MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITAT MUNCHEN
Prof. Dr. Otto Forster
WS 2000/2001
Ellipti sche Funktionen und Ellipti sche Kurven,
Ubungen
Blatt 11
Es seik stets ein algebraisch abgeschlossener Korper mit char(k)6= 2;3.
Aufgabe 41
Man betrachte eine elliptische KurveE P2(k) mit der anen GleichungY2 =P3(X).
Sei fernerk0 k ein Korper, uber dem E deniert ist, also P3(X)2k0[X].
Fur die 2-Teilungspunkte (siehe Aufgabe 9) vonE(k0), das heit die PunkteP 2E(k0) mit 2P =O, beweise man:
E(k0) hat einen, zwei, oder vier 2-Teilungspunkte.
Aufgabe 42
Sei E eine elliptische Kurve uber k0 wie in Aufgabe 41. Der Korper k0 sei endlich.
Zeigen Sie:
Die Gruppenordnung von E(k0) ist genau dann gerade, wenn das Polynom P3(X) mindestens eine Nullstelle in k0 besitzt.
Aufgabe 43
SeiE eine elliptische Kurve uber k0 wie in Aufgabe 41.
a) Man beweise: Der ane Teil von E(k0) hat entweder keinen, zwei oder acht Wen- depunkte.
b) Welche Falle konnen im Fallk0 =RC =k auftreten?
Aufgabe 44
Es seienE eine elliptische Kurve uber C und p1;p2 2E(C), p1 6=p2, zwei verschiedene Punkte auf dieser Kurve.
a) Man zeige: Es gibt stets eine rationale FunktionF 2K(E), die inp1 undp2 Nullstel- len erster Ordnung und genau einen Pol 2. Ordnung in einem weiteren Punktq 2E(C) hat. Fur den Punkt q gibt es vier verschiedene Moglichkeiten.
b) Gilt diese Aussage auch fur elliptische Kurven uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen Korper?
