Hausaufgaben Mathematik Klasse 10

(1)

Mayr: Hausaufgaben Mathematik Klasse 10 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth

3

I

NHALTSVERZEICHNIS

Vorwort 5

Potenzen und Wurzeln

Zehnerpotenzen 6

Mit Potenzen rechnen 7

Potenzgesetze 8

Logarithmen berechnen 9

Wachstumsprozesse 10

Abnahmeprozesse 11

Geometrie

Volumen der Kugel 12

Oberfläche der Kugel 13

Zentrische Streckung 14

Strahlensätze 15

Kathetensatz 16

Höhensatz 17

Trigonometrie

Sinus 18

Kosinus 19

Tangens 20

Sinus, Kosinus, Tangens 21

Sinus, Kosinus, Tangens – Sachaufgaben 22

Lineare Funktionen und Gleichungen

Funktionsgleichungen ermitteln 23

Funktionsgleichungen lösen 24

Gleichungssysteme grafisch lösen 25

Gleichungssysteme rechnerisch lösen 26

Quadratische Funktionen und Gleichungen

Binomische Formeln 27

Normalparabel 28

Scheitelpunktform bei Normalparabeln 29

Scheitelpunkte von Normalparabeln bestimmen 30

Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen 31

Quadratische Gleichungen rechnerisch lösen – quadratische Ergänzung 32

Quadratische Gleichungen rechnerisch lösen – Lösungsformel 33

Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln 34

Schnittpunkte von Funktionen berechnen 35

Der Satz des Vieta 36

zur Vollversion

VORSC

HAU

(2)

Potenzen und Wurzeln

1.

Schreibe als Dezimalzahl.

a) 2,3 · 10^{– 4} b) 6,12 · 10⁶ c) 4,09 · 10³ d) 8,24 · 10^–5 e) 0,7 · 10⁸ f) 0,45 · 10⁷ g) 3,18 · 10⁹ h) 5,7 · 10^–10

2.

Notiere als Zehnerpotenz in der Standardschreibweise.

a) 12 500 b) 130 000 000 c) 6 080 000 d) 9 300 000 000 e) 0,0081 f) 0,000003 g) 0,0000408 h) 0,00705

3.

Ordne richtig zu.

A) 4,5 Millionen 1) 4,5 · 10⁹ D) 3,2 Milliardstel 1) 3,2 · 10^–9 B) 4,5 Milliarden 2) 4,5 · 10¹⁵ E) 3,2 Billionstel 2) 3,2 · 10^–6 C) 4,5 Billiarden 3) 4,5 · 10⁶ F) 3,2 Millionstel 3) 3,2 · 10^–12

4.

Das Licht legt in einer Sekunde 300 000 km zurück.

Wie lange braucht das Licht von der Erde bis zu dem Fixstern, der unserem Planetensystem am nächs- ten liegt, dem Alpha Centauri, wenn dieser 4,068 · 10¹³ km von der Erde entfernt ist? Runde das Ergeb- nis auf eine Dezimalstelle.

5.

Die Erde hat ein Gewicht von ca. 5,98 · 10²¹ Tonnen, die Sonne ein Gewicht von 1,99 · 10²⁷ Tonnen.

Wie viel Mal schwerer ist die Sonne im Vergleich zur Erde?

Runde auf volle Tausender.

6.

Ein Gold-Atom wiegt 3,29 · 10^–22 g und hat einen Radius von 1,442 · 10^–12 m.

a) Wie viele Atome befi nden sich in einem Ring mit einem Gewicht von 18 g?

b) Wie viele Goldatome passen aneinandergereiht auf eine Länge von 2 m?

Runde bei der Standardschreibeweise jeweils auf eine Dezimalstelle.

7.

^{In 1 mm}³ Blut befi nden sich ca. 6 250 weiße Blutkörperchen (= Mittelwert).

Ein Erwachsener besitzt ca. 6 Liter Blut.

a) Wie viele weiße Blutkörperchen besitzt er ungefähr?

b) Ein Blutkörperchen hat einen Durchmesser von 7,5 · 10^–6 m. Wie viele Meter lang wäre das Band, wenn man alle weißen Blutkörperchen eines Menschen aneinanderlegen würde?

c) In einem cm³ Blut befi nden sich ca. 5 · 10⁹ rote Blutkörperchen. Wie viel Mal mehr rote als weiße Blutkörperchen befi nden sich im Blut eines Menschen?

