Höhere Mathematik 4 Formelsammlung

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

H¨ ohere Mathematik 4

1. N¨ utzliches Wissen e

^ix

= cos(x) + i · sin(x)

1.1 Sinus, Cosinus

sin²(x)+cos²(x) = 1

x 0 π/6 π/4 π/3 ¹₂π π 1¹₂π 2π

ϕ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ sin 0 ¹₂ √¹

2

√3

2 1 0 −1 0

cos 1

√3 2 √1

2 1

2 0 −1 0 1

tan 0

√3

3 1 √

3 ±∞ 0 ∓∞ 0

Additionstheoreme Stammfunktionen cos(x−^π₂) = sinx ´

xcos(x) dx= cos(x) +xsin(x) sin(x+^π₂) = cosx ´

xsin(x) dx= sin(x)−xcos(x) sin 2x= 2 sinxcosx ´

sin²(x) dx=¹₂ x−sin(x) cos(x) cos 2x= 2 cos²x−1 ´

cos²(x) dx=¹₂ x+ sin(x) cos(x) sin(x) = tan(x) cos(x) ´

cos(x) sin(x) =−¹₂cos²(x) Sinus/Cosinus Hyperbolicussinh,cosh

sinhx=¹₂(e^x−e^−x) =−i sin(ix) cosh²x−sinh²x= 1 coshx=¹₂(e^x+e^−x) = cos(ix) coshx+ sinhx=e^x Kardinalsinussi(x) =^sin(x)_x genormt:sinc(x) =^sin(πx)_πx

1.2 Integrale

´

e^xdx=e^x= (e^x)⁰ Partielle Integration:´

uw⁰=uw−´ u⁰w Substitution:´

f(g(x))g⁰(x) dx=´ f(t) dt

F(x) f(x) f⁰(x)

1

q+1x^q+1 x^q qx^q−1

2

√ ax3 3

√ax ₂^√a_ax

xln(ax)−x ln(ax) ^a_x

1

a2e^ax(ax−1) x·e^ax e^ax(ax+ 1) ax

ln(a) a^x a^xln(a)

−cos(x) sin(x) cos(x)

cosh(x) sinh(x) cosh(x)

−ln|cos(x)| tan(x) ¹

cos2 (x)

´e^atsin(bt) dt=e^{at asin(bt)+b}_{a2 +b2}^cos(bt)

´_√dt at+b=²

√at+b a

´t²e^atdt=^{(ax−1)2 +1} a3 e^at

´te^atdt= ^at−1

a2 e^at ´

xe^ax2dx= _2a¹e^ax2

1.3 Exponentialfunktion und Logarithmus

a^x=e^xlna log_ax= ^lnx_lna lnx≤x−1 ln(x^a) =aln(x) ln(^x_a) = lnx−lna log(1) = 0

1.4 Determinante von

A∈K^n×n

:

det(A) =|A|

det A e

0 C e

e D f

!

= det A e

B 0 e e

D f

!

= det(A e

)·det(D f ) HatA

e

2 linear abh¨ang. Zeilen/Spalten⇒ |A e

|= 0 Entwicklung. n.iter Zeile:|A

e

|= n P i=1

(−1)^i+j·a_ij· |A e

ij|

Inverse2×2:

"

a b

c d

#−1

= _ad−bc¹

"

d −b

−c a

#

i =√

−1 |z|²=zz^∗=x²+y²

1.5 Reihen

∞ P n=1

1 n→ ∞ Harmonische Reihe

∞ P n=0

q^n|q|<1= _1−q¹ Geometrische Reihe

∞ P n=0

zn n! =e^z Exponentialreihe

1.6 Wichtige Formeln

Dreiecksungleichung:

|x| − |y|

≤ |x±y| ≤ |x|+|y|

Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

x^>·y

≤ kxk · kyk Bernoulli-Ungleichung: (1 +x)ⁿ≥1 +nx Aritmetrische Summenformel Pⁿ

k=1

k=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ Geometrische Summenformel Pⁿ

k=0

q^k=^1−qn_1−q⁺¹

Binomialkoeffizient _n

k

= _n n−k

=_k!·(n−k)!^n!

2. Grundlagen der Numerik

Begriffe:

Numerik liefert eine zahlenm¨aßige L¨osung eines Problems mit einem Algorithmus.

