Hundealter
Stand: 16.02.2022 Jahrgangsstufen FOS 13 (NT), BOS 13 (NT)
Fach Mathematik
Übergreifende Bil- dungs- und Erzie- hungsziele
Sprachliche Bildung
Benötigtes Material vorbereitete Hilfekärtchen bzw. Smartphone mit QR-Code- Scanner
Kompetenzerwartungen
Lehrplan Mathematik FOS 13/BOS 13 (nichttechnische Ausbildungsrichtungen) LB 3 Die Schülerinnen und Schüler …
modellieren den logarithmischen Zusammenhang zweier Größen (auch zur Basis ) in anwendungsorientierten Problemstellungen durch geeignete Funktionen, um Aussa- gen über Eigenschaften und die Entwicklung einer der beiden betrachteten Größen in Abhängigkeit der jeweils anderen Größe zu treffen. Die Logarithmusfunktionen zur Basis stellen sie dabei auch mithilfe der -Funktion dar.
Aufgabe
Für die allermeisten Hundebesitzer ist der Freund auf vier Pfoten ein vollwertiges Familien- mitglied. Daher interessiert auch der Zusammenhang zwischen dem Alter des Hundes und dem Menschenalter ganz besonders. Schon lange ist bekannt, dass die Faustformel „Alter des Hundes mal 7 = Menschenalter“ nicht stimmt.
Im Jahr 2019 entwickelten Genetiker und Biologen der University of California San Diego eine neue Formel für die Umrechnung des Hundealters in das
entsprechende Menschenalter. Das Forscherteam konzentrierte sich bei der Entwicklung der
Umrechnungsformel auf die Rasse Labrador-Retriever.
Diese Hunde haben im Durchschnitt eine
Lebenserwartung von etwa 12 Jahren.1 2 Der dem neu entwickelten Modell zugrundeliegende Funktionstyp besitzt folgende Gestalt:
( ) ( ) mit Dabei ist das tatsächliche Hundealter in Jahren.
Der Funktionswert ( ) gibt das dem Hundealter entsprechende Menschenalter in Jahren an.
1. Es ist bekannt, dass ein zweijähriger Labrador von der körperlichen Entwicklung her ei- nem 42-jährigen Menschen entspricht. Eineinhalb Jahre später ist der Hund so weit ent- wickelt, wie ein 51-jähriger Mensch.
Ermitteln Sie damit die Werte der Parameter und . Runden Sie hierbei Ihre Ergebnisse auf ganze Zahlen.
[mögliche Ergebnisse: ]
1 Vgl. Haase, J. (19.11.2019): Neue Formel soll „menschliches“ Hundealter exakter berechnen. WELT. Abgerufen am 20.07.2021, von: https://www.welt.de/kmpkt/article203615550/Neue-Formel-soll-menschliches-Hundealter-exakter- berechnen.html
Abbildung: Ein Labrador-Retriever-Welpe von Ales Kartal 2
2. Die WELT schreibt:
„Basierend auf den Methylierungsdaten scheinen bestimmte Lebensphasen von Hunden und Menschen sehr exakt übereinzustimmen. Zum Beispiel entspricht ein sieben Wochen alter Welpe einem 9 Monate alten menschlichen Baby, da beide gerade anfangen, Milch- zähne zu entwickeln. Auch die durchschnittliche Lebenserwartung von Labrador-Retrie- vern (zwölf Jahre) und die durchschnittliche Lebenserwartung von Menschen (70 Jahre) stimmt überein.“3
2.1 Berechnen Sie das Menschenalter eines 7 Wochen und eines 8 Wochen alten La- brador-Welpen. Überprüfen Sie damit die Anwendbarkeit des neuen Modells in dieser Lebensphase des Hundes.
2.2 Kontrollieren Sie unter Zuhilfenahme einer geeigneten Berechnung mit dem Modell die Aussage über die durchschnittliche Lebenserwartung.
3. Berechnen Sie die Nullstelle von ( ) und interpretieren Sie deren Bedeutung im Hin- blick auf die Anwendbarkeit des vorliegenden mathematischen Modells. Geben Sie eine mathematisch sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion an.
4.1 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion mit einer geeigneten Skalierung in ein kartesisches Koordinatensystem.
4.2 Stellen Sie den Funktionsterm der Funktion , der für die Faustformel „Alter des Hundes mal 7 = Menschenalter“ gilt, auf und zeichnen Sie deren Graphen in das Koordinaten- system aus 4.1 ein.
4.3 Vergleichen Sie die beiden Funktionsgraphen und und beschreiben Sie Unterschie- de und Gemeinsamkeiten im Sachzusammenhang.