Verwende die gleiche Maßeinheit.

Lösungen zu 4 – 7 4,3

5,5 · 10²²

800 3,75 ·10¹⁰

28 1250 6,9 · 10¹¹ 333 000

Berechne zunächst, welche Entfernung das Licht in einem Jahr zurücklegt.

Z

EHNERPOTENZEN

6

zur Vollversion

VORSC

HAU

(3)

1.

Eine Stadt hat 68 000 Einwohner.

In den nächsten 5 Jahren soll die Zahl der Einwohner jährlich um 2,8 % steigen.

Wie viele Einwohner hat die Stadt voraussichtlich in 5 Jahren?

2.

Frau Mühlenbeck legt bei ihrer Bank einen Betrag von 20 000 € zu einem Zinssatz von 2,5 % an.

Auf welchen Betrag ist ihr angelegtes Geld nach Ablauf der vereinbarten Laufzeit von 4 Jahren mit Zins und Zinseszinsen angewachsen?

3.

In welcher Zeit verdoppelt sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 3,5 %?

4.

Eine Stadt hat 91 802 Einwohner.

In den letzten 4 Jahren stieg die Einwohnerzahl jährlich um 3,5 %. In den nächsten 10 Jahren wird sie voraussichtlich jährlich um 0,5 % weniger steigen.

a) Wie viele Einwohner hat die Stadt voraussichtlich in 10 Jahren?

b) Wie viele Einwohner hatte die Stadt vor 4 Jahren?

c) Wie hoch ist das durchschnittliche Wachstum der Bevölkerung im gesamten erfassten Zeitraum?

d) Begründe, warum dein Ergebnis der Aufgabe 4c) richtig sein kann.

5.

Die Betreiber einer Skiliftanlage konnten ihren Umsatz innerhalb der letzten 3 Jahre bei einer durchschnittlichen Steigerung von 4,5 % auf 1 511 928 € steigern.

a) Wie hoch war der Umsatz vor 3 Jahren?

b) Wie hoch war der Umsatz vor 8 Jahren, wenn die Steigerung in den ersten 5 Jahren 2 % pro Jahr betrug?

c) Um wie viel Prozent ist der Umsatz gegenüber dem ersten Jahr angewachsen?

6.

Der Umsatz eines Autozulieferers stieg seit Firmengründung bei einer Wachstumsrate von durch- schnittlich 8,5 % von 150 000 € auf 244 720 € pro Quartal.

a) Welchen Umsatz erzielt der Autozulieferer heute jährlich?

b) Vor wie vielen Jahren wurde die Firma gegründet?

7.

Eine Firma möchte ihre Produktionszahlen bei einer Steigerung von jährlich 26 % vervierfachen.

Nach wie vielen Jahren wird dies möglich sein?

8.

Ergänze anhand der Rechnung den Text der Aufgabenstellung.

n = log 7,69 : log 1,12 n ≈ 18 Jahre

Ein Gemälde mit einem Wert von 20 000 € erzielte eine Wertsteigerung von jährlich _____ %. Wie lange hatte es der Sammler in seinem Besitz, wenn er das Gemälde zu einem Preis von _______________ € verkaufte?

Das Ergebnis ist eine runde Zehnerzahl.

Aufgabe 6 und 7 ergeben gleich viele Jahre.

W

ACHSTUMSPROZESSE

10

123 374 26

1 200 000 3,1

78 068 22 076,26 Lösungen zu 1, 2, 4 und 5

1 324 897

80 000 Potenzen und Wurzeln

zur Vollversion

VORSC

HAU

(4)

14

Z

ENTRISCHE

S

TRECKUNG

1.

Vergrößere das abgebildete Dreieck mit dem Streckungsfaktor 3.

Das Streckungszentrum liegt bei (0|0).

2.

Vergleiche die beiden entstandenen Dreiecke und

a) begründe die Formel A' = A · k² anhand der beiden Dreiecke.

b) beurteile die folgenden Aussagen mit „richtig“ (r) oder „falsch“ (f).

AB || A'B' BC = B'C' ^\ ACB = ^\ A'C'B'

h_c : h_c' = 1 : 3 A (A'B'C') = A (ABC) · 9

b = a' A'C' : 3 = AC AB || A'C'

3.

