T A R T U R I I K L I K U Ü L I K O O L I T O I M E T I S E D УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
ТАРТУСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
ACTA ET COMMENTATION ES UNIVERSITATIS TARTUENSI S
A L U S T A T U D 1893. a. VIHIK 3 7 4 ВЫПУСК ОСНОВАНЫ в 1893 г.
MATEMAATIKA- JA MEHAANIKA
ALASEID TÖID
ТРУДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И МЕХАНИКЕ
XVII
Т А Р Т У 1075
Ч А - ( i Q c \ v - ' м ^ д у х
( Г
T A R T U R I I K L I K U Ü L I K O O L I T O I M E T I S E D У Ч Е Н Ы Е З А П И С К И
Т А Р Т У С К О Г О Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О У Н И В Е Р С И Т Е Т А ACTA ET C O M M E N T A T IO N E S U N I V E R S I T A T IS T A R T U E N S IS
A L U S T A T U D 1893. a. VIHIK 374 ВЫПУСК О С Н О В А Н Ы в 1893 г.
MATEMAATIKA- JA MEHAANIKA
ALASEID TÖID
ТРУДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И МЕХАНИКЕ
XVII
Т А Р Т У 1975
Р е д а к ц и о н н а я к оллег ия:
Г. К а н гр о (п р е д с е д а т е л ь ) , С. Б а р о н (отв. р е д а к т о р ) , Ю. Л еп и к , Ю. Л у м и с те , Э. Р е й м е р с ( р е д а к т о р ) , Э. Т ам м е
R e d ak t s i o o n i k o ll e e g i u m :
G. K a n g r o (e s im e es ), S. B a r o n (v ast , t o i m e t a j a ) , Ü. Lepik, ü . L um iste, E. R eim ers ( t o i m e t a j a ) , E. T a m m e
© Т ар т у ск и й г о су д а р с тв е н н ы й уни верситет, 1975
Д О Ц Е Н Т АЛЬМА РУУБЕЛЬ (к семидесятипятилетию со дня рождения)
А льм а И охановн а Р уубель родилась 28 се н тя б р я 1899 года в Эстонии в В ильяндийском районе в семье ремесленника. Она училась в Ы йзуской волостной школе, в прогим назии города Вильянди и в Вильяндийской женской гимназии, которую окон
чила в 1919 году. После окончания гимназии А. Р у у б е ль посту
пила на летние курсы, организованны е при Т артуском универси
тете д л я подготовки зам естителей учителей средних школ. С 1919 по 1926 гг. она учительствовала в П ярнуской торговой школе и В ильяндийской женской гимназии. Осенью 1926 года она поступила на математическое отделение естествен н о-м атем а
тического ф ак у л ьте та Т артуского университета, которое окон
чила в 1932 году с отличием.
Уже на третьем году студенчества по п ред лож ен ию проф.
Г. Р я го она поступила на раб оту при ка ф ед р е (институте) м а т е матики и механики Т артуского университета в качестве з а м е стителя ассистента. А л ь м а Р уубель р а б о т а л а в Тартуском уни
верситете в начале ассистентом, позж е старш и м преп одавател ем и доцентом до 1955 года. Она б ы л а первой женщиной, ко т о р а я п р еп о д а ва л а м а тем ат и к у в Тартуском университете.
С 1952 года доц. А. Руубель р а б о т а л а та к ж е заведую щ ей каф едрой начертательной геометрии и графики в Эстонской сельскохозяйственной академии. В 1955 году она п ереш ла пол
ностью на раб оту в ЭСХА, где п р е п о д а в а л а до 1973 года.