3 Haase, J. (19.11.2019): Neue Formel soll „menschliches“ Hundealter exakter berechnen. WELT. Abgerufen am 20.07.2021, von: https://www.welt.de/kmpkt/article203615550/Neue-Formel-soll-menschliches-Hundealter-exakter-berechnen.html
5. Herr Krause nimmt an seinem 65. Geburtstag einen Labrador-Welpen bei sich auf. Ver- einfachend wird angenommen, dass der Hund an Herrn Krauses 65. Geburtstag geboren wird, ein Alter von 12 Jahren erreicht und dass Herr Krause diesen Zeitpunkt ebenfalls erlebt.
5.1 Berechnen Sie mit Hilfe der Funktion , in welchem Alter der Hund das „Rentenal- ter“ erreicht, also ein Menschenalter von 67 Jahren.
5.2 Für die folgenden Teilaufgaben kann der Graph der Funktion außer Acht gelas- sen werden.
5.2.1 Herrn Krauses Alter lässt sich mit der Gleichung ( ) mit beschreiben.
Zeichnen Sie den Graphen von in das Koordinatensystem aus 4.1 ein und bestätigen oder widerlegen Sie mit Hilfe der Zeichnung die folgende Aussage:
„Der Hund ist während seines Lebens in Menschenjahren gerechnet nie älter als sein Herrchen.“
5.2.2 Bestätigen oder widerlegen Sie die in 5.2.1 getroffene Aussage auch für den Fall, dass Herr Krause einen neugeborenen Welpen bereits zu seinem 55. Geburtstag bei sich aufgenommen hätte.
5.2.3 Geben Sie an, zu welchem Geburtstag Herr Krause einen neugeborenen Welpen hätte aufnehmen müssen, dass er am 1. Geburtstag seines Hundes in Menschenjahren gesehen genauso alt ist wie sein Hund.
Hilfekärtchen
TIPP zu 1:
Gleichungssystem mit ( ) und ( ) aufstellen und lösen
4
TIPP zu 2.1:
ist diesmal nicht in Jahren angegeben, sondern in Wochen. Überlegen Sie mithilfe von Brüchen, welcher Bruchteil eines Jahres vergangen ist, wenn 7 bzw. 8 Wochen vor- bei sind. Bestimmen Sie danach die zugehö- rigen Funktionswerte.
TIPP zu 2.2:
( ) berechnen und interpretieren
TIPP zu 3:
Für die Interpretation sollten Sie sich über- legen, ab welchem Zeitpunkt es in der Re- alität Sinn macht, mit dem entwickelten mathematischen Modell zu arbeiten. Stel- len Sie aus diesen Überlegungen eine sinn- volle Definitionsmenge auf.
TIPP zu 4.1:
Skalierung Abszissenachse:
1 cm ̂ 1 Jahr
Skalierung Ordinatenachse:
1 cm ̂ 10 Jahre
TIPP zu 4.2:
( )
TIPP zu 4.3:
Gehen Sie dabei insbesondere auf das Stei- gungsverhalten der beiden Graphen ein.
Außerdem können die Funktionswerte bei- der Funktionen am, vor und nach dem Schnittpunkt analysiert werden.
TIPP zu 5.1:
( )
4 Hintergrundbild: OpenClipart-Vectors/27382, lizenziert unter Pixabay License (https://pixabay.com/de/service/license/).
Abgerufen am 06.01.2022, von: https://pixabay.com/de/vectors/idee-erfindung-erfinder-denken-152213/
TIPP zu 5.2.1:
Entscheiden Sie mit Hilfe der Graphen, wel- che Funktion die größeren Funktionswerte aufweist.
TIPP zu 5.2.2:
Der Graph der Funktion muss zunächst parallel um 10 Jahre nach unten verschoben werden.
TIPP zu 5.2.3:
Berechnen Sie zunächst ( )
Hilfe-QR-Codes
Code zu 1.: Code zu 2.1: Code zu 2.2: Code zu 3.:
Code zu 4.1: Code zu 4.2: Code zu 4.3: Code zu 5.1:
Code zu 5.2.1: Code zu 5.2.2: Code zu 5.2.3:
Hinweise zum Unterricht
Die Lösungsvorschläge erfolgen stichpunktartig. Diese sind nicht als vollständige, alternativlose Lösungserwartung zu sehen. Auch von einer strengen mathematischen Fachnotation wird abgesehen.
Mögliche Sozialformen:
Die Aufgabe ist sowohl für Einzel-, Partner- als auch Gruppenarbeit geeignet.
Hilfekärtchen/Hilfe-QR-Codes:
Damit auch schwächere Schülerinnen und Schüler die Aufgabe bearbeiten können, ist es möglich zu den Teilaufgaben die beiliegenden Hilfekärtchen in Papierform (ausgedruckt und ausgeschnitten) oder in Form von QR-Codes bereitzustellen.
