Grundlagen der theoretischen Informatik

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Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Fachbereich 4: Informatik

M.Ed. Dennis Peuter 07. Juni 2018

Übung zur Vorlesung

Grundlagen der theoretischen Informatik

Aufgabenblatt 7 Lösungen

Wiederholung: Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

Sei Leine kontextfreie Sprache, ∀L∈ L₂:

dann gibt es eine Konstante n∈N, ∃n∈N:

so dass alle Wörter ausL, die mind. Längen haben, ∀z∈L:|z| ≥n=⇒

zerlegbar sind inz=uvwxy, ∃u, v, w, x, y∈Σ^∗ :z=uvwxy wobei|vwx|< nund |vx| ≥1 ∧ |vwx|< n ∧ |vx| ≥1 und uv^kwx^ky∈L für allek∈N. ∧ ∀k∈N:uv^kwx^ky∈L

Aufgabe 7.1

Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Sprachen kontextfrei sind.

a) L₁ ={aⁱb^jcⁱd^j |i, j∈N}

Lösung:

AngenommenL₁ sei kontextfrei. Dann gilt das Pumping-Lemma für diese Sprache. Sei also ndie Konstante aus dem Pumping-Lemma undz=aⁿbⁿcⁿdⁿ ein Wort ausL₁ mit|z|> n. Dann muss es eine Zerlegung z =uvwxy mit |vx| ≥1 und |vwx|< ngeben für die gilt:

uvⁱwxⁱy ∈L₁ für allei∈N.

Seiz=uvwxy diese Zerlegung, dann gilt:

(1) voderxnicht ina^∗∪b^∗∪c^∗∪d^∗. Beim Aufpumpen entstehen Wörter mitba,cbbzw.

dcals Teilwort. Das so entstandene Wort liegt also nicht inL₁. (2) v=εoderx=ε. Sei o.B.d.Av=ε. Dann gilt entweder

1. x∈ a⁺ oder x ∈c⁺. In diesem Fall führt Aufpumpen dazu, dass das Wort unter- schiedlich vielea undc enthält. Also liegt das Wort nicht inL₁.

2. x∈ b⁺ oderx ∈ d⁺. In diesem Fall führt Aufpumpen dazu, dass das Wort unter- schiedlich vieleb unddenthält. Also liegt das Wort nicht in L1.

(3) v∈a⁺ und

1. x ∈a⁺ oderx ∈ b⁺: Beim Aufpumpen enthält das Wort mehr aals c. Also liegt das Wort nicht inL1.

2. x∈c⁺ oderx∈d⁺: w enthält alle b. Also gilt|w| ≥n, also auch|vwx|> n.

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Grundlagen der theoretischen Informatik SS2018 Blatt 7 Lösungen

(4) v∈b⁺ und

1. x ∈b⁺ oder x ∈ c⁺: Beim Aufpumpen enthält das Wort mehr b als d. Also liegt das Wort nicht inL₁.

2. x∈d⁺: wenthält alle c. Also gilt |w| ≥nund damit|vwx|> n.

(5) v∈c⁺ undx∈c⁺oderx∈d⁺: Beim Aufpumpen enthält das Wort mehrcalsa. Das Wort liegt also nicht in L₁.

(6) v∈d⁺, dann gilt auchx∈d⁺. Beim Aufpumpen enthält das Wort mehrdalsb. Das Wort liegt also nicht in L₁.

Eine solche Zerlegung kann also nicht existieren. Daher istL1 nicht kontextfrei.

b) L2 ={aⁱb^jc^k |i, j, k∈N, i < j < k}

Lösung:

Angenommen L2 sei kontextfrei. Dann gilt das Pumping-Lemma für diese Sprache. Sei alson die Konstante aus dem Pumping-Lemma undz =aⁿbⁿ⁺¹cⁿ⁺² ein Wort aus L2 mit

|z|> n. Dann muss es eine Zerlegungz=uvwxy mit |vx| ≥1 und |vwx|< n geben für die gilt: uvⁱwxⁱy∈L2 für allei∈N.

Seiz=uvwxy diese Zerlegung, dann gilt:

(1) voderxnicht ina^∗∪b^∗∪c^∗. Dann entstehen beim Aufpumpen Teilworte der Formba bzw. cb. Das so entstandene Wort liegt also nicht in L2.

(2) v, x∈a^∗: Wegen|vx|>0hat das Wortuv²wx²ymindestens so vieleawiebund liegt nicht inL₂.

(3) v, x∈b^∗: Wegen|vx|>0hat das Wortuv²wx²ymindestens so vielebwiecund liegt nicht inL2.

(4) v, x∈c^∗: Wegen|vx|>0 hat das Wort uv⁰wx⁰y höchstens so viele c wieb und liegt nicht inL2.

(5) v∈a⁺ undx∈b⁺: Dann hat das Wortuv²wx²y mindestens so vielebwiecund liegt nicht inL₂.

(6) v∈a⁺ undx∈c⁺: Diese Zerlegung ist wegen|vwx|< n nicht möglich.

(7) v∈b⁺ undx∈c⁺: Dann hat das Wort uv⁰wx⁰y höchstens so vieleb wiea und liegt nicht inL₂.

Eine solche Zerlegung kann also nicht existieren. Daher istL2 nicht kontextfrei.

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