В Т артуском университете она п р еп о д а в а л а различны е дис
циплины: теоретическую механику, вычислительные и гр аф и ч е
ские методы п рикладной м атематики, теорию вероятностей, а н а литическую, д иф ф ерен ц иаль н ую и н ачертательн ую геометрии, высшую м атем атик у и пр. В ЭСХА основным предметом доцента А. Р уубель была н ач ер тате ль н ая геометрия. Она у д е л я л а б о л ь шое внимание р а зр а б о тк е методики п реп одаван и я и подбору з а д а ч д л я проведения соответствующих практических занятий [20, 21, 22, 29, 32, 33, 35, 36]. В течение многих л ет п ри н и м ал а участие в работе методических советов ТГУ и ЭСХА.
После Великой Отечественной войны старш ий п р еп о д а в а тел ь А. Руубель п р и л о ж и л а много сил д л я в осстановления совет
ского университета. Она вы п ол н ял а неоднократно и адм и н ист
ративные долж ности: бы ла деканом, продеканом, завед ую щ ей аспирантурой, заведую щ ей кафедрой. Кроме того, постоянно вела общественную работу в женкомиссии, профбю ро или профкоме.
В области научной работы на первых порах А. Р у у б е л ь со
средоточила свое внимание на вопросах прикладной м атематики.
В 1936 году она за щ и т и л а магистерскую диссертацию [1 ], в ко
торой был р а з р а б о т а н метод графического и нтегрирования д и ф ференциальны х уравнений на основании метода А д ам с а и д а в ал ас ь ф ормула д л я оценки погрешности получаемых р е з у л ь т а тов. Автором был т а к ж е р а зр а б о т а н прибор д л я и нте гр и р о в а
ния диф ф ерен ц иальн ы х уравнений. М одель интегрирующ его д и ска следует применять на подобии л огариф мической линейки.
М атериалы , с о д ер ж ащ и ес я в магистерской диссертации, отп еча
таны позднее с некоторыми дополнительными р а з р а б о т к а м и в [ 2, 13]. При графическом интегрировании используются р а з л и ч ные парам етрические линии, простые граф ики функций, г р а ф и ческое сложение и умножение, а т а к ж е ц елесообразное сов м е
щение нескольких координатны х систем. В этих р аб о т а х А. И. Руубель исследуется ц елесообразность применения ф о р мул М изеса д л я оценки погрешности результатов, полученных при численном интегрировании обыкновенных д и ф ф е р е н ц и а л ь ных уравнений методом А дам са. Д о к а з ы в а е т с я , что эта ф о р мула д а е т слишком д ал еку ю границу погрешности. Автором пред ла гаетс я ф ормула, ко то р а я обеспечивает более точную оценку погрешности, не увели чи вая при этом количества вычис
лений.
Н а основании переаттестации степени м агистра м а тем ат и ч е
ских паук А ль м а И охановн а Р у у б е л ь в 1949 году получила д и п лом к а н д и д а т а ф изико-математических наук. В том ж е году ей было присвоено звание доцента.
Н а п р а вл ен и е основных научных исследований доц. А. Р у у бель определилось после того, к а к ее пригласили п реп одавател ем начертательной геометрии в ЭСХА. В ее научной деятельности весьма плодотворными были уже 50-ые годы. Внимание з а с л у ж и в а ю т обобщ ения проекционных методов и введение новых в и дов проекций, при которых она исходит из практических т р е б о ваний упрощ ения реш ения инженерно-технических зад ач . В с л е д ствии этого доц. А. Руубель в ы с к азы в ает оригинальную мысль:
она одна из первых п р ед л а г ает применение криволинейного проецирования. А н ал и зи р у я известные методы реш ения з а д а ч пе
ресечения на эпюре и ср а в н и в а я отдельные приемы, доц. А. Р у у бель в первых своих р аб отах [3] исследует применение цент
рального проец ирован и я и не только из одного центра. Зд есь же трак туется и возмож ное п реоб разов ан ие на одном экран е
в виде с ж а т и я или р астяж ени я.
