(S0) = 0 ist, bekommen wir P(S0) ⊆ Aσ und σ^∗(x) = 0, ∀x ⊆ S0. Also ˜Dσµ ist Aσ-messbar und geh¨ort zuL¹(σ). Und nach dem Satz von Radon-Nikodym, ist ˜DσµauchAσa- messbar.

Außerdem wissen wir schon, dass

{x∈R^d: ( ˜Dσµ)(x)6=∞} ⊆D{∞}(µ, σ)^c, (15) sodass ˜D_σµA_σs-messbar ist. Insgesamt ist ˜D_σµ A_σ-messbar.

4) Wir wissen, dass

D{∞}(µ, σ)⊆Dne(µa, σ)∪Dne(µs, σ)∪D{∞}(µa, σ)∪D{∞}(µs, σ).

Also k¨onnen wir herleiten, dass σ^∗(D{∞}(µ, σ)) = 0 und D{∞}(µ, σ)∈Aσ, sodass D_{∞}(µ, σ)∈Aµa.

Und wegen D_{∞}(µ, σ)^c⊆D_{∞}(µ_s, σ)^c, erhalten wir D_{∞}(µ, σ)∈A_µs.

Das heißt D_{∞}(µ, σ)∈A_µ, sodass insgesamt D_{∞}(µ, σ)∈A_{µ,σ}.

5) Im Schritt 1., haben wir schon gezeigt, dassµ_a(x) = R

x

D˜_σµ dσ, x∈ B, und diese Gleichung auch g¨ultig f¨ur jedes x∈Aσ ist. Als n¨achstes gilt es

µ^∗_s(x)≥µ^∗_s(x∩D_{∞}(µ, σ))≥µ^∗_s(x∩D_{∞}(µs, σ)) =

|{z}

(14)

µ^∗_s(x), x∈R^d.

Aber wegen σ^∗(x∩D{∞}(µ, σ)) =µ^∗_a(x∩D{∞}(µ, σ)) = 0,

µ^∗_s(x∩D_{∞}(µ, σ)) =µ^∗(x∩D_{∞}(µ, σ)), x⊆R^d.

Literatur

[1] Emmanuele DiBenedetto: Real analysis, 2002 Birkh¨auser Boston.

[2] W.Rudin:Real and Complex Analysis, International Edition, 3rd Edition, McGwaw-Hill 1987.

[3] Wolfgang Wertz: Mass- & Wahrscheinlichkeitstheorie, 2010, Institut f¨ur Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

[4] Rising sun lemma : Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Rising sun lemma