Konstruieren von Figuren

(1)

1 Mittelsenkrechte konstruieren 2 Parallele konstruieren

3 Winkelhalbierende konstruieren 4 Kongruenzsätze für Dreiecke 5 Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite

konstruieren

6 Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren

7 Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren

8 Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren

9 Vermischte Übungen zu Dreiecke konstruieren

10 Mittelsenkrechte in Dreiecken 11 Winkelhalbierende in Dreiecken 12 Höhen in Dreiecken

13 Seitenhalbierende in Dreiecken 14 Vermischte Übungen zu besonderen

Linien

15 Unregelmäßige Vierecke konstruieren 16 Rechtecke und Quadrate konstruieren 17 Parallelogramme und Trapeze konstruieren 18 Rauten und Drachenvierecke konstruieren 19 Vermischte Übungen zu Vierecke

konstruieren

20 Lernzielkontrolle zum Konstruieren (1) 21 Lernzielkontrolle zum Konstruieren (2)

ab Seite 22 Lösungen

Zu einigen wenigen Aufgaben liegen keine Lösungen vor, da hier die Kontrolle durch die Lehrkraft erfolgen sollte.

Inhaltsverzeichnis

Grundwissen Ebene Geometrie

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(2)

Mittelsenkrechte konstruieren

Info

In der Geometrie unterscheidet man zwischen (echtem) Konstruieren und Zeichnen. Beim Zeich- nen verwendet man Hilfsmittel, z. B. das Geodreieck. (Echte) Konstruktionen werden ausschließ- lich mithilfe von Zirkel und Lineal gemacht.

Aufgabe 1

Befolge die Arbeitsanweisungen.

(1) Zeichne bei den Strecken jeweils einen Kreisbogen um beide Eckpunkte, dessen Radius größer als die (geschätzte) Hälfte der Strecke ist.

(2) Zeichne eine Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen.

(3) Nenne den Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken M.

(4) Miss die Länge der Strecken und Teilstrecken und gib ihre Längen an.

AB = ____, AM = ____, BM = ____ CD = ____, CM = ____, DM = ____

(5) Was stellst du fest?

(6) Miss die Winkel am Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken und beschreibe, was dir auffällt.

Aufgabe 2

Die Geraden, die du bei Aufgabe 1 konstruiert hast, werden als Mittelsenkrechte bezeichnet. Zeichne folgende Strecken und konstruiere die Mittelsenkrechten.

a) 6 cm b) 3,6 cm c) 48 mm d) 1 dm

Aufgabe 3

Beschreibe, wie man ohne zu Messen den Mittelpunkt einer 8 cm langen Strecke finden kann.

A

✕

B

✕

✕✕

C

D

M

✕ ✕

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(3)

Michael Körner: Konstruieren von Figuren

Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren

Aufgabe 1

Ben hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion zwei Fehler gemacht. Finde diese, indem du Bens einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Notiere anschließend die gegebenen Stücke (Seiten und Winkel) und konstruiere das Dreieck richtig in deinem Heft.

Konstruktionsbeschreibung

(1) Mache dir eine Planfigur, d. h. eine Skizze, in der die bekannten Stücke des Dreiecks farbig gekennzeichnet sind.

(2) Zeichne die Strecke c = 3 cm.

(3) Benenne die Eckpunkte mit A und B.

(4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius b = 2 cm.

(5) Trage den Winkel a = 80° an A ab.

(6) Bezeichne den Schnittpunkt des zweiten Schenkels von a mit dem Kreis(bogen) mit C.

(7) Verbinde B mit C.

(8) Bezeichne die Strecke AC mit b und die Strecke BC mit a.

(1) (2) und (3) (4)

(5) und (6) (7) und (8)

Bens Fehler:

Gegebene Stücke:

Aufgabe 2

Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Seiten und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur.

a) b = 5 cm; c = 3,5 cm; a = 60° a = _____ b = _____ g = _____

b) a = 4,8 cm; c = 6,2 cm; b = 110° b = _____ a = _____ g = _____

c) a = 5,6 cm; b = 7,2 cm; g = 58° c = _____ a = _____ b = _____

✕ ✕

A

B c

C

80˚

b

✕

✕ ✕

A

B c

C

80˚

b

✕

A^✕ B

C

✕

α β✕

γ

✕ ✕

A B

✕ ✕

A B

c C c

b

a

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(4)

Vermischte Übungen zu Dreiecke konstruieren

Aufgabe 1

a) Woran kannst du erkennen, dass man das Dreieck aus den gegebenen Längen konstruieren kann?

b) Zeichne wenn möglich die Dreiecke und gib die fehlenden Winkel an.

Aufgabe 2

Gib jeweils den Kongruenzsatz an und konstruiere die Dreiecke. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Benenne auch die Dreiecksart.

a) a = 5,2 cm; c = 6,4 cm; g = 56° b) b = 3,4 cm; c = 4,6 cm; a = 45°

Kongruenzsatz: ________________ Kongruenzsatz: ________________

b = ____ a = ____ b = ____ a = ____ b = ____ g = ____

Dreiecksart: ___________________ Dreiecksart: ___________________

c) a = 6,6 cm; b = 60°; g = 60° d) a = 3 cm; b = 4 cm; c = 5 cm

Kongruenzsatz: ________________ Kongruenzsatz: ________________

b = ____ c = ____ a = ____ a = ____ b = ____ g = ____

Dreiecksart: ___________________ Dreiecksart: ___________________

Aufgabe 3

Familie Bettner möchte über ihren Gartenteich eine Brücke bauen.

