Tragwiderstand von Hochhäusern

Research Collection

Working Paper

Tragwiderstand von Hochhäusern

Author(s):

Zimmerli, Bruno Publication Date:

1980

Permanent Link:

https://doi.org/10.3929/ethz-a-000219378

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ETH Library

Tragwiderstand

^von

Hochhäusern

BrunoZimmerli

BirkhauserVerlag^{Basel¦Boston} Stuttgart

August1980 BerichtNr.100

Institutfür Baustatik und Konstruktion ETH Zürich

Zimmerli,Bruno:

Tragwiderstand^von Hochhäusern/

vonBrunoZimmerli-

Basel,Boston,Stuttgart: Birkhauser,1980.

(Bericht/Institut^{fürBaustatikund} Konstruktion ETH-Zürich,Nr.100)

ISBN 3-7643-1230-0

Nachdruckverboten.

AlleRechte,insbesonderedas der

Übersetzung

^infremdeSprachen ^und derReproduktion^aufphotostatischem Wege^oderdurch Mikrofilm, vorbehalten.

© BirkhauserVerlag Basel,¹⁹⁸⁰ ISBN 3-7643-1230-0

von

Dr.sc.techn. Bruno Zimmerli

InstitutfürBaustatik und Konstruktion

Eidgenössische

Technische Hochschule Zürich

Zürich August¹⁹⁸⁰

Bei schlanken Gebäuden werden nebst den Schwerelasten die horizontalen Lasten

infolge

^{Wind und Erdbeben von} entscheidender

Bedeutung.

^Ent¬

sprechend

^{bestimmen sie die Wahl eines}

zweckmässigen Tragsystems.

^{In der}

vorliegenden

^{Arbeit wird der Einfluss} verschiedener

Tragsysteme

^{auf den} räumlichen

Tragwiderstand

untersucht. Das unterschiedliche Verhalten wird anhand von

Interaktions-Diagrammen

^{auch visuell klar}

herausgearbeitet.

Diese

Diagramme

^{erweisen sich als sehr nützlich für die Wahl eines zweck¬}

mässigen Tragsystems

im Entwurfsstadium wie auch für eine Vordimensionie- rung der

wichtigsten Komponenten.

Herr Zimmerli hat diese Studie im Rahmen einer Doktorarbeit

durchgeführt.

Dabei konnte er sich auf seine

persönlichen Erfahrungen

^{bei der Ueber¬}

prüfung

^von bedeutenden Hochhäusern und Türmen abstützen.

Zürich,

August

^{1980 Prof. Dr. B. Thürlimann}

1. EINLEITUNG

1.1

Problemstellung

^und

Zielsetzung

1.2 Annahmen 1.2.1 Lasten

1.2.2

Stoffgesetz

^und Grenzwertsätze 2. MODELLBILDUNG FUER RAEUMLICHE HOCHHAUSSYSTEME

3. DER TRAGWIDERSTAND VON EINFACHEN RAEUMLICHEN K-FACHWERKEN

3.1

Symmetrisches

Raumfachwerk

3.2 Einfluss der

Horizontallastverteilung

3.3 Einfluss der

Symmetrie

3.4

Asymmetrisches

Raumfachwerk 4. MEHRFELDRIGE RAUMFACHWERKE

4.1 Schubwand aus Stahlbeton

4.2

Dreifeldriges, symmetrisches

Raumfachwerk 5. RAEUMLICHE RAHMENSYSTEME

5.1 Momenten-Normalkraft-Querschnittsinteraktion 5.2

Orthogonale Rahmensysteme

5.3

Rahmensystem

^{mit vier Eckstützen}

6. HOHLKASTEN AUS RAHMEN {FRAMED TUBES) 6.1

Gedrungene

^{Stützen und}

Riegel

6.2 Knotenbereiche

6.3 Der

Tragwiderstand

^{von Hohlkasten aus Rahmen}

7. SCHLUSSBEMERKUNGEN

7.1

Gleichgewichtsformulierung

^am deformierten

System

7.2

Zusammenstellung

^der Interaktionsformen 7.3 Offene Probleme

ZUSAMMENFASSUNG'

RESUME SUMMARY

LITERATURVERZEICHNIS BEZEICHNUNGEN

Anhang

¹

Anhang

²

Anhang

³

Anhang

⁴

Anhang

⁵

Anhang

⁶

Parameter-Bedingungen

^des Raumfachwerks

Ergänzung

^{zu den} Stahlbetonscheiben

Mechanismen eines

dreifeldrigen

Raumfachwerks

Traglastberechnung

^eines Raumfachwerks

Interaktionskurven für

Biegung

^mit Normalkraft

Fliessgelenkstellen

ⁱⁿ

Rahmensystemen

Seite 1

1 4 4 6

8 10

12 36 37 39

45

47 55

70

70 75 84

96

97 106 108 117

117 119 121

122

123 125 126 128

136 144 147 162 166 178

Anhang

^{7 :}

Fliessbedingungen

^{von Stahl- und}

Stahlbetonquerschnitten

¹⁸⁰

Anhang

^{8 :}

Traglastberechnung

^eines

Rahmensystems

¹⁸¹

Anhang

^{9 : Einfluss von} Gelenken in Stützenmitte ₁₈₇

Anhang

^10: JM-V-Interaktionskurven eines Scheibenelementes 188

1.1

Problemstellung

^und

Zielsetzung

Die

Tragsysteme

^von Hochhäusern sind räumlichen

Lasteinwirkungen

^unterwor¬

fen. Nebst Vertikallasten aus

Eigen-

^{und Nutzlast muss ein Gebäude auch}

Horizontallasten aus Wind- und

Erdbebenwirkung

widerstehen können. Im Ent¬

wurf wird das räumliche

Tragsystem

vereinfachend in ebene

Teilsysteme,

^die

einzeln belastet werden,

aufgelöst.

^Die

Abmessungen

^der

Tragelemente

^werden

im

allgemeinen

^mit elastischen

Berechnungsmethoden

^{ermittelt. Ebene Rahmen}

werden

näherungsweise

^{mit der} Portalrahmen- und

Kragarm-Methode

^berechnet

[C3], [T1].

Dazu

gehören

^{auch die vielen von diesen beiden Methoden}

abge¬

leiteten

Spezialverfahren.