Ein Bild der Größe 32 cm x 20 cm wird gerahmt.

Der Rahmen ist 4 cm breit.

Sind ungerahmtes und gerahmtes Bild zueinander ähnlich? Überprüfe durch Rechnung.

4.

Der Radius eines Kreises wird mit einem Faktor k vergrößert.

Die entstandene Fläche beträgt nun 63,585 cm². Berechne den Streckungsfaktor, wenn der Durchmes- ser des ursprünglichen Kreises 6 cm betrug.

Zeichne die beiden Kreise in der Originalgröße.

Drei Aussagen sind falsch.

Beachte das Verhältnis der Seiten.

Eine Skizze ist immer hilfreich.

Geometrie

A B

C

zur Vollversion

VORSC

HAU

(5)

18

S

INUS

Trigonometrie

1.

Gib sin a und sin b durch den Quotienten der Seiten an.

a) b) c)

a b

c

α β

b a

c

β γ

β α

g f

e

2.

Bestimme jeweils den Sinuswert.

Runde auf 4 Stellen nach dem Komma.

a) a = 20o b) a = 35o c) a = 70o d) a = 85o e) a = 6,4o f) a = 26,8o g) a = 51,3o h) a = 75,2o

3.

Bestimme jeweils den Winkel a.

Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

a) sin a = 0,5 b) sin a = 0,788 c) sin a = 0,866 d) sin a = 0,891 e) sin a = 0,3173 f) sin a = 0,7443 g) sin a = 0,9367 h) sin a = 0,999

4.

Konstruiere ein Dreieck mit c = 8 cm, a = 90o und b = 4 cm.

a) Berechne zunächst die Länge der fehlenden Seite.

Runde auf eine Dezimalstelle.

b) Berechne anschließend die Größe der fehlenden Winkel.

A c B

zur Vollversion

VORSC

HAU

(6)

S

INUS

, K

OSINUS

, T

ANGENS

– S

ACHAUFGABEN

Fertige für alle Aufgaben eine Skizze. Runde jeweils auf eine Dezimalstelle.

1.

An einer Hauswand lehnt in einem Winkel von 65o eine 7 m lange Leiter.

a) Wie hoch reicht die Leiter?

b) Wie weit ist das Fußende der Leiter von der Wand entfernt?

2.

Paul will senkrecht auf das gegenüberliegende Ufer eines 30 m breiten Flusses schwimmen.

Die Strömung treibt ihn allerdings in einem Winkel von 22o ab.

a) Wie viele Meter muss er schwimmen?

b) Wie viele Meter vom ursprünglich gedachten Ziel entfernt erreicht er das Flussufer?

3.

Berechne den Flächeninhalt des gleichschenkligen Trapezes.

52°

30 m

44 m

4.

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat eine Körperhöhe von 12 cm und einen Neigungs- winkel (h_a; a) von 58o.

Berechne … a) die Oberfläche.

b) das Volumen der Pyramide.

a hK

a ha

5.

Ein Schiff wird von zwei Leuchttürmen angepeilt.

Die Entfernung zwischen den beiden Leuchttürmen beträgt 32 km. Der Winkel, unter dem das Schiff von Leuchtturm A zu sehen ist, beträgt 78o, der Winkel, unter dem das Schiff von Leuchtturm B zu sehen ist, beträgt 52o.

a) Ergänze die Skizze und trage ein, welche geometrische Größe du zur Berechnung noch benötigst.

b) Wie weit ist das Schiff von Leuchtturm A entfernt?

c) Wie weit ist das Schiff von Leuchtturm B entfernt?

d) Welche Frage könnte man bei dieser Aufgabe noch stellen?

Gib die Lösung an.

a b

32 km

32,92 12,1

32,4 6,3

651 900

Lösungen zu 1–4, 5b, 5c

40,86

333 2,9

Trigonometrie 22

zur Vollversion

VORSC

HAU

(7)

Quadratische Funktionen und Gleichungen 27

B

INOMISCHE

F

ORMELN

1.

Berechne nach den binomischen Formeln.

a) (x + 4)(x + 4) b) (6 + c)² c) (a + 3)(a + 3)

d) (b – 1)(b – 1) e) (y – 7)² f) (5 – f)(5 – f)

g) (a + b)(a – b) h) x² – y² i) (2 + c)(2 – c)

2.

