ETHZ, D-MAVT
Basisprüfung Lineare Algebra Winter 2011
Prof. Ö. Imamoglu
Wichtige Hinweise
• Zweistündige Prüfung.
• Erlaubte Hilfsmittel: 20 A4-Seiten eigene Notizen. Taschenrechner sind NICHT erlaubt.
• Begründen Sie jeweils Ihre Aussagen. Nicht motivierte Lösungen werden nicht akzeptiert!
—- • —-
1. [10 Punkte]SeiA= a(1) a(2)a(3)a(4) a(5) a(6)
. Wobei
a(1) =
−1 1 −3 −1>
, a(2) =
1 0 0 1 >
, a(3) =
0 −1 3 0>
, a(4) =
−2 0 0 2>
, a(5) =
−8 4 −12 −8>
, a(6) =
17 6 −23 −3>
a) Bringen Sie Amit dem Gaussverfahren auf Zeilenstufenform und wählen Sie aus den obigen Vektoren eine Basis fürR4.
b) Bestimmen Sie eine Basis von BildAund KernA.
c) Sei eine invertierbare MatrixB und ein Vektor v in MATLABbereits gegeben. Geben Sie die nötigen MATLAB-Statements ein, um das lineare GleichungssystemBx=vnachxaufzulösen.
2. [10 Punkte]Gegeben sei
A=
1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume von A. Geben Sie jeweils die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten an.
b) IstAdiagonalisierbar? Falls ja, geben Sie eine MatrixT und eine DiagonalmatrixDan, so dass D=T−1AT gilt.
Bitte wenden!
3. [8 Punkte]Gegeben sei die Matrix
B =
1 α 1 +α 2 2α 2 +β 1 β 1 +α
, wobeiα, β ∈R. a) Für welcheα, β ∈RistB invertierbar?
b) Berechnen SieB−1 fürα = 0,β = 1.
c) Bestimmen Sieα, β ∈Rso, dass0ein Eigenwert vonB ist mit geometrischer Vielfachheit2.
4. [10 Punkte]Gegeben sei das Differentialgleichungssystem 1. Ordnung y˙ =A y, wobei
A=
0 1 0 1 3 3 0 3 0
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung mit der Transformationsmethode.
b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen: y(0) =
−3 0 1
c) Bestimmen Sie alle möglichen Anfangsbedingungeny(0) =
y1(0) y2(0) y3(0)
, für welche die zugehö-
rigen Lösungeny(t) =
y1(t) y2(t) y3(t)
gegen
−3 0 1
streben fürt→+∞.
5. [10 Punkte]SeiP2 der reelle Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich2.
SeiB=
b(1) := 1 + 3x, b(2) := 1−3x, b(3) :=x+x2 . a) Begründen Sie, warumBeine Basis vonP2ist.
b) Folgendes Skalarprodukt sei aufP2 gegeben:
(f, g) := 1 2
Z 1
−1
f(x)g(x)dx
Wenden Sie das Gramschmidt-Verfahren an, um ausB(in der oben angegebenen Reihenfolge) eine orthonormale Basis (im Bezug zu dem obigen Skalarprodukt) zu bestimmen.
Viel Erfolg!