^{Scheiben werden oft als} elastisches Kontinuum be¬

handelt,

und die

zugehörigen

Schnittkräfte sind für verschiedene Wandformen,

Oeffnungsreihen

^und

Lastverteilungen

^{tabelliert worden}

[B1], [C4], [R1],

[S2].

^{Sind die}

Abmessungen

^{mit den}

Näherungsmethoden festgelegt,

^{werden in}

den

wichtigeren

^{Fällen die}

Schnittgrössen

^unter der Annahme eines elastischen Materialverhaltens am räumlichen

System

^{mit einem}

Standard-Computerprogramm

bestimmt. Anschliessend werden die

Tragelemente

^{des Gebäudes mit}

Spannungs¬

nachweisen

überprüft.

Durch die beinahe unbeschränkten

Kombinationsmöglichkeiten

^der

Lastparameter

muss diese räumliche

Schnittgrössenermittlung,

^{damit sie sinnvoll}

ist,

in mehreren

Richtungen

^mit verschiedenen

Lastverteilungen

^{wiederholt werden.}

Diesem

Vorgehen

^{haften zwei} wesentliche

Mängel

^an:

1. Im Entwurf, der für die definitive

Systemwahl

entscheidend

ist,

wird die

Bemessung

^{an ebenen}

Tragsystemen durchgeführt.

^{Dadurch können im räum¬}

lichen Zusammenwirken dieser

Teilsysteme Richtungen

^{übersehen werden, die}

für die

Dimensionierung

^von

Tragelementen massgebend

^{werden. Bei der}

räumlichen

Ueberprüfung

^der

Schnittgrössen

^{dürften solche} Fehler sicher

aufgedeckt

^{werden. Da aber der}

grundsätzliche

^{Entscheid für ein bestimm¬}

tes

System

^{im Entwurf}

gefallen

ist, kann die

Verstärkung

der unterdimen¬

sionierten

Tragelemente

^zu einer wesentlichen

Verteuerung

^{eines Gebäudes}

führen. Zudem lässt sich beim beschriebenen

Bemessungsvorgang

^{nicht er¬}

kennen wie das

gewählte Tragsystem

^zu modifizieren wäre, ^um eine bessere

Tragwirkung

^{zu erreichen.}

2. Werden bei der elastischen

Berechnung

eines Hochhauses

vorgegebene Span¬

nungsgrenzen

eingehalten,

^{resultiert innerhalb der Theorie 1.}

Ordnung

^ein

unterer Grenzwert der

Traglast.

^Die Kombination von

Lastspannungen

^mit

unbekannten

Eigenspannungen

^und

Spannungskonzentrationen

^{bewirkt bei}

jeder Bemessungsmethode

^lokale

Plastifizierungen

^{und damit eine}

Umverteilung

der

Schnittgrössen

^{in den}

Tragelementen.

^Daher

liegt

^es

eigentlich nahe,

das elastische

Stoffgesetz

^{fallen zu lassen und mit der}

Berücksichtigung

des

plastischen

Materialverhaltens die

Tragreserven

^{eines Hochhauses zu}

ermitteln.

Systemen

^zu

bestimmen,

ohne dass sämtliche

Freiheitsgrade nachgebildet

^und

die genauen

Stoffgesetze berücksichtigt

^{werden. Zudem soll der Widerstand}

durch

globale Systemschnittgrössen ausgedrückt

^werden.

Die ganze Problematik soll am in Bild 1.1 skizzierten

Tragsystem

^erläutert

werden. Die

Bestimmung

^{der räumlichen}

Traglast

^{für das}

sechzig

^Stockwerke zählende Hochhaus

sprengt

^{nicht nur die}

Möglichkeiten

^von

Computerprogrammen,

wie sie für einen in der Praxis

tätigen Ingenieur verfügbar sind,

auch der Kostenaufwand wäre vor allem in der

Entwurfsphase

unzumutbar.

Grundriss

R2

, R4 _

o o

R3 R2

R3 R2

R4

Rahmen RI Rahmen R2

5

4

Rahmen

R3

V \

/>

^N f/\l

Rahmen

R4

Schubwand

S1

BILD 1.1: HOCHHAUSSYSTEM MIT SECHZIG STOCKWERKEN

Tragsystem.

^{Die ebenen} Schubwände und Rahmen sind durch die Decken zu einem räumlichen

Gesamtsystem

^{verbunden. Die Stützen}

^werden,

^{da sie}

gleichzeitig

zwei Rahmenebenen

angehören,

^{auf schiefe}

Biegung beansprucht.

^{Aus dem}

Trag¬

widerstand,

der einzeln für die ebenen

Teilsysteme

^ermittelt

^wird,

^{kann nicht} ohne weiteres auf den

Systemwiderstand geschlossen

^{werden. Es}

geht

^{also da¬}

rum, aus

Widerständen,

die für die verschiedenen

Tragelemente

^formuliert

werden

können,

den

Tragwiderstand

^eines

komplex aufgebauten,

^räumlichen

Sys¬

tems zu ermitteln.

Das Ziel dieser Arbeit ist es, mit einem einfachen Modell, das die

wichtig¬

sten Parameter des

Tragsystems wiedergibt,

^{den räumlichen}

Tragwiderstand

^von

Hochhäusern zu bestimmen. Dazu werden zwei Annahmen

eingeführt,

^{die einer¬}

seits den Vorteil

bieten,

dass alle

Berechnungen

^{auf einfache und einheit¬}

liche

Grundlagen abgestützt

^{werden können.} Andererseits weisen sie den Nach¬

teil

auf,

dass der

Gültigkeitsbereich

^{der Resultate in bestimmten Fällen} wesentlich

eingeschränkt

^{werden kann:}

1. Für die

dynamisch

^wirkenden Horizontallasten werden statische Ersatzlasten

eingeführt.

^Das

dynamische

^{Verhalten im} überelastischen Bereich wird so¬

mit nicht erfasst. Eine umfassende

dynamische Berechnung

^von Hochhäusern im nicht elastischen Bereich ist wegen der

Systemgrösse vorläufig

^ohne¬

hin nicht realisierbar.

