Einführung in die Stochastik Übungsblatt 12
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Schlicht 25. Juni 2010
Dr. Mehdi Slassi
Dipl. Math. Andreas Fromkorth
Aufgabe 12.1 4 Punkte
Die Zufallsvariablen X1, . . . , Xn seien unabhängig identisch auf [θ, 2θ] gleichverteilt, d.h. sie sind unabhängig und besitzen (jeweils) eine Dichtefθ:R→R+mit
fθ(x) =
1
θ für θ≤x≤2θ, 0 für x6∈[θ, 2θ].
Hierbei istθ∈R+ein Parameter der Dichte fθ. a) Zeigen Sie, dass der Schätzer
Tn(X1, . . . ,Xn) = 2 3·n
n
X
i=1
Xi
ein erwartungstreuer Schätzer fürθ ist.
b) Ist der Schätzer in a) auch konsistent? Begründen Sie ihre Antwort.
Aufgabe 12.2 4 Punkte
SeienX1, . . . ,Xnunabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte
fα(x) =
α, falls0≤x≤10
1
10−α, falls10<x≤20
0 sonst.
Zeigen Sie: Der Schätzer
Tn(X1, . . . ,Xn) = 1 10·n
n
X
i=1
1[0,10](Xi)
mit
1[0,10](x) =
1 für 0≤x≤10,
0 für x<0oderx>10,
ist ein erwartungstreuer Schätzer fürα. Ist der Schätzer auch konsistent?
1
Aufgabe 12.3 4 Punkte SeienX,X1,X2, . . .unabhängige und identisch verteilte reelle Zufallsvariablen mit VerteilungsfunktionF. Ausgehend von X1, . . . ,XnkannFgeschätzt werden durch die sogenannte empirische Verteilungsfunktion
Fn:R→R, Fn(x) =1 n·
n
X
i=1
1(−∞,x](Xi).
a) Skizzieren Sie (für festgehaltene Werte vonX1, . . . ,Xn) den qualitativen Verlauf vonFn. Warum handelt es sich in der Tat um eine Verteilungsfunktion?
b) Zeigen Sie: Fürx∈Rfest und für allen∈Ngilt
E Fn(x)=F(x)
c) Zeigen Sie: Für x∈Rfest gilt
Fn(x)→F(x) f.s. (n→ ∞) d) Was können Sie (fürx∈Rfest) über die Verteilung vonn·Fn(x)aussagen?
Aufgabe 12.4 4 Punkte
Sei Pθ
θ∈Θein statistisches Modell. Die ZufallsvariablenX1, . . . ,Xnseien unabhängig, identisch verteilt und reellwertig.
Die Verteilung vonX1seiPθ mit unbekanntem Parameterθ ∈Θ. SeiTn(X1, . . . ,Xn)eine Folge von Schätzern fürg(θ), wobeig:Θ→Reine reellwertige Funktion ist.
a) Zeigen Sie
Eθ
|Tn−g(θ)|2
= Eθ(Tn)−g(θ)2+Varθ(Tn).
b) Was folgt aus der in Teil (a) gezeigten Gleichung, wennTnzusätzlich erwartungstreu fürg(θ)ist?
c) SeiTnerwartungstreu fürg(θ), (n∈N). Geben Sie (mit Begründung) eine Bedingung bzgl.Var(Tn)an, welche die Konsistenz vonTnimpliziert.
Abgabetermin:Freitag, 09. Juli 2010 vor der Vorlesung.
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