П р е д л ага ем ы й способ явился примером того, что в н ач ер тательной геометрии не целесообразно р а с с м а тр и в а ть отдельные 4
приемы д л я решения за д а ч на пересечения. Автором д о к а з ы в ается возмож ность реш ать з а д а ч у в самом общем виде так, что отдельные зад ач и яв л яю тс я частным случаем пересечения двух поверхностей общего вида. П р е д л а га е м ы й метод о б л а д а е т д о с т а точной гибкостью, т а к к а к допускается вар ь и р о в ан и е в ы б ора центра проекции, а т а к ж е экрана.
Д л я расш и рен ия проецирующ его а п п а р а т а автор п р ед ла гает перейти к применению ск рещ и в аю щ и хся лучей [4, 10]. В р е зу л ь тате первых обобщений уж е в 1958 году автор п р е д л а г а е т ори гинальный метод криволинейного п роецирования [5] и н а з ы в ает его ортогональны м окруж ностны м проецированием. В виде криволинейных проецирующ их р а с см а тр и в аю тс я дуги о к р у ж н о стей, центры которых находятся в плоскости проекции на одной прямой, назы ваемой осью центров и плоскости которых перпен
д икулярны к этой прямой. В этой работе и з л агает ся о б щ а я тео
рия такого ортогонального окруж ностного п роецирования при одной оси и при двух осях центров.
Автором р а с см а тр и в аю тс я криволинейные проецирующ ие в общем случае. В [ 6 , 7, 8, 9, 11] исследуется возм ож н ость п рим е
нения винтовых, спиральны х и та к и х же окружностных, проеци
рующих, но экран ом в ы б и рается н екоторая плоскость, п а р а л л е л ь ная оси центров. Это приводит в некоторых з а д а ч а х к случаю, где имеется дело с неортогональной- окружностной проекцией.
Новшеством исследований А. Руубель явл яется т а к ж е примене
ние аналитического метода, где проекционное соответствие меж ду точками ори гин ала и его любой проекции р а с с м а т р и в а ется при помощи систем уравнений. П реимущ ество такой т р а к товки в том, что одновременно с зад ан и ем вида проецирования д аю тся и основные и нварианты соответствующего п р е о б р а зо в а ния. При изучении свойств проекций [9] особо подчеркивается роль инвариантов тех п реобразований, которые л е ж а т в основе проецирований. При выборе обобщ аю щ его метода выдвигаю тся исходные требования: 1) получить основные инвари анты в воз
мож но простом виде; 2 ) получить в удобном виде критерии д л я решения вопроса, из каких проекций п р о о б р а за м ож но соста
вить полный комплексный чертеж; 3) получить удобный общий способ д л я выяснения связей м е ж д у проекциями одной и той же точки при различны х ком плексных чертеж ах. В этой ж е р а боте применяю тся некоторые координатны е линии в качестве проецирующих. А лгебраический метод особо тр ак ту ется в [34, 37].
Кроме введения обобщенного проецирующ его а п п ар ата , А. Р уубель п р ед л а г ает применять комплексные чертеж и, состоя
щие из двух обобщенных проекций [12, 14, 15, 16]. П ри иссле
д ованиях этих комплексных чертежей прим еняю тся системы п а раметрических уравнений д ля определения проецирую щ их в любой системе коорди нат (декартовой, цилиндрической, сф е р и ческой и пр.), при помощи которой о т р а ж а е т с я соответствие
5
меж ду проекциями и ори гин алам и точек. Рассмотрение обобщ ен ного комплексного ч ертеж а обусловило ав тора ввести новое по
нятие — направленны х св язы в аю щ и х (односторонних или д вух
сторонних). В общем случае связы ваю щ и е могут быть кривые любого вида. Вид и направленность за в и с я т от того, к акую из двух имеющихся проекций одной и той ж е точки в ы б и рать за исходную.