2. Das Materialverhalten wird mit einem

starr-plastischen Stoffgesetz

^be¬

schrieben. Die

Verformungsgeschichte

^{eines Gebäudes kann daher nicht an¬}

gegeben

^{werden. Damit lässt sich für das}

Tragwerk

^{auch kein} Stabilitäts¬

versagen

bestimmen,

das vor dem Erreichen der

Kollapslast

^{auftreten kann.}

Dennoch erleichtert ein einfaches Modell, das mit

wenigen

^{Parametern das}

räumliche Zusammenwirken eines

Tragsystems

beschreibt, den Entwurf von Hoch¬

häusern wesentlich. Sicher

gewinnen

^{die bis heute}

angewandten Näherungs¬

methoden noch an

Bedeutung,

^{wenn sie mit räumlichen}

Betrachtungen ergänzt

werden.

Untersuchungen,

^{die das} Stabilitätsverhalten und den Einfluss der

dynamischen Belastung

^unter

Berücksichtigung

^{des wirklichen}

Stoffgesetzes ^abklären,

^kön¬

nen immer noch

durchgeführt

werden, ^nachdem die

Abmessungen

^aus dem Entwurf feststehen.

Ueber den Stand dieser Probleme

gibt

^{es eine umfassende}

Zusammenstellung

^im

"Monograph

^on

Planning

^and

Design

^{of Tall}

Buildings" [P2],

^{in dem auch zu¬}

künftige Forschungsarbeiten aufgeführt

^sind.

1.2.1 Lasten

Bevor auf die

Modellbildung

für räumliche

Hochhaussysteme

^{und die}

Berechnung

des

zugehörigen Tragwiderstandes eingegangen

^werden kann, ^{müssen Last} und Widerstand über ein

gemeinsames Koordinatensystem

miteinander

verknüpft

^wer¬

den.

Eine horizontale

Belastung

^{kann auf zwei}

orthogonale Biegemomente

^M_{x ref} ^und

M j. und ein Torsionsmoment T r. in eine Bezugsebene, die vorteilhaft

y ^{ref z ref ö}

nahe an der Basis des Hochhauses

liegt,

^{reduziert werden. Die} Lastvektoren (M , M , T ) aus

beliebigen Richtungen

^und

Verteilungen

^{können nach diesem}

Muster bestimmt werden und im M -M -T

-Koordinatensystem aufgetragen

^werden.

X y ^Z

Daraus resultiert eine Hüllfläche der Lastvektoren. Die SchubgrössenB Q ^-

x ref und Q ^{n sind} durch die

Lastverteilung

^{über die Höhe und die}

zugehörigen

y ^rst

Biegemomente₆ M n und M r bestimmt. Wird der Tragwiderstand zu einer

x ref y ^{ref &}

bestimmten

Lastverteilung

^{mit den}

verallgemeinerten Spannungen

^{M , M und T}

ausgedrückt,

^{wobei die}

Bezugsebene

^{der Last} beibehalten wird, ^{so ist} für die Last und den

Tragwiderstand

^ein

gemeinsames Bezugssystem geschaffen.

^{Für den}

Lastfall Wind ist im ASCE-Artikel

"Strength

Interaction Surfaces for Tall

Buildings" [Z2]

eine Methode zur

Ermittlung

^der

Lastgrössen

^{zusammen mit}

entsprechenden

Literaturhinweisen

angegeben.

Der

Vergleich

^der Hüllflächen von Widerstand und

Last,

wie er in Bild 1.2

durchgeführt

ist, ^{liefert die} Lastfaktoren X. Sie

zeigen

^{an, um wieviel eine}

bestimmte

Lastkonfiguration gesteigert

^werden

^kann,

^{bis der Widerstand des}

Hüllfläche des

Tragwiderstandes

Hüllfläche

der

Lastvektoren

IM,

BILD 1.2: VERGLEICH VON WIDERSTAND UND LAST

von ähnlicher Form

sind,

ist für das

projektierte

^{Hochhaus ein} ausgewogenes

Tragsystem gefunden.

Wie die Horizontallasten aus Wind und Erdbeben zu bestimmen

"sind,

^{wird in}

dieser Arbeit nicht behandelt.

Ausgangspunkt

^{ist eine statische}

Ersatzlast,

die für alle

Systeme

^{über die Höhe}

rechteckförmig

^{(Bild 1.3) verteilt ist.}

Durch die

proportionale Verteilung

^{in den drei}

Belastungsrichtungen (x,

y und t) wird die

Berechnung

^des

Tragwiderstandes

^stark vereinfacht.

Am einfachen Raumfachwerk,

Kapitel

3, werden die

Ergebnisse

^von

rechteckiger

(Bild 1.3) und

dreieckiger

^(Bild

^1.4) Lastverteilung

miteinander

verglichen.

Die

Allgemeinheit

der Resultate wird

allerdings weniger

^{durch die unter¬}

schiedliche,

^statische

Lastverteilung

^als vielmehr durch die Vernachlässi¬

gung

dynamischer

^Effekte

eingeschränkt.

Die

Gleichungen

^der

Schnittgrössen

^{in der}

gewählten Bezugsebene

^{B.E. werden}

für k Stockwerke der

gleichen

^{Höhe 1}

angeschrieben.

w,ot

wc*'woy

^'

^x'Qy

k-l

I ^B.E.

MX, My

BILD 1.3: SCHNITTGROESSEN FUER RECHTECKIGE LASTVERTEILUNG

Q n = w *k* 1

x ref ox

0 r

= w »k* 1 y ^ref oy

M

k2-l:

x ref ox

M

y ref oy 2

Tz

ref

"

"ot***1

^(1'1)

wox»woy ^x >Qy

wot Tz

MX ,My

£ ^B.E.

BILD 1.4: SCHNITTGROESSEN FUER DREIECKIGE LASTVERTEILUNG

Q ⁼ w k«l

ox 2

y ref oy 2

M w

k2-l:

x ref ox 3

M

k2-!2

-

= w •—=—

y ^ref oy ³

r k«l

z ref ot 2

(1.2)

Das Verhältnis

Q/T

bleibt für beide

Lastverteilungen

erhalten, während

M/(Q»k«l)

vom Wert 0.5 für

rechteckige

^{auf 0.6 für}

dreieckige Lastverteilung ansteigt.

Die Vertikallasten werden bei der

Steigerung

^der Horizontallasten konstant

gehalten.

^{Sie liefern den Startwert} der Normalkräfte in den Stützen und Wän¬

den. In den

Riegeln

^{können die}

plastischen

^{Gelenke von den Stabenden ins}

Balkeninnere verschoben werden. Auf die

spezifischen Bemessungsprobleme

^im

Zusammenhang

^mit Vertikallasten wird in dieser Arbeit nicht

eingegangen.