Kondition Ein Maß wie stark sich Eingabefehler auf die Ausgabe auswirken.κ=^kδfk_kδxk→ |f⁰(x)|

f(x) Mathematisches Problemfmit exakter Eingabex f˜(˜x) Numerischer Algorithmusf˜mit gerundeter Eingabe˜x

2.1 Zahlen und Arithmetik im Rechner

Gleitkommazahlen nach IEEE 754: W ert= (−1)^s·2^e−127·1.f s∈

−1; 1 : Vorzeichen,e∈Z: Exponent,f∈N: Mantisse Gleitpunktzahlen:

Gb,t= x∈Gb,t

e_min≤e_max ∪

±∞,NaN Maschinenzahlen:

Mb,t,emin,emax= x∈Gb,t

e_min≤e≤e_max ∪

±∞,NaN Anzahl der Maschinenzahlen|M|= 2a(b−1)b^t−1+ 1 Maschinengenauigkeit_b,t=b^−(t−1)

In MATLAB:2,53≈2×10⁻¹⁶ Runden:f l_b,t(x)

2.2 Kondition:

κ_abs(x) = f⁰(x)

κ_rel(x) = f0(x)

·|x|

|f(x)|

Fallsκ_rel100: gute Konditionierung

Verkettungh=g(f(x)) κ^h_abs(x) =κ^g_abs(f(x))κ^f_abs(x)

2.3 Fehler

Absolut:

f˜(x)−f(x)

Relativ:

f(x)−f(x)˜

kf(x)k

2.4 Stabilit¨ at

∀x∈X ∧ x˜: ^kx−˜_kxk^xk=O(_b,t) Vorw¨artsstabil:

f(x)−f( ˜˜ x)

kf(x)k =O(_b,t) R¨uckw¨artsstabil:∀x∈X: ˜f(x) =f(˜x)

Horna-Schema f¨ur Polynome:(...((an)x+an−1)x+...+a1)x+a0

3. Matrix Zerlegung

3.1 LR-Zerlegung von Matrizen (Lower and Upper)

Geeignetes L¨osungsverfahren f¨urA

e

x=b, fallsn <500 A

e

=L e

·R e

mitR e

ist obere Dreiecksmatrix Gaußverfahren durch Matrixmultiplikaiton

•Zerlegen des ProblemsA e

x=bin das ProblemL e

(R e

x) =bmit A

e

=L e R

e bzw.L

e y=P

e

b(mit Pivotisierung)

•Zerlegungsmatrix (f¨ur2×2):

A e

=

"

a b

c d

#

→

"

a b

c a d−^c

ab

#

=A e

∗mit den Eliminations-

faktorenl_ik= ^aik akk

z.B.= _a^c

•F¨ur jede Spalte der unteren Dreiecksmatrix wiederholen.

F¨ur eine3×3Matrix br¨auchte man 2 Durchl¨aufe, da 3 Spalten Elimationsfaktoren bestimmt werden m¨ussen.

•R e

=triu(A e

∗)

(obere Dreiecksmatrix vonA e

∗, inkl. Diagonalelemente)

•L e

=tril(A e

∗,−1) +1

(untere Dreiecksmatrix mite 1en auf der Diagonale.

•Vorw¨artseinsetzen:L e

y=bbzw.L e

y= P e

b(mit Pivotisierung) (L¨ose nachy)

•R¨uckw¨artseinsetzen:R e

x=y (L¨ose nachx) 3.1.1 Pivotisierung (Spaltenpivotsuche) PermutationsmatrixP

e

>=P e

−1vertauscht Zeilen, damit LR Zerlegung bei 0 Eintr¨agen m¨oglich ist. Tausche so, dass man durch die betragsm¨aßig gr¨oßte Zahl dividiert (Pivoelement)

3.2 QR-Zerlegung

A

e

=Q e R

e mitQ

e

−1=Q e

>

Verfahren: Housholder (numerisch stabil) , Gram-Schmidt, Givens Rotati- on.

A e

−EZF−−−→H f A e

−EZF−−−→H˜ f H f A

e

=R e

⇒A e

=H f

>H˜ f

>R Aufgabe: Finde Vektorvder Senkrecht aufH e

f steht.