Д ал ьн ей ш и е исследования привели ав тора к трак товк е к о м п лексных чертежей вторичных проекций [16]. Р асс м а т р и в а ю т с я две проекции одной и той же точки на некоторые две п оверх
ности. Полученные проекции точек на этих поверхностях прое
цируются в свою очередь на некоторую плоскость, итак п олу
чается комплексный ч ертеж вторичных проекций р а с с м а т р и в а е мой точки. Свойства таких комплексных чертежей и зучаю тся т а к ж е аналитически, причем соотношения м еж д у коорд и н а там и одной и той же точки рас см а тр и в аю тс я при любых (р а з л и ч ных) системах координат.
Д л я дальн ей ш его упрощ ения реш ения п рикладн ы х з а д а ч трактуем ы м и методами А. Р уубе ль п р ед л а г ает применять р а в номерное или неравномерное сж ати е плоскостей проекции [19].
Это приводит в целом к своеобразному колеб ательн ом у с ж а ти ю -растяж ени ю к а ж д о й из двух совмещенных плоскостей про
екций, из которых одна мож ет скользить по другой и к а ж д а я из которых явл яется носителем проекций линий одной данной по
верхности или этой поверхности в целом.
Н а кон ец следует особо подчеркнуть оригинальны е р езу л ь таты в научных исследованиях А. Р уубе ль в обобщенной а к с о нометрии. Н а первых порах [26] ф орм ули рую тся 4 основные тео
ремы и основная з а д а ч а окружностной аксонометрии. В теоре
мах исследуется возможное проективное соответствие р а в н о м а с ш табного ортогонального единичного репера координат и тройки равных векторов в плоскости проекции, если проецирую щ ими я в ляю тс я окружности. В результате тр ак туется ф у н д а м е н т а л ь н а я теорема односторонней окружностной аксонометрии. Д о к а з а т е л ь ство проводится аналитическим методом.
Д ал ьн ей ш и е исследования [27] п о св ящ аю тся определению оси центров в озм ож н ы х проецирований и построению оружност- ной проекции точки, зад ан н ой в одной из систем координат, оп
ределенных данной проекцией репера.
Полученные результаты натолкнули ав тора на решение более общей проблемы [30, 31], где р ас см а т р и в а е т с я аксон ом етри я точки, зад ан н ой в обобщенной системе коорд и нат (в общем сл у
чае в криволинейной) и проецирующие могут быть любого вида (в общем случае криволинейны е). Точка прик реп ляется к не
которой системе координат при помощи координатной ломаной, состоящей из дуг координатны х линий. В связи с этим ф о р м у лируется общий критерий, по которому мож но определить вид координатной сетки в проекции и д о к а зы в а ю т с я отдельные ч а с т
ные случаи. В ы д ел я ю тся отдельные виды сеток координатны х линий: 1) постоянные сетки с постоянными регулярны ми или не
регулярны ми ш к ал ам и , 2) постоянные сетки с непостоянными ш к а л а м и и 3) непостоянные сетки. Т а к ж е трак тую тся здесь не
которые вопросы, связанны е с форм ул и рован ием и решением об ратной зад ач и аксонометрии, т. е. реконструкцией п рообра за, по крайней мере, с точностью до некоторого п реоб разов ан ия , соот
ветственно видам сеток, и д аетс я одна о б щ а я схема реш ения этой задачи.
Д оц. А. Руубель неоднократно в ы ступал а с д о к л а д а м и по криволинейному проецированию на конференциях в Москве, Л е нинграде, Т ал л и не и Тарту. Ею р а з р а б о т а н н а я теория п рив л ек ла внимание многих исследователей по начертательной геометрии и на сегодняшний день широкий круг научных работников з а н и м ается этой проблемой.
Следует та к ж е отметить доцента А. Руубель к а к п оп у л я р и з а т о р а науки. Она неоднократно вы ступала с д о к л а д а м и перед разны ми ' аудиториями и о п убл и ков ала научно-популярные статыи [22, 23, 24, 25, 28].