Diese sind in verschiedenen Büchern und

Forschungsarbeiten

^{umfassend behan¬}

delt worden

[A1], [G1], [31].

Die Vertikallasten werden im Rahmen dieser Arbeit direkt in die Stützen ein¬

geleitet.

^Ihre

Verteilung

^{im Grundriss und ihr}

Uebertragungsweg

^{von den Decken}

und Fassaden zu den Stützen werden nicht untersucht. Annahmen über die Ver¬

teilung

der Vertikallasten in den Stützen werden in den einzelnen

Kapiteln angegeben.

1.2.2

Stoffgesetz

^und Grenzwertsätze

Da bei den weiteren

Untersuchungen

angenommen wird, das Material verhalte sich

starr-idealplastisch,

^{und das}

Gleichgewicht

^{sei am} unverformten

System

formuliert, können die anschliessend

aufgeführten

Grenzwertsätze verwendet werden

[T2].

stand

gewählt,

^{ist die}

zugehörige Belastung

^nicht

grösser

^{als die}

Trag¬

last.

Der statisch

zulässige Spannungszustand

^{erfüllt die}

Gleichgewichtsbe¬

dingungen

^{und die statischen}

Randbedingungen

^eines

Systems.

^{Wenn die}

Fliessgrenze nirgends

überschritten

wird,

ist der

Spannungszustand

^stabil.

2. Kinematischer Grenzwertsatz (Oberer

Grenzwert)

Wird in einem

System

^ein instabiler und kinematisch

zulässiger Bewegungs¬

zustand

gewählt,

^{ist die}

zugehörige Belastung

^nicht kleiner als die

Trag¬

last.

Der kinematisch

zulässige Bewegungszustand

^{erfüllt die} kinematischen

Bindungen

^{und die} kinematischen

Randbedingungen

^eines

Systems.

^{Wenn die}

Leistung

^{der äusseren}

Belastung

^nicht kleiner ist als die

Dissipations¬

leistung,

^{die aus dem mit dem}

Bewegungszustand verträglichen Spannungs¬

zustand ermittelt

wird,

ist der

Bewegungszustand

^instabil.

Decken werden im

allgemeinen

^als

Stahl-,

Stahlbeton- (schlaff armiert und

vorgespannt)

oder Verbund-Konstruktionen

ausgeführt.

^{In dieser Arbeit werden}

sie in ihrer Ebene als starr angenommen und können nur aus der Ebene ver¬

formt werden. Wenn die Wände und Stützen konstruktiv

genügend

^{in den Decken}

verankert sind, wird damit die Grundrissform des Gebäudes über die Höhe er¬

halten.

Da im Rahmen dieser Arbeit

speziell

^{auf die} Horizontallasten von Hochhäusern

eingegangen

^wird, interessiert in den Decken nur der

Scheibenspannungszu-

stand. Damit können diese

analog

^den Schubwänden behandelt werden. Die

eigent¬

liche

Bemessung,

^{die für die}

ungünstigste Ueberlagerung

^der

Beanspruchungen

aus Horizontal- und Vertikallasten zu

erfolgen

hat, ist nicht

Gegenstand

^die¬

ser Arbeit. Eine umfassende

Zusammenstellung

^{über die} Plastizitätstheorie

von

Stahlbetonplatten

^{hat Nielsen}

[N3]

im Bericht des

IVBH-Kolloquiums

^von

Kopenhagen

veröffentlicht.

Die Stahlbetonwände werden mit diskreten Fachwerken

nachgebildet,

^während

voll

ausgefachte

Stahlrahmenfelder als ideale Fachwerke

gerechnet

^{werden. Die}

Grundidee mit den

Spannungsfeldern,

^{die einem Fachwerk}

entsprechen,

^{ist schon}

in einem

Diskussionsbeitrag

^{an der Tall}

Buildings.Conference

^der

Lehigh

^Uni¬

versity

¹⁹⁷²

[Z1]

behandelt worden. Da die

Bedeutung

^der

Ueberlagerung

^von

Spannungszustanden

im Stahlbetonelement damals noch nicht erkannt wurde, sind die im erwähnten Artikel

angebotenen Lösungsmöglichkeiten unvollständig.

Im

Kapitel

^{4 werden} Stahlbetonwände auf Fachwerke

zurückgeführt.

^{Dadurch sind} sie den Stahlfachwerken

gleichgestellt

^{und können mit den}

gleichen

^Berech¬

nungsmethoden

^{behandelt werden. Die einfachen und}

mehrfeldrigen

Raumfachwerke, die in den

Kapiteln

^{3 und 4 untersucht werden,}

entsprechen

^damit

gleichzeitig

diskreten

Stahlfachwerksystemen

^und Rechenmodellen

zusammenhängender

^Schub¬

wandsysteme

^aus Stahlbeton.

Die Stäbe ^von

Rahmensystemen

^{werden nach ihrer}

Tragfunktion

^{in Stützen und}

Riegel

unterschieden. Wenn der Torsionswiderstand der Einzelstäbe und der Einfluss der

Querkraft

^auf die

Fliessbedingung vernachlässigt

^{werden, kann}

der Tragwiderstand_B für einen Stabquerschnitt_H mit der B -B -N -Interaktion px py p

beschrieben werden. Für

gedrungene Riegel

^{und Stützen, wie sie bei Hohl¬}

kasten aus Rahmen (Framed Tubes) ^und als

Verbindungsbalken

^von Schubwänden verwendet werden, ^muss der Einfluss der Querkraft auf die

Fliessbedingung

^be¬

rücksichtigt

^{werden. Für}

vollständige Lösungen

^{dürfen diese Elemente nicht}

mehr die kinematischen

Bindungen

^{des Stabes} aufweisen, sondern müssen als Scheiben behandelt werden.

Für die B -B -N -Fliessbedingungen von Stahlbetonquerschnitten wird von

px py p ^{& * i}

Vergleich zeigen ^wird,

^{reduziert die} konservative

Einschränkung

^{e = Er die}

B -N -Interaktion nur unwesentlich, ^erhöht

jedoch

^den Rechenaufwand beträcht- P P

lieh. Mit der einheitlichen

Grundlage

^eines

starr-idealplastischen Stoffge¬

setzes für Stahl und Beton können mit den B -B ,-N

-Fliessflachen biege-

px py p

steifer Stäbe im

Kapitel

^{5 räumliche}

Rahmensysteme

^auf

mögliche

Interaktions¬

formen ihres

Tragwiderstandes

untersucht werden.