Q/R Zerlegung f¨urA e

∈R^m×n

•Setzea=s₁(erste Spalte) undv=a+ sgn(a₁)kake₁

•Konstruiere dieHouseholderTransformationsmatrix mit H

f v=E

e m− ²

v>vvv^>

•Erhalte die MatrixH f

vA e

die in der ersten Spalte bis auf das Element a11nur Nullen enth¨alt

•SetzeQ e

1=H f v

•Wende den gleichen Algorithmus auf die UntermatrixA e

∗(H f

vA ohne erste Zeile und Spalte) an. e

•Setze anschließendQ e

2=H f

vund f¨ulle mit erweitere mitE_m(d.h.

erste Zeile und Spalte die vonE_m)

•Nachp= min

m−1, n Schritten:H f

vA e

∗ist obere Dreiecks- matrix→Disco, disco, party, party; )

•Somit ist mitQ e

>=Q e

p· · ·Q e

1istQ e

>A e

=R e

undA e

=Q e R

e Anwendungen

L¨osen von LGSen mit der QR Zerlegung Bestimme x durch R¨uckw¨artssubsitution ausR

e x=Q

e

>b

Anwendung in der linearen Ausgleichsrechnung (Minimierung d. Re- stes)

Problem:A e

>A e

x=A e

>bmitA e

∈R^m×nundb∈R^m L¨osen der Normalengleichung

•Bestimme eine reduzierte QR-Zerlegung A

e

= ˜Q e R˜

e mitQ˜

e

∈R^m×n,R˜ e

∈R^n×n

•L¨oseR˜ e

x= ˜Q e

>b

b−A

e x

2= Q

e

>(b−A e x)

2=

˜b−R˜ e x

2+kck²≥ c²

4. Fixpunktiteration

Nullstellenproblemf(x) = 0

Fixpunktproblemφ(x) =x mitφ(x) =g(x)f(x) +x Rekursive L¨osung: xi+1=φ(x)

Bsp:x⁷−x−2 x=√⁷

x+ 2, x=x⁷−2 MATLAB:x=s; for k=1:n; x=phi(x); end

4.1 Konvergenz von Iterationsverfahren

Falls(x_k)_kmitx₀=sundx_k+1=φ(x_k)dann ist der Grenzwert von (x_k)_kein Fixpunkt vonφ, dennx= lim

k→∞φ(x_k) =φ( lim k→∞x_k) = φ(x)

Fehlere_k=|x_k−x∗|

Libschitzstetig:∃L <∞:kf(a)−f(b)k ≤Lka−bk Globaler Konvergenzsatz von Banach f¨urφ:D→Rⁿ Falls

•D⊆Rⁿist abgeschlossen

•f(D)⊆D(Selbstabbildung)

• ∃L= sup x∈D

φ⁰(x)

<1 (Kontraktion)

Dann konvergiertφ∀x₀∈Deindeutig gegenx∗und es gilt folgende Fehlerabsch¨atzung:

•A-Priori:kx_k−x∗k ≤_1−L^Lk kx₁−x₀k ≤ε

•A-posteriori:kx_k−x∗k ≤_1−L^L

x_k−xk−1

•F¨ur Genauigkeitε:k≥ln _ε(1−L) kx1−x0k

/ln(L) Lokale Konvergenz:φ([a, b])⊆[a, b] ∧

φ⁰([a, b]) <1 Lokale Konvergenz ohne Norm:Fallsmaxλ_i<1mitλ_iis EW vonJ

e φ

5. Iterative N¨ aherungsverfahren

Problemstellung

SchreibeA

e

x=bin ein Fixpunktproblem um:

FindeA e

=M f

−N f

mitM f

ist invertierbar. ⇒(M f

−N f

)x=b φ(x) =M

f

−1N f

x+M f

−1b=T e

x+C e F¨ur jedesx₀∈Rⁿkonvergent, falls Spektralradiusρ(M

f

−1N f

)<1 Je kleiner der Spektralradius vonM

f

−1N f

desto bessere Konvergenz.

A e

=M f

−N f

Systemmatrix D

f

Diagonalmatrixdiag(diag(A e )) L

e

negative linke untere Dreiecksmatrix R

e

negative rechte obere Dreiecksmatrix

Wichtige Begriffe

Diagonaldominante Matrix:Diagonalelemente sind gr¨oßer als die restli- chen Elemente der selben Zeile:|a_ii|>P

j|a_ij|mitj6=i Spektralradiusρ(A

e

)einer MatrixA e

:Betragsm¨aßig gr¨oßter Eigenwert.