Wie lang müssen die Bretter sein, damit sie die Brücke bauen können?

Achtung: Die Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht.

Aufgabe 4

Konstruiere die Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). Gib näherungsweise die Koordinate des fehlenden Punktes an und miss die fehlenden Stücke.

a) A(5 | 2) B(9 | 4) a = 2,8 cm b = 4,5 cm

C(___ | ___) c = _____ a = _____ b = _____ g = _____

b) A(6 | 2) C(1 | 5) a = 37° g = 65°

B(___ | ___) a = _____ b = _____ c = _____ b = _____

Seite a Seite b Seite c (1) 7,5 cm 3,9 cm 3,4 cm (2) 5,2 cm 4,3 cm 8,1 cm

(3) 34 mm 59 mm 35 mm

(4) 84 mm 31 mm 53 mm

22˚

Garten- teich 9 m

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10 m

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(5)

Seitenhalbierende in Dreiecken

Info

Als Seitenhalbierende in Dreiecken werden die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den ge- genüberliegenden Seitenmitten bezeichnet.

Aufgabe 1

a) Konstruiere jeweils die Seitenhalbierenden der Dreiecke.

b) Was stellst du fest?

Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken Bei rechtwinkligen Dreiecken

Aufgabe 2

a) Zeichne die gegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft.

b) Konstruiere jeweils die Seitenhalbierenden und gib (näherungsweise) die Koordinate des Schnitt- punktes S der Seitenhalbierenden an.

(1) A(7 | 3) B(8 | 6) C(2 | 3) S(___ | ___) (2) A(–3 | 2) B(–3 | –2) C(3 | –2) S(___ | ___) (3) A(–2 | 6) B(–6 | 6) C(–4 | –2,5) S(___ | ___)

Aufgabe 3

Den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bezeichnet man als Schwerpunkt des Dreiecks. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Schwerpunkt und gib die Län- ge der Seitenhalbierenden an.

a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90° sa = _____ sb = _____ sc = _____

b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm sa = _____ sb = _____ sc = _____

c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° sa = _____ sb = _____ sc = _____

A

✕

B C

✕ ✕ A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

•

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(6)

Parallelogramme und Trapeze konstruieren

Info

In Parallelogrammen und Trapezen wird der Abstand der jeweils zueinander parallelen Seiten als Höhe bezeichnet.

Aufgabe 1

Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich ein Parallelogramm ergibt. Gib auch die Koordinate von A an.

a) A(___ | ___) b) A(___ | ___) c) A(___ | ___)

Aufgabe 2

Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Länge der Höhen durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen die Eigenschaften der Figuren benutzen.

a) Parallelogramm mit a = 5 cm, b = 3 cm und a = 50°

b) Parallelogramm mit a = 6 cm, ha = 4 cm und b = 73°

c) Trapez mit a = 3cm, b = 3,8 cm, c = 4,6 cm und b = 56° a || c d) Trapez mit a = 4 cm, d = 3,2 cm, a = b = 103° a || c

Aufgabe 3

Konstruiere die Parallelogramme in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). Gib näherungsweise die Koordinaten der fehlenden Punkte an und miss die fehlenden Stücke.

a) A(–2 | –3) B(4 | –3) b = 5 cm f = 9 cm

C(___ | ___) D(___ | ___) e = _____ a = g =____ b = d = ____

b) B(6 | –3) C(6 | 2) a = 8 cm d = 65°

A(___ | ___) D(___ | ___) e = _____ f = _____ a = g =____ b = ____

1 2 3 4

–1 –2 –3 –4

1 2 3 4

–1 –2 –3 –4

D

x y

B✕

✕C

✕

1 2 3 4

–1 –2 –3 –4

1 2 3 4

–1 –2 –3 –4 D

x y

✕B C✕

✕

1 2 3 4

–1 –2 –3 –4

1 2 3 4

–1 –2 –3 –4

D

x y

✕ B

✕C

✕

✕ ✕

✕

✕ ✕

D C

B A

a

a ha

hb

b b

✕

✕ ✕

D ✕C

A ^a B

h b

d c

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(7)

46 Lernzielkontrolle zum Konstruieren (2)

Aufgabe 1

Beschreibe, wie man ohne zu Messen einen Winkel von 45° konstruieren kann.

Aufgabe 2

Konstruiere die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen.

a) a = 7 cm; b = 4 cm; rUmkreis = 5 cm c = _____; a = _____; b = _____; g = _____

b) a = 5 cm; b = 4 cm sa = 4,5 cm c = _____; a = _____; b = _____; g = _____

Aufgabe 3

Erkläre, warum in einem Dreieck die Seitenhalbierende einer Seite nie kleiner sein kann als die zu der Seite gehörende Höhe.

Aufgabe 4

Konstruiere jeweils den Inkreis und gib seinen Radius an.

a) Quadrat mit f = 6,8 cm rInkreis = _____

b) Raute mit a = 2,8 cm und g = 50° rInkreis = _____

Aufgabe 5

Welche Bedingungen müssen mindestens erfüllt sein, damit a) zwei Quadrate zueinander kongruent sind?