Weil die Decken in ihrer Ebene starr angenommen

werden,

^{ist eine axiale} De¬

formation der

Riegel

^nicht

möglich.

^Der

Tragwiderstand

^eines

Riegels

^{ist da¬}

durch mit dem

plastischen

^{Moment B}

(q

^{=0) bestimmt. Da die Decken zudem}

p ⁿ

nach dem ersten Abschnitt

biegeweich sind, genügt

^{für schlanke Stützen, bei}

denen die

Riegel

^{nur in} einer Ebene

biegesteif angeschlossen ^sind,

^eine

ebene

Momenten-Normalkraft-Interaktionsbeziehung,

^{um den}

Tragwiderstand

^des

Stützenquerschnittes anzugeben.

Im

Kapitel

^{8 werden mit dem statischen und dem} kinematischen Grenzwertsatz

Näherungslösungen

^{für die}

B-N-V-Fliessbedingung

^von Scheibenelementen

herge¬

leitet. Dadurch kann die

Traglast

^{von Hohlkasten aus Rahmen (Framed}

^Tubes),

die durch

gedrungene Riegel-

^und Stützenelemente

aufgebaut

^{sind, wie die}

Traglast gewöhnlicher Rahmensysteme

^bestimmt

werden.,

Unregelmässigkeiten

^{in den}

Tragsystemen

^{sind zu vermeiden. Dort wo sie nicht}

zu

umgehen ^sind,

^{wie zum}

Beispiel

^{in den}

Eingangshallen,

^sind Lastübertra¬

gungselemente vorzusehen,

die nicht nur den

gleichen plastischen Widerstand,

sondern auch eine

vergleichbare Steifigkeit

^besitzen

(dynamische Beanspru¬

chung!

^).

3. DER TRAGWIDERSTAND VON EINFACHEN RAEUMLICHEN K-FACHWERKEN

In diesem

Kapitel

^{soll am einfachen} Raumfachwerk der

Zusammenhang

^zwischen

den

wichtigsten Systemparametern

^{und der Form des}

Tragwiderstandes möglichst

umfassend formuliert werden. Die

Beziehungen

^{zwischen den} Interaktionsformen und den

massgebenden

^{Parametern werden diskutiert und auch}

dargestellt.

^Die wesentlichen

Einflussfaktoren,

die den

Tragwiderstand

^{eines Hochhauses be¬}

stimmen,

werden mit dem

gewählten

Raumfachwerk erfasst.

Das einfachste

Tragsystem

^{für ein Hochhaus bildet der}

ausgefachte

Quader von Bild 3.1 mit nur vier Eckstützen im Grundriss. Als Parameter der

Systemhöhe

wird die bei der Horizontallast

eingeführte

Stockwerkzahl k übernommen. Die

Bezugsebene

^{B.E. wird in der Decke des ersten Stockwerks}

gewählt.

^{Damit er¬}

gibt

^{sich für die totale} Gebäudehöhe

H (k ⁺ 1)«1 (3.1)

0 A A

B.E.

A A

+—v

H

V

^b^

-4-4

k-l

JL

^B.E.

BILD 3.1: SYSTEM

Die Horizontallast im ersten Stockwerk (unterhalb der

Bezugsebene)

^{wird nicht}

berücksichtigt.

^{Diese Annahme wird nur}

getroffen,

^{um in den Resultaten}

mög¬

lichst einfache Ausdrücke zu erhalten. Der damit

eingeführte

^{Fehler ist un¬}

bedeutend.

Den vier Eckstützen wird pro Stockwerk eine konstante Vertikallast AP zuge¬

führt. Die daraus entstehende

Normalkraftverteilung

einer Stütze ist in Bild 3.2

aufgetragen.

^{Die maximale} Normalkraft

beträgt

^{an der Basis}

P ⁼ (k ⁺ 1)«AP

o

(3.2)

w

1'

/.\

H=

A

F^

(k+1)-l

BILD 3.2:

LASTEN

Der

Tragwiderstand

^der Fachwerke wird so bestimmt, dass unter

Anwendung

^des

zweiten Grenzwertsatzes die

wichtigsten,

kinematisch

zulässigen Bewegungs¬

zustände

(plausible

Mechanismen) untersucht werden.

Für ein

System

^mit

vorgegebenen

^{Parametern sind im}

allgemeinen

^zwei

grund¬

sätzliche Mechanismusmethoden

denkbar,

^um die Interaktionsfläche des

Trag¬

widerstandes zu bestimmen.

Für eine nicht automatisierte ^Berechnung& kann die minimale M -M -T -Inter-

x y ^z

aktionsflache durch Linearkombination der Grundmechanismen ^- diese sind voneinander linear

unabhängig

^- gewonnen werden

[N1].

Dabei sind die Mecha¬

nismen so zu

kombinieren,

dass die äussere

Leistung

stärker wächst als die

Dissipationsleistung.

^Ein wesentlicher Vorteil muss darin

gesehen

^werden,

dass die Resultate in

analytischer

^{Form erhalten werden können. Dadurch wird}

auch die

Abhängigkeit

^des

Tragwiderstandes

^{von den Parametern}

formelmässig

sichtbar

gemacht.

Wird das Problem

computergerecht

^{mit Hilfe von}

Spannungs-

^und

Verschiebungs¬

ansätzen an finiten Elementen ^- im

vorliegenden

^{Fall die} Fachwerkstäbe ^- formuliert, kann die M -M -T -Interaktionsfläche ^punktweise nach dem kine-

x y ^{z ^}

matischen Grenzwertsatz mit den Methoden der linearen

Programmierung

^er¬

mittelt werden

[A2].

Bei diesem

Vorgehen geht

^es darum, für bestimmte

Lastkonfigurationen

^den minimalen Lastfaktor zu bestimmen. Leider führt dieses Verfahren direkt zu

numerischen Werten und nur mit einer

entsprechenden

Parametervariation kön¬

nen die

Gesetzmässigkeiten

^{erkannt werden.}

In diesem

Kapitel

^{wird der}

Tragwiderstand

^{des einfachen} Raumfachwerks mit der ersten

(analytischen)

^{Methode bestimmt.}

Allerdings

^{wird nicht von den}

Grundmechanismen sukzessive auf die

Linearkombinationen,

die zur exakten

Lösung

führen,

geschlossen,

^{sondern es} wird von allen existierenden Mecha¬

nismen ^- also auch den Linearkombinationen ^- ausgegangen.& & & Die Mx-My-T^z- Interaktionsflächen werden durch bestimmte Kombinationen der

Gleichungen

dieser Mechanismen

festgelegt.