Konvergenzbeweis aller Verfahren: Gershgorinkreise um die Null mitr≤ 1

5.1 Jacobiverfahren

Konvergiert∀x₀∈Rⁿ, fallsA

e

strikt diagonaldominant.

x₀=s∈Rⁿ M f

=D f

N f

=L e

+R e

=D f

−A e x_k+1=φ(x_k) =D

f

−1·(D f

−A e

)·x_k+D f

−1b

Komponentenweise:x_k+1= (a⁻¹_ii (b_i− P j=1,j6=i

a_ijx_k,j)_i

Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bittesofortmelden. von Emanuel Regnath und Martin Zellner - info@latex4ei.de Stand: 20. Februar 2013 um 0:39 Uhr 1

5.2 Gauß-Seidel Verfahren

Unterschied zu Jacobi: Komponentenweise Berechnung vonxmit bereits iterierten Werten. (K¨urzere Iterationszyklen)

Konvergenz:A e

ist strikt diagonaldominantoderA e

ist positiv definint.

Komponentenweise Darstellung:

x^(k+1)_i =a⁻¹_ii



b_i− i−1 X j=1

a_ijx^(k+1)_j − n X j=i+1

a_ijx^(k)_j





Matrixdarstellung:

x^(k+1)= (D f

−L e

)⁻¹· R e

x^(k)+b MitM

f

= (D f

−L e

) N

f

=R e

5.3 SOR Verfahren

Konvergenz:f¨ur0< ω <2und positiv definitesA e x^(neu)_k+1 =ωx^(alt)_k+1 + (1−ω)x_k

Bestimmeωso, dass die Konvergenz besser wird:ω_opt=_2−λ² 1−λ2 Matrixdarstellung:

x_k+1= (1 e

n−ωD f

−1L e

)⁻¹((1−ω)1 e

n+ωD f

−1R e

)x_k+ω(1_n− ωD

f

−1L e

)⁻¹D f

−1b A

e

= (_ω¹D f

−L e

)− (_ω¹−1)D

f +R

e

Komponentendarstellung:

x^k+1_i =ωa⁻¹_ii b_i− i−1

P j=1

a_ijx^(k+1)_j − Pⁿ j=i+1

a_ijx^(k)_j

! + (1− ω)x^(k)_i

6. Nichtlineare Gleichungen

Problemstellung

Gegeben nichtlineare, stetige Funktion f: [a₀, b₀]→R, f(a₀)·f(b₀)<0

6.1 Bisektionsverfahren

Globale, lineare Konvergenz mit|x^∗−x_k| ≤ ¹ 2k(b0−a0) Bisektionsverfahren

•x_k= ¹₂(a_k+b_k)

• a_k+1=a_k, b_k+1=x_k , fallsf(a_k)f(x_k)<0 a_k+1=x_k, b_k+1=b_k , sonst

•Abbruch falls|b_k−a_k|< εoder maxiter erreicht

6.2 Newton-Raphson-Verfahren

Funktion durch Gerade ann¨ahern und Nullstelle bestimmen. An dieser Stelle den Vorgang wiederholen. Nur geeignet f¨ur einfache Nullstellen.

∃UmgebungUmitf⁰(x)6= 0∀x∈U x_k+1=x_k− f(x_k)

f⁰(x_k) x_k+1=x_k−J

e

−1

f (x_k)f(x_k) MATLAB:

x=x−J e

f\f Abbruchkriterium:

x_k−x^∗

≤ k∆xk+c x_k−x^∗

6.2.1 Vereinfachtes Newtonverfahren

Man benutzt die Jacobimatrix ¨uber mehrer Iterationen.

Bemerkungen: Es gibt keine Existenz und Eindeutigkeitsaussage zur L¨osbarkeit des Nullstellenproblems

J e

f(x) =





∂f1

∂x1

∂f1

∂x2

∂f2

∂x1

∂f2

∂x2





7. Numerik gew¨ ohnlicher DGL

x(t) =. f t, x(t)

, x(t₀) =x₀ Samplesh= ^t−t_n⁰ Vorgehen: Finde diskrete Werte x[t_i] anstatt N¨aherungsfunktion x=x(t)

7.1 Einzelschrittverfahren

Def: Man erh¨altx_k+1ausx_k

Eulersches Polygonzugverfahren:x_k+1=x_k+h·f(t_k, x_k) Mittelpunktregel(implizit):

x_k+1=x_k+h·f(^{tk+1 +tk}₂ ,^{xk+1 +xk}₂ )

Implizites Eulerverfahren(rekursiv):x_k+1=x_k+h·f(t_k+1, x_k+1) Mit verkleinern der Schrittweite wird die Genauigkeit der L¨osung nicht unbedingt besser (Schrittweitensteuerung)

Mehrschrittverfahren: Man erh¨altx_k+1ausx_k, xk−1, ...x1

8. Verfahren zum numerischen L¨ osen von DGLs

8.1 4 Stufiges Runge-Kutta Verfahren

Einschrittverfahren f¨ur AWPs mit variabler Schrittweite.