З а заслуги на научном и педагогическом поприще и в о б щ е ственной жизни доценту А. Руубель неоднократно о б ъ я в л я л а с ь б лагодарность и в ы д ав ал и сь почетные грамоты П ар тк о м о м и Горсоветом города Тарту, а т а к ж е р ек торатам и ТГУ и ЭСХА.
3 . Р и й в е с
Труды доц. А. Руубель
1. J. С. A d a m s i m e e to d h a r ilik k u d e d i f e r e n t s i a a l v õ r r a n d i t e n u m b r il i s e k s i n teg r e e r im is e k s . М а г и с т е р с к а я ( к а н д и д а т с к а я ) д и ссер тац и я, Т арту, 1936, 41 стр.
2. С по соб гр аф и ч еск о г о и н те гр и р о в а н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравн ен ий. Сб.
научн. тр. Эст. с.-х. а ка д ., 1955, 1, 201— 213.
3. T s e n t r a a l p r o j e k t e e r i m i s e k a s u t a m i n e l õ ik u m i s ü l e s a n n e t e la h e n d a m i s e l epiiüris. Сб. научн. тр. Эст. с.-х. ака д . , 1957, 3, 358— 396.
4. П р о е к т и р о в а н и е при пом ощ и с к р е щ и в а ю щ и х с я лучей. Сб. научн . тр.
Эст. с.-х. а кад., 1958, 6, 246— 256.
5. О р т о г о н а л ь н а я о к р у ж н о с т н а я пр оекция. Т ар ту , 1958, 32 стр.
6. О с е в а я о к р у ж н о с т н а я п р о ек ц и я на пл оскость, п а р а л л е л ь н у ю оси центров . Сб. научн. тр. Эст. с.-х. а кад., 1959, 11, 151 — 158.
7. P ro j e k ts io o n i l ii k i d e ü l d is ta m is e s t k u j u t a v a s g e o m e e t r i a s . E N S V m a t e m a a t ik u te ja f ü ü s i k u t e t e a d u s l i k - p e d a g o o g il i s e k o n v e r e n t s i e t t e k a n n e t e teesid. T a r t u , 1959, lk. 37.
8. Об одн ом обоб щ ении м ет о д о в п р о е к ти р о в а н и я и о пр и менении его при решении з а д а ч на пересечение. Тезисы д о к л а д о в и сооб щ ен и й на с о ве щ а н и и к а ф е д р н а ч е р та т ел ь н о й ге ом етрии и черчени я М о с к о в ских в ту з о в с у ч асти ем п р е д с та в и т ел е й к а ф е д р п е р и ф е р и й н ы х в т у зов. М о с к в а, 1959, 15.
9. П р о е к т и р о в а н и е при пом ощ и к о о р д и н а т н ы х лин ий н е к о то р ы х п р о с т ра н ст в ен н ы х систем к о о р д и н ат . Сб. научн. тр. Эст. с.-х. ака д., 1969, 13, 90—98.
7
10. Об осев ой п рям оли н ей н ой проекции. Сб. научн. тр. Эст. с.-х. а к а д ., I960, 17, 176— 181.
11. Об о б об щ енном п р о е к ти р о ва н и и типа Rho,im o• Сб. научн. тр. Эст.
с.-х. акад ., 1960, 17, 182— 189.
12. К о м п л ек сн ы е ч е р т еж и к ри воли н ей н ы х проекций. Т арту, 1961, 8 стр.
13. A d a m s i m ee to d i j a o k s a n t u d M is e s e v e a v a le m i t ä p s u s t a m i s e s t . Сб. научн.
тр. Эст. с.-х. ака д., 1961, 22, 92— 107.
14. О к ом п лексн ы х ч е р т е ж а х , с о ст о я щ и х из д в у х о б о б щ е н н ы х проекций . Сб.
науч и, тр. Эст. с.-х. акад., 1961, 22, 108— 118.
15. О ком п л ексн ы х ч е р т е ж а х в к р и в о л и н е й н ы х пр оекциях. Тези