^{Darauf wird für}

jede

^dieser

gewählten

^Formen untersucht, welche

Bedingungen

^die

Systemparameter

^{für eine}

vorgegebene

^Last¬

verteilung

^{zu erfüllen}

haben,

damit die angenommene Interaktionsfläche

gül¬

tig

^{sein kann. Für das}

vorliegende

^einfache Raumfachwerk wird vorerst davon ausgegangen, dass mit einer Auswahl

plausibler

Mechanismen

gerade

^{alle mass¬}

gebenden gefunden

^{sind. In} einem zweiten Schritt wird

abgeklärt,

^{in welchem} Parameterbereich die

übrigen, möglichen

Mechanismen die Interaktionsfläche beeinflussen. Dieses

Vorgehen

^{führt nur bei einfachen}

Systemen,

^{für die all¬}

gemeine Lösungen

überblickbar sind, ^zu exakten Interaktionsformen des

Trag¬

widerstandes. Bei

komplizierteren Systemen

^{kann eine} beschränkte Anzahl

plausibler

Mechanismen

analog

^{diskutiert werden, wobei in diesem Fall nicht}

im ganzen Koordinatenbereich die minimale Interaktionsfläche

gefunden

^wird.

3.1

Symmetrisches

Raumfachwerk

Das

System

^{und die}

Abmessungen

^{können dem Bild 3.1 entnommen werden. Die}

Stabfliesskräfte der

Diagonalen

^{und Stützen sind innerhalb eines Stockwerks}

konstant. Die

Normalkraft-Dehnungs-Beziehungen

^{der Stäbe an der Basis sind}

in Bild 3.3

dargestellt.

^Die Verhältnisse der Fliesskräfte zueinander werden durch die Parameter f„ und

fn ausgedrückt.

i ^S

'

Sf D= fC

^"

Sf

D

Df=fDSf-

-Df

⁼

fDSf

BILD 3.3: STABFLIESSKRAEFTE

Die

Diagonalenfliesskräfte

^{sind über die Höhe}

abgestuft

^{und verlaufen minde¬}

stens

proportional

^zur

Querkraftverteilung

^{aus den}

Lastkomponenten

^{w und}

¦w . Mit dieser Definition kann die minimale Summe der

Diagonalenwiderstände

oy

vom zweiten bis zum r-ten Stockwerk aus Bild 3.4 ermittelt werden.

k_r+1

r 2-k-r+1

\ Dfi^rL±TLl'^

^-

fQR*Df

i⁼k

(3.3)

Mit

f„R

^{ist damit ein Parameter für die}

Diagonalenfliesskraftsumme

^einer Fachwerkscheibe zwischen den betrachteten Stockwerken definiert worden.

Wird für

k-r+1

Z ^{DP. = fn(r)«D,}

i⁼k fi Q (3.4)

geschrieben, folgt

^die

Ungleichung

^{des neuen Parameters zu}

f (r) ^> f ^-

£.2Jil£il

V ^{j -} QR k 2

(3.5)

Wenn die

Diagonalen

^{über k Stockwerke} einer Fachwerkscheibe fliessen

(r=k),

vereinfacht sich der Ausdruck

(3.5)

^zu

, ,n v k+1

Vk) ^-~r

^(3.6)

j

¹

Querkrafl

r

i

²

VerteiluneJ

k-r

3 ^k-r+1

k-1

rB.E. j

^k

a>

JC i_

a>

5

je u o (fi

Df/k Df-2/k

Df-(k-r+1)/k

Df-(k-1)/k Df

BILD 3.4: DIAGONALENFLIESSKRAEFTE D fi

Mit einer Auswahl

plausibler

Mechanismen können die

massgebenden Gleichungen

der M -M -T -Interaktionsfläche für die ^Traglast des ^Systems ermittelt wer-

x y ^{z t= j}

den. Für das

symmetrische

^K-Fachwerk

genügt

^{es, die}

Gleichungen

^{für den}

posi¬

tiven Koordinatenraum herzuleiten. Unterschieden wird zwischen Stockwerk¬

mechanismen, bei denen nur Stäbe zwischen zwei Deckenebenen

fliessen,

und

Systemmechanismen,

^{bei denen die Stäbe} mehrerer Geschosse oder über die ganze

Systemhöhe

^{ins Fliessen kommen. Die}

Ausdehnung

^der Fliessbereiche einer Fach¬

werkscheibe ist von der

Abstufung

^der Stabfliesskraft über die Stockwerke

abhängig.

Vorerst werden die

Traglasten

^{der sechs}

gewählten

Mechanismen von Bild 3.5 ermittelt.

Systemmechanismen,

^{bei denen die}

Diagonalen

^{nicht über die} ganze Höhe der Fachwerkscheibe fliessen, und Stockwerkmechanismen oberhalb der Basis werden

ausgeschlossen.

^Die

entsprechenden Bedingungen

^der

Systempara¬

meter werden

später

^{formuliert und}

überprüft.

(1)

Symbol

Druckfliessen

der

Diagonalen

(2)

Symbol

©—©

Druckfliessen

der Stützen

| ^Drehachse

Zugfliessen Druckfliessen (3)

d*

Drehachse

^ I

V\

r---4

i D*

|

c>A ^*-y

&

^--,

l

^"5

Drehachse

d-

(5) (6)

o Fliessen

einer Stütze

auf Druck

•

Fliessen

einer

Stütze auf Zug

=Fliessen einer

Diagonale

^auf

Druck

—Fliessen der Diagonalen

^einer

Fachwerkscheibe

auf

Druck

BILD 3.5: MECHANISMEN

Die kinematischen

Bindungen

^{für den ersten} Mechanismus, bei dem die

Diagona¬

len der beiden Fachwerkscheiben in der x-z-Ebene an der Basis auf Druck fliessen, können Bild 3.6 entnommen werden

* d

6H

⁼

Vb

^(3.7)

Bei

Anwendung

^des

Prinzips

^{der virtuellen}

Leistung

^{lassen sich die äussere}

Leistung

^{L und die}

Dissipationsleistung

^{L .} anschreiben

a u

wox*k,1,öH

^(3.8)