Notiere vollständig.

a) (a + 6)² = a² + ____ + 36 b) (7 + x)² = ___ + 14x + x² c) (x + y)(____) = x² – y² d) (__ + 4)(__ – 4) = b² – 16 e) (____)² = c² – 6 c + 9 f) (__ – m)² = ___ – 26 m + ___

3.

Schreibe mit Klammern.

a) x² – x + _ ¹

4 b) 16a² + 4ab + ¹_

4 b² c) 2,25x² – 6x + 4 d) e² + ef – ef – f² e) ¹_

9 a² + ¹_ 3 ab + ¹_

4 b² f) 1,44x² – 12xr + 25r²

4.

Hier sind Fehler enthalten.

Berichtige.

a) x² + ¹_ 2 xy + _ ¹

16 y² =

(

^{x +}¹^_4 y

)

²

b) (a + f)(a – f) = a² + f²

c) (7a – 2b)² = 49a² + 28ab + 4b² d)

(

¹^_2 a² + 4y

)

²⁼¹^_4 a² + 4ay + 16y² e) ( Î_w3 + 7x)² = 3 + 14 Î_w3 + 49x² f) (a³ + b^{– 4} ) ² = a⁶ + 2a³b^{– 4} + b^–8

5.

Die Gemeinde Berghofen bietet im Neubeugebiet u. a. ein quadratisches Baugrundstück zum Kauf an.

Herr Wenzel fragt nach, ob es bei der Planung möglich wäre, das Grundstück auf jeder Seite um 2 Me- ter zu verlängern, weil er gerne ein großes Grundstück erwerben möchte. Diese Verlängerung würde 124 m² zusätzliche Grundstücksfl äche bedeuten.

a) Wie groß war das ursprüngliche Grundstück?

b) Wie viel muss er für das Grundstück bezahlen, wenn die Gemeinde für den Quadratmeter 120 € verlangt?

6.

Löse die Gleichungen.

a)

(

^Î^w^{2 x}²⁺¹^_4

)

²^{+ 7x}⁴^{+ 0,9375} ^b)

[

(

^_¹2 x – 0,5y

)

²

]

· 4 + 2xy – 0,5y² c)

[ (

Îww 25 + 0,5x

)

(

Îww 25 – 0,5x

) ]

· 2^–3 d)

(

³^Îw 8 – 8a

)

² : 2^–2

Es gibt 4 Fehler.

zur Vollversion

VORSC

HAU

(8)

Q

UADRATISCHE

G

LEICHUNGEN RECHNERISCH LÖSEN

–

QUADRATISCHE

E

RGÄNZUNG

1.

Löse die folgende Gleichung und überprüfe die Lösung.

(a + 5) · (a – 5) = 119 → ______________________

______________________ ______________________

______________________ → ______________________

______________________ ______________________

2.

Löse mithilfe der binomischen Formeln.

a) x² – 16x + 64 = 0,49 b) a² + 6a + 9 = 81 c) 0,2a² – 2,4a + 7,2 = 5 d) 4y² + 20y + 25 = 121

3.

Löse mithilfe der quadratischen Ergänzung und überprüfe die Lösung durch Probe.

x² + 12 x + 20 = 0 → x² + 12x + 20 = 0

→ x² + 12x + 20 = 0

4.

Führe die quadratische Ergänzung durch und löse die Gleichungen.

a) 0,5x² + 7x + 20 = 0 b) a² + 7a = 137,8125 c) 1 _

4 a² + 0,5a – 168,9375 = 0 d) 0,25x² + x = 168 e) 7y² – 84y + 252 = 7 f) –3x² + 18x + 21 = 0

5.

Finde den Fehler und berichtige.

(

^_₁₆¹^x⁴^–^_¹₄^x²^{+ ____}

)

^{= 4}^–2

(

^_16¹ x⁴ – _ 1

4 x² + __

)

^{= 4}^–2

(

^_16¹ x⁴ – _ 1

4 x² + _ 1

16

)

^–^_16¹ = _ 1

16 ___________________________

(

¹^_4 x² – 1 _

4

)

²⁼^_16¹ + _ 1

16 ___________________________

Lösungen zu 2 – 4 11|1

7|5

3|–8 8,75|–15,75

6|–12 7|–1 28|–24 –2|–10

8,7|7,3 – 4|–10

25,5|–26,5

Quadratische Funktionen und Gleichungen 32

zur Vollversion

VORSC

HAU

(9)

Beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeit 37

S

TATISTISCHE

K

ENNWERTE

1.