Butcher Schema: c A e b^>

= 0 1 21 2 1

0 0 0 0

1

2 0 0 0

0 ¹₂ 0 0

0 0 1 0

1

6 1

3 1

3 1

6 k₁=f(t_n, x_n) k₃=f(t_n+^h₂, x_n+^h₂k₂) k₂=f(tn+^h₂, xn+^h₂k₁) k₄=f(tn+h, xn+hk₃) x_k+1=x_k+hP

b_ik_i=x_k+^h₆ k₁+ 2(k₂+k₃) +k₄ F¨ur andere Stufenzahl(s):k_i=f(t_n+c_ih, x_n+hP^s

j=1 a_ijk_j)

9. Optimierung

Problemstellung

f:

Zielfunktion X Zul¨assigkeitsbereich

⊆R^d→R gesucht:minf= max−f

∇f(x^∗) = 0undH f

f(x^∗)pos. definit. (Numerische Katastrophe)

9.1 Abstiegsverfahren / Gradientenverfahren

Konvergenz: linear

Abstiegsverfahren

•Bestimme Abstiegsrichtungv_k:∇f(x_k)v_k<0 Gradientenverfahren:v_k=−∇f(x_k)

•Bestimme Schrittweiteh_k:f(x_k+h_kv_k)< f(x_k) Armijo:maxh_k∈

1,¹₂,¹₄,¹₈, ...

f(x_k+h_kv_k)< f(x_k) +h_kγ∇f(x_k)^>v_k γ∈]0,1[

•Setzex_k+1=x_k+h_kv_k

•Abbruch, fallsx_kapproximativ station¨ar ist.

9.2 Das lokale Newton-Optimierungsverfahren

Geg:f∈ C², Ges:x^∗:∇f(x^∗) = 0

lokales Newton-Optimierungsverfahren

•W¨ahle Startpunktx₀∈R^d

•Falls∇f(x_k) = 0→Stop: Ergebnisx_k

•Bestimmev_kdurch l¨osen vonH f

f(x_k)v_k=−∇f(x_k)

•Setzex_k+1=x_k+v_k

9.3 Das globale Newton-Optimierungsverfahren

Geg:f∈ C², Ges:x^∗:∇f(x^∗) = 0

globales Newton-Optimierungsverfahren

•Bestimmev_kdurch l¨osen vonH f

f(x_k)v_k=−∇f(x_k) Falls∇f(x_k)^>v_k0→Newtonschritt

Falls∇f(x_k)^>v_k60→Gradientenverfahren mit Armijo

•Setzex_k+1=x_k+v_k

•Abbruch, fallsx_kapproximativ station¨ar ist.

10. Funktionentheorie (Komplexe Funktionen)

10.1 Reelifizierung

f(z) =f(x+yi) =u(x, y) + iv(x, y) sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) cos(z) = cos(x) cosh(y)−i sin(x) sinh(y) sinh(z) = cos(y) sinh(x) + i sin(y) cosh(x) cosh(z) = cos(y) cosh(x) + i sin(y) sinh(x)

10.2 holomorphe(analytische, regul¨ are) Funktionen

f Eine Funktionfist

holomorph fallsfinGkomplex differenzierbar ist.

ganz fallsfin ganzCkomplex differenzierbar ist.

konform falls Kurven Winkel- und Orientierungstreu bleiben.

fist genau dann holomorph, fallsf(x+yi) =u(x, y) + iv(x, y)und

•u, vsind stetig partiell diffbar

•Cauchy-Riemann DGLs sind erf¨ullt:

∂_xu(x, y) =∂_yv(x, y) ∂_yu(x, y) =−∂_xv(x, y) Holomorph:exp,sin,cosh, Polynome,f±g,f g,^f_g,f(g)

10.3 harmonische Funktionen

u, v

ubzw.vsind harmonisch, falls gilt:

∆u=∂_xxu+∂_yyu= 0 ∆v=∂_xxv+∂_yyv= 0 oder fallsf(z) =u+ ivholomorph ist; denn mit Satz von Schwarz:

∆u=∂yxv−∂xyv= 0 ∆v=−∂_yxu+∂xyu= 0 Bestimmung der harmonischen Konjugierten

•geg: harm. Fkt.u:G→R,(x, y)→u(x, y)

•ges: harm. Fkt.v : G → R,(x, y) → v(x, y) so, dass f:G→V, f(z) =u(x, y) + iv(x, y)

•v(x, y) =´

u_xdymit Integrationskonstanteg(x)

•v_x=−u_y⇒g⁰(x)

•g(x) =´

g⁰(x) dx⇒vbis auf KonstanteCbestimmt

•zugeh¨orige holomorphe Fkt.f(z) =u(x, y) + iv(x, y)

10.4 M¨ obiustransformation

Cˆ=C∪

∞

Einzige bijektive, holomorphe, konforme Abbildung vonˆCauf sich selbst.

f:C\

−^d c →C\

−^d

c ,f(z) =^az+b_cz+d ad−bc6= 0 f⁻¹(w) =_−cw+a^dw−b

10.5 Komplexes Kurvenintegral

f¨urD⊂CGebiet,f :D→Cstetig,γ : [t₁, t₂]→stetig diffbar orientierte Kurve.

So brechnet man ein komplexes Kurvenintegral

•Bestimme Parametrisierung vonγ γ=γ₁+. . .+γ₂,γ_i: [a_i, b_i]→C

•Stelle Inegrale auf

´

γif(z) dz= bi´ ai

f γ_i(t)·. γ_i(t) dt Fallsfholomorph:´

γf(z) dz=F γ(b)

−F γ(a)

•Berechne die Integrale und addiere:

´ γ

f(z)dz= h P i=1

´

γif(z) dz

10.6 Cauchy-Integralformel

(falls Unstetigkeitsstelle auf GebietG) Fallsγ geschl. doppelpunktfreie Kurve in einfach zsh. GebietGmit holomorphen Fkt.f, gilt f¨ur jedes z₀∈G

f(z₀) = 1 2πi

‰ γ

f(z) z−z₀ dz f^(k)(z0) =_2πi^k! ¸

γ f(z) (z−z0 )k+1dz

10.7 Integralsatz von Cauchy

Falls keine Unstetigkeitsstelle innerhalb der Kurveγ

f:G→Ckomplex diffbar auf offenem, einfach zusammenh¨angendem GebietG⊂C.γsei einfach geschlossene Kurve inG(keine Doppel- punkte).

¸ γ

f(z) dz= 0

10.8 Singularit¨ aten

Isolierte Singularit¨atz₀: f:G\

z₀ →C (einzelne Punkte) Hebbare Sing., fallsfauf punktierter Umgebung beschr¨ankt ist.

Polmter Ordnung:(z−z_o)^mf(z)ist hebbar inz₀ Wesentliche Singularit¨at: Sonst.

10.9 Taylorreihe und Laurentreihe

Taylorreihe:fallsfholomorph:

f(z) =

∞ X k=0

f^(k)z0 k! (z−z₀)^k Laurentreihe:Fallsfnicht holomorph ist.

∞ X k=−∞

c_k(z−z0)^k

zerf¨allt in

∞ P k=1

d_kw^kmitd_k=c−kundw=_z−z¹

0(Hauptteil) und

∞ P k=0

c_k(z−z₀)^k(Nebenteil)

Konvergenz falls Hauptteil und Nebenteil konvergiert.

Konvergenzradien:R= lim

ck ck+1

∈[0,∞]

Resiudensatz:Resz0f=c−1= _2πi¹ ¸ f(z) dz Allgemeiner Residuensatz GGebiet:f : G\

z₁, . . . , z_n →C hol.

∀ doppelpunktfrei, geschlossene und pos. orientierte Kurven γ mit z₁, . . . znliegen im Inneren vonγ:

¸

γf(z) dz= 2πiPn

k=1Res_zkf Resz0

g h= ^{g(z0 )}

h0(z0 ) Resz0 g(z) (z−z0 )m= ^g

(m−1) (z0 ) (m−1)!

Res_z0g^h_h⁰ =mg(z₀) m:Ordnung der Polstelle

Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bittesofortmelden. von Emanuel Regnath und Martin Zellner - info@latex4ei.de Stand: 20. Februar 2013 um 0:39 Uhr 2