2'VÖD

^(3.9)

Mit der

Bedingung

^{L -L. >} 0, ^der

Verwendung

^der kinematischen

Beziehung (3.7),

a u ^—

der

Erweiterung

^der

Leistungsausdrücke

^{L und L . durch k*l/S. und der Be¬}

achtung

^der

Schnittgrössen ^(1.1)

^{resultiert für den ersten} Mechanismus die

Ungleichung

nx

ref _,

°f

k-1 ^, . 1

b«S_ ^{x —} S. d D d

(3.10)

Für den zweiten Mechanismus lassen sich die kinematischen

Bindungen

^{aus Bild}

3.7 herauslesen:

UH

b

(3.11)

Wird die

Beziehung

^{(3.11) in den}

Gleichungen

^{für die}

Leistung ^verwendet,

lauten die auf das

plastische Verformungsinkrement 6g ^bezogenen

^Ausdrücke

für L und ^L.:

a ü

S k« 1 ^•

L ^{= w •k'l-r?«^ +} 2»P ^«6C

a ox b 2 ^o S (3.12)

Ld

^{" 2*}

WÖS

^(3.13)

^b^r- U4-

BILD 3.6 BILD 3.7

Mit der

Bedingung

^{L -L .}

_{>_}

^{0 und nach}

Erweiterung

^{der Ausdrücke mit}

1/Sf

^er¬

gibt

^{sich unter}

Beachtung

^der

Schnittgrössen ^(1.1)

^ff

⁼

^mx

^>

^2.fc

^-

2-^= ^{2.(fc-p) (3.14)}

Für den dritten Mechanismus können wieder die kinematischen

Beziehungen

^von

Bild 3.7 verwendet werden. Die

Gleichungen

^{für die}

Leistungen

^{lauten dem¬}

nach^:

6 6

La

⁼

"ox'^-lPi1

⁺

woy*k>1-F-¥

⁺

^Po'h

^"

^Po'h

(3"15>

Ld

^"

WSS

⁺

V5S

^(3-1B)

Mit der

Bedingung

^{L -L . > 0}

folgt

schliesslich

üg-gSl

⁺

ÜHÜ

^" _m ? m > 1 ^? f„ (3.17)

b«S_p

^{b'S- x y— C}

Für den vierten Mechanismus wird die kinematische

Beziehung

^{(3.7) von Bild}

3.6 übernommen und zusätzlich wird das

Verdrehungsinkrement

^{ö auf der Dreh¬}

achse (Mechanismus 6, Bild 3.5) mit 6,,

verknüpft

6R

⁼

^{b'b (3.18)}

In den

Gleichungen

^{für die}

Leistungen

^{werden die}

plastischen Verformungsin-

kremente auf

6R ^bezogen

Vd Vd Vd

L ⁼ W 'k'1'zrr-r— + w •k-l'—r— + w ,

•k^•1^—=-z— (3.19)

a ox 2«b oy ^{2*b ot b2}

Ld

⁼

2«Df«öD

^(3.20)

Mit der

Bedingung

^L_a^-L_q^. —^{> 0 und unter}

Berücksichtigung

^der

Schnittgrössen

(1.1)

ergibt

^{sich nach}

Erweiterung

^der

Gleichungen

^{für die}

Leistung

^mit

k-l/(Sf-d)

Mx

ref

ny

^ref _

Tz

ref k«l x ^, k«l _^ ^_

Df

k«l -c~s— ⁺ u c— ⁺ u o—•-n- ^{= m + m + t •—r— > 2«-s—}•—-j— ⁼

b«S- b*S_p ^{b'S- b x y z b — S„ d}

=

2-k-fD-i ^(3.21)

Die kinematischen

Beziehungen

^{für den fünften} Mechanismus können aus Bild 3.8

herausgelesen

werden, ^{wobei alle}

Diagonalen

^den

gleichen plastischen

Verkürzungszuwachs 8n

^erfahren.

-r-»k«l ⁼ ö-b

b und ^{Ön'TT'k =} Ö«2«b

D b

(3.22)

i>-2-b

i-b4 Ir-b-ir

BILD 3.8

Werden die

plastischen Verformungsinkremente

^auf

h _bezogen,

lauten die Glei¬

chungen

^{für die}

Leistungen

• • • • .

L„ ⁼ w„»k«^{1-x'—=— +} w »k^l••£••=¦ ⁺ w , «k'l»^ ⁺ P ^•—i—=-

a ox 2 2 oy 2 2 ot 2 o k«l (3.23)

• • •

2«b2

^•

b2

d _{._.} fi D C f S Q f k*d C f k*l (3.24)

Mit der

Bedingung

^{L -L . > 0}

ergibt

^{sich nach}

Erweiterung

^mit

2«k»l/(b2«S£)

au— T

Q x ref ^ y ref _,_ z ref k«l

3*—: = ⁺ —!*—= ⁺ —: = •—:

b'Sn b»S,

b«Sf

^{b 3-m}

+ m ⁺ t ^{'—r" >}

4»fn»W^-i

x y ^zb— Q ^{S. d}

+

2*V 2T

^A.f0^.fD.i.d ^{+ ?• ff}C^-niPJ

(3.25)

Die kinematischen

Bindungen

^{für den sechsten} Mechanismus

ergeben

^{sich aus}

Bild 3.9 zu

-r—«k«l ⁼

ö*b

und

b

r. _

b'bz

^. x l

?

ö»b2

°D

^" k«d

°S*d

^" ^*k«d (3.26)

U4

?z 8s^

U-X

BILD 3.9

Werden die

plastischen Verformungsinkremente

^{wieder auf}

b _bezogen,

so lauten die

Gleichungen

^{für die}

Leistungen

L= ⁼ w w•k• 1^{*—••=¦ + w •k'l'-s-*— + w .•k-l-TT +} P ^{•¦:—=—}

a ox 2 2 oy 2 2 ot 2 ^o k*l (3.27:

• • •

2«b2

^•

b2

Ld i^1 ^{Ufi ÖD +C bf °S +Q Uf}

^{° k'd C}

^bf

^{Ü k-1 (3.28)}

Mit der

Bedingung

^{L -L.}

_{_>}

⁰

ergibt

^{sich nach}

Erweiterung

^{mit 2«k*1/}

(b2

«Sn)

x ref _^ ^y ref _^ zrefk'l ^ ^ , k«l . . n fl

———— + J — + —•—7— ⁼ m ⁺ m ⁺ t •—r— > 4*fn«-p—^{«-T +}

b*S_p

^b'S_

b«S_p

^{b x y zb—}

QSfd

P ,

+ ^2*f ^- 2«— ⁼ 4»f »f ^{•— +} 2«(f ^-ü)

