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Abiturvorbereitung Gauß-Verfahren S. 1 von 4

Gauß-Verfahren

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Allgemeines zu linearen Gleichungssystemen

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Beschreibung Gauß-Verfahren

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Beispiele

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Übungsaufgaben

Allgemeines zu linearen Gleichungssystemen

Unter einem linearen Gleichungssystem (Abk.: LGS) versteht eine Menge von Gleichungen folgender Form:

a₁₁⋅x₁ + a₁₂⋅x₂ + a₁₃⋅x₃ + … + a_1n⋅x_n= b₁ a₂₁⋅x₁ + a₂₂⋅x₂ + a₂₃⋅x₃ + … + a_2n⋅x_n= b_{2 a}

31⋅x₁ + a₃₂⋅x₂ + a₃₃⋅x₃+ … + a_3n⋅x_n = b₃ •

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^am1⋅x₁ + a_m2⋅x₂+ a_m3⋅x₃ + … + a_mn⋅x_n = b_m

Zeilen und Spaltenzahl können unterschiedlich sein; ^aik und b_i sind Konstanten, ^xi Variablen.

Beispiel:

x +2y + z =9 −2x − y + 5z = 4 x − y +3z = 4

Lineare Gleichunssystem begegnen einem in der Mathematik bei vielen unterschiedlichen Fragestellungen, z.B.:

• Berechnen Schnittpunkt zweier Geraden

• Berechnen Schnittgerade / Schnittpunkt von Ebenen

• Bestimmung einer Gerade, wenn zwei Punkte der Geraden gegeben sind.

• Bestimmung einer Ebene, wenn drei Punkte der Ebene gegeben sind.

• Bestimmung der Parabelgleichung, wenn 3 Punkte der Parabel gegeben.

• Weitere Beispiele: s.u.

Satz:

Ein LGS hat entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.

19.10.2015

Abiturvorbereitung Gauß-Verfahren S. 2 von 4 Wenn ein LGS von folgender Form ist

x +2y + z = 9 3y + 7z = 23 9z =18

dann spricht man von einem LGS in Stufenform.

Wenn ein LGS in Stufenform vorliegt, ist es leicht, eine Lösung des LGS zu bestimmen:

Aus letzten Gleichung erhält man den Wert von z; hier z = 2.

Einsetzen in die mittlere Gleichung liefert y; hier y = 3.

Einsetzen von y und z in die erste Gleichung liefert x; hier x = 1.

Das nachfolgend beschriebene Gauß-Verfahren dient dazu, ein LGS in ein gleichwertiges LGS

in Stufenform überzuführen. Mit gleichwertig ist gemeint, dass das LGS in Stufenform und das ursprüngliche LGS die gleichen Lösungen besitzen.

Beschreibung Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren beinhaltet, dass auf ein LGS nachfolgende Operationen angewendet werden dürfen:

Operationen des Gauß-Verfahrens:

(1) Vertauschen von zwei Zeilen.

(2) Vertauschen von zwei Spalten.

(3) Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Die Operation (3) ist bei weitem die wichtigste / am häufigsten angewendete Operation.

Die Operationen (1) und (2) werden angewandt, um eine u.U. übersichtliche Darstellung bzw. günstigere Anordnung für den Rechenweg herzustellen.

Hinweis: (3) Schließt ein Subtrahieren mit ein, in dem die betreffende Zeile (noch) mit -1 multipliziert wird.

Satz: Die Anwendung des Gauß-Verfahrens läßt die Lösungsmenge unverändert.

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Beispiele

(1)

I x + 2y + z = 9

II -2x - y + 5z = 5 | IIa = II + 2 • I III x - y + 3z = 4 | IIIa = III - I

I x + 2y + z = 9 IIa 3y + 7z = 23

IIIa -3y + 2z = -5 | IIIb = IIIa + 2 • IIa

I x + 2y + z = 9 IIa 3y + 7z = 23 IIIb 9z = 18

→

(2)

I x - 2y + z = 3

II 2x - 3y - z = 1 | IIa = II - 2 • I

I x - 2y + z = 3 IIa y - 3z = -5

→

(3)

I x + 3y - 4z = 1

II 3x - 2y + z = 0 | IIa = II - 3 • I II -1,5x + y - 0,5z = -1 | IIIa = III + 0,5 • II

I x + 3y - 4z = 1 IIa - 11y + 13z = -3 IIIa 0 = 1

→ keine Lösung

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