Bestimme Mittelwert, Zentralwert und Spannweite der größten Förderländer.

2.

Bestimme Mittelwert, Zentralwert und Spannweite der größten Verbraucher.

3.

Eine große Buchhandlung will für ihre Statistik die Verkaufszahlen in ihrer Romanabteilung fest- stellen.

Dazu lässt der Geschäftsführer die Romane in bestimmte Gattungen einteilen und die Verkäufe notieren.

Std. Kriminal- romane

Historische Romane

Liebes- romane

Klassische Romane

Fantasy

1 84 61 56 39 40

2 114 89 44 31 28

3 140 78 63 42 38

4 179 102 54 55 43

5 133 95 73 48 46

a) Bestimme die absolute Häufigkeit der einzelnen Gattungen in der jeweiligen Stunde.

b) Bestimme jeweils den Mittelwert der jeweiligen Stunde.

c) Bestimme den Mittelwert der jeweiligen Gattung.

d) Bestimme die relative Häufigkeit der Kriminalromane in Bezug auf die insgesamt verkauften Exem- plare in der ersten Stunde. Runde auf ganze Prozent.

e) Bestimme die relative Häufigkeit aller verkauften historischen Romane in Bezug auf die Gesamt- menge der verkauften Romane. Runde auf ganze Prozent.

4.

Finde selber weitere Aufgaben zu der Verkaufsstatistik.

Lösungen zu 1 – 3 24

226,8

236,3 376 72,2

61,2 130 86,6

39 56 43

741 172,5 58

85

79 121 30

zur Vollversion

VORSC

HAU

(10)

Beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeit

K

OMBINATORIK

, A

NORDNUNGEN UND

F

AKULTÄT

1.

Bei einem Pferderennen gehen 10 Pferde an den Start.

Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Zieleinlauf?

2.

Eine Fußballmannschaft läuft bei Spielbeginn auf den Platz.

An der ersten Stelle läuft immer der Kapitän der Mannschaft, anschließend kommt der Torwart.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten bieten sich einer Fußballmannschaft, in verschiedener Reihen- folge einzulaufen?

3.

Max hat sich ein Fahrradschloss gekauft.

Hier kann eine vierstellige Zahl eingestellt werden, um das Schloss zu öffnen. Jedes Rädchen umfasst die Ziffern von 0 bis 9.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, das Schloss einzustellen?

b) Jemand macht sich unbefugterweise an dem Schloss zu schaffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein potentieller Dieb bei 50 Versuchen das Schloss knackt?

Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch und in Prozent an.

4.

An einer Quizsendung im Fernsehen nehmen acht Personen teil.

Zwei Frauen und sechs Männer wählen nacheinander einen Platz.

Quizmaster

a) Wie viele verschiedene Sitzordnungen sind möglich, wenn sich jede Person einen beliebigen freien Platz aussucht?

b) Wie viele verschiedene Sitzordnungen sind möglich, wenn die beiden Frauen unmittelbar links und rechts neben dem Quizmaster sitzen sollen?

5.

Stelle zu den folgenden beiden Bildern eine passende Aufgabe

a) zum Thema Produktregel b) zum Thema Fakultät.

Lösungen zu 1 – 4 0,5

3 628 800 362 880

1 440 10 000

40 320

40

zur Vollversion

VORSC

HAU

(11)

Prüfungsaufgabe zum Erwerb des mittleren Bildungsabschlusses 45

P

RÜFUNGSAUFGABEN

4 G

EOMETRIE

: S

TRAHLENSÄTZE

9.

Für die folgende Zeichnung gilt: g₁||g₂||g₃.

a

m d

b

e

f

c

g₁

g₂

g₃ n

h

Übertragen Sie die folgenden Aufgaben auf Ihr Lösungsblatt und ersetzen Sie die Platzhalter so, dass die Gleichungen die Streckenverhältnisse richtig wiedergeben.

(1) m : n = ______ : c

(2) f : _____ = (e + d ) : (b + a) (3) _____ : f = h : n

(4) m : b = h : _____

4 P

insgesamt 45 Punkte