Lösungsvorschläge:
1. Gleichung I: Gleichung II:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Gleichsetzungsverfahren:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) 2.1 (
) [Jahre] (
) [Jahre]
Für einen 7 Wochen alten Labrador-Welpen liefert die Funktion ein negatives Menschenalter. Dieser Wert ist nicht sinnvoll, das Modell folglich nicht anwendbar.
Ein 8 Wochen alter Welpe entspricht bereits einem ca. 1 Jahr alten Kleinkind. Die- ser Wert liegt nah bei den aufgeführten 9 Monaten.
Insgesamt betrachtet, ist das Modell in den ersten Lebenswochen noch nicht an- wendbar bzw. noch ungenau.
2.2 ( ) [Jahre]
Die Aussage stimmt mit der Berechnung laut Modell gut überein, da 70,76 Jahre nah bei den erwähnten 70 Jahren liegen.
3. ( ) ( )
; [Jahre]
Es macht mathematisch erst Sinn, das Modell ab einem Hundealter von 0,14 Jahren (ca. 7,49 Wochen) anzuwenden. Als obere Grenze könnte die Lebenserwartung gesetzt werden. An dieser Stelle kann auch nochmal Aufgabe 2.1 betrachtet werden.
z. B. [ ] 4.1
4.2 ( )
4.3 Unterschiede:
Der Graph der Funktion besitzt die konstante Steigung , d. h. pro Le- bensjahr des Hundes erhöht sich das entsprechende Menschenalter um 7 Jahre.
Der Graph der Funktion hingegen weist am Anfang eine höhere Steigung auf, die jedoch mit zunehmender Zeit kleiner wird. Das bedeutet, dass der Hund in seinen ersten Lebensjahren vom biologischen Alter aus gesehen relativ schnell den Entwicklungsstand eines Menschen im mittleren Alter erreicht. Später ist der Alterungsprozess im Vergleich zum Menschen verlangsamt.
Bis zu einem Hundealter von ca. 9,6 Jahren liefert der Graph der Funktion grö- ßere Funktionswerte und damit ein höheres Menschenalter als der Graph der Funktion . Danach ist es umgekehrt.
Gemeinsamkeiten:
Beide Graphen verlaufen streng monoton steigend, d. h. dass mit steigendem Hundealter auch das entsprechende Menschenalter zunimmt.
( | )
Wenn der Hund 9,6 Jahre alt ist, ergeben beide Modelle das gleiche Menschen- alter von ca. 67 Jahren.
5.1 ( ) ( )
[Jahre]
Mit 9,49 Jahren erreicht der Hund das „Rentenalter“. (Der Wert entspricht im Rahmen der Ablesegenauigkeit und von Rundungsfehlern den Koordinaten des Schnittpunkts im Diagramm in 4.1 bzw. 4.2.)
5.2.1
Für den Fall, dass Herr Krause den Hund zu seinem 65. Geburtstag bei sich aufge- nommen hat, stimmt die Aussage, da der Graph der Funktion immer unterhalb des Graphen der Funktion verläuft.
5.2.2
Für den Fall, dass Herr Krause einen neugeborenen Labrador-Welpen bereits zu seinem 55. Geburtstag bei sich aufgenommen hat, stimmt die Aussage nicht. Der Graph der Funktion ist parallel um 10 Jahre nach unten zu verschieben. Dies bewirkt, dass der Graph der Funktion ab dem Zeitpunkt oberhalb des verschobenen Graphen der Funktion verläuft. Ab dem Hundealter 7 Jahre ist damit der Hund, wenn man sein Alter in Menschenjahre umrechnet, älter als Herr Krause.
5.2.3 ( ) [Jahre]
Zum 1. Geburtstag des Hundes ist der Labrador 31 Menschenjahre alt. Damit hätte Herr Krause einen neugeborenen Welpen ein Jahr früher, also zu seinem 30.
Geburtstag aufnehmen müssen.
Anregungen zum weiteren Lernen
Weitere Aufgaben im Kontext unter Verwendung der Funktionsterme und Graphen wären möglich, sowie auch die Erarbeitung von Aufgabenstellungen durch Schülerinnen und Schüler, welche durch die Klasse gelöst werden.
Ebenfalls sind weiterführende Recherchen möglich, z. B. „Informieren Sie sich, welche positiven Auswirkungen Hunde auf ihre Halterinnen und Halter haben.“
Quellen- und Literaturangaben
Abbildung auf Seite 1: Ein Labrador-Retriever-Welpe, vgl. entsprechende Fußnote Ausschnitt und Informationen aus WELT: vgl. entsprechende Fußnoten
Hintergrundbild bei Hilfekärtchen: vgl. entsprechende Fußnote
Abbildungen von Graphen: selbst erstellt mit Geogebra durch Tanja Keller