TC ^{^} Sr Q ^{D d Z lTC PJ} (3.29)

Nach dem kinematischen Grenzwertsatz muss die

Traglast

^{(in den Formeln mit}

dem Index _p versehen) jeweils ^{kleiner oder höchstens}

gleich

^der Lastkombina¬

tion

sein,

die aus den

aufgeführten

Mechanismen gewonnen wurde. Werden die

Abkürzungen

M

x ref b-S„

M ref

,, _ z

ref.l

_

z

b-Sf

^b

vS-

f' ⁼ f ^•—

rD D d ^'

b-S,

(3.30)

eingeführt,

^{so lassen sich die}

Ungleichungen

^{für die}

Traglast

^{der sechs} ge¬

wählten Mechanismen wie

folgt

anschreiben:

V-k*fD ^(3'31)

m <

2«(fc-p) ^(3.32)

m ⁺ m < 1 ^{+ fn}

(3.33)

px py ^- C

m ⁺ m ⁺ f »k ^{< 2'k'f'} (3.34)

px py pz ^— D

3«m „

+ m ⁺ t* 'k ^{< 2-(f_-p) + 4-fn»f'} (3.35)

px py pz ^— C ^{^} Q ^D

m ⁺ m ⁺ t' -k ^{< 2«(f„-p) + 4«fn«f'} (3.36)

px py pz ^— C ^H Q D

Bevor nach weiteren

möglichen

Mechanismen

gefragt ^wird,

^{sind die}

Beziehungen (3.34)

und (3.36) miteinander zu

vergleichen.

^{Dabei wird}

gefordert,

^{dass im}

Vergleich

der rechten Seiten die

Ungleichung

2«k'f£

^<

2»(fc-p)

⁺

4*fQ,fö

^(3.37)

resultiere,

oder nach dem Parameter

fQ ^aufgelöst

k

fC~p

fQ

^{> 2 "}

2^f\T ^(3.38)

Die Werte

(fp-p)

^{und f' können nur}

^positiv

^{sein. Die}

Minimalbedingung

^für

den Wert von

fn

^{ist in der}

^{Beziehung (3.6)} festgelegt.

^{Damit ist die Un¬}

gleichung

^{(3.37) für das}

gewählte

^{K-Fachwerk immer}

gültig

^{und der}

System¬

mechanismus, der zur

Ungleichung ^(3.36) geführt

hat, wird deshalb

verunmog¬

licht^.

Für den

positiven

^{m -m -t'} -Koordinatenraum müssen die Ungleichungen (3.31)

p* py pz ^B

und

(3.32)

noch für die

y-Richtung angeschrieben ^werden,

^{während die Beziehun¬}

gen

(3.33)

und

(3.34)

durch ihren

symmetrischen

^{Aufbau für beide}

Hauptrich¬

tungen gültig

^{sind. Der fünfte} Mechanismus mit der

zugehörigen Ungleichung

(3.35) kann zu acht Fällen

ergänzt

werden, ^{wenn nur} die

massgebenden

^Mecha¬

nismen, die zu

Ungleichungen

^{mit mindestens zwei}

positiven

^{Vorzeichen in den}

Koordinaten m , m und t' führen, berücksichtigt werden. Die möglichen

px py pz ^{• = =}

Kombinationen sind im Bild 3.10 in der

Symboldarstellung

^{mit den Lastvor¬}

zeichen

(Pfeilrichtungen) aufgezeichnet.

^Die

zugehörigen Ungleichungen

^können

damit in der

Reihenfolge

^{der für m > m}

massgebenden

^ersten

Gruppe

^von Mechanismen formuliert werden:

3*mpx

⁺

mpy

⁺

k,tPz ^{1 2^Vp)}

⁺

^{4'Vfd (3'39)}

3*mpx

^"

mpy

⁺

k,tpZ ^{i 2*(1+p)}

⁺

^{4*VfD (3-40)}

-3*mPx+ mPy

⁺

k,tPz

^-

^2*(1+p)

⁺

4*Vfö

^(3-4n

3«m ⁺ m ^- k't" ^{< 2*(1+p) + 4«fn«f'}

px py pz ^{— K} QD (3.42:

Für f ^< 1 werden die

Beziehungen ^(3.40),

^{(3.41) und (3.42) durch} (3.39) eliminiert.

mpx

^-

mpy

-

W ^Eb: S0 ^ig

mpx ^{^} nripy

>1

®-

N I ^\

^

?

~®

°

Fliessen

der Stütze auf Druck

• Fliessen der Stütze auf

Zug

positive

Lastvorzeichen :

|

^x

Fliessen der

Diagonalen

einer

Fachwerkscheibe

BILD 3.10: SYMBOLDARSTELLUNG DER SYSTEMMECHANISMEN

Die Ungleichungen_{& to} der für m < m massgebenden zweiten ^Gruppe von Mechanis-

px ^— py ^{ö rr}

men lauten:

m ⁺ 3«m ⁺ k«f ^{< 2«(1+p) + 4«fn«f'}

px py pz ^{— r} Q D

m ^- 3«m ⁺ k't' ^{< 2«(fP-p)+ 4'fn-f'}

px py pz ^— C ^{^} Q D

-m ⁺ 3«m ⁺ k't' ^{< 2«(fr-p)+ 4'fn-f'}

px py pz ^— C ^K Q ^D

m ⁺ 3«m ^- k't' ^< 2«(fr-p)+ 4«fn«f'

ny nu n7 ^— R ^{^} LI n

px py pz ^{Q D}

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

Die

Beziehungen ^(3.43),

^{(3.45) und (3.46) können}

gleichzeitig

^{auftreten. Da¬}

gegen

nisrt.

gegen wird die Ungleichung (3.44) im Bereich ^{m < m} durch (3.45) elimi-

6 & & &

px ^— py

Werden, wie in diesem Abschnitt

vorausgesetzt, Systemmechanismen,

^{bei denen}

die

Diagonalen

^{nicht über die} ganze Höhe der Fachwerkscheiben fliessen, ^und Stockwerkmechanismen oberhalb der Basis

ausgeschlossen,

^{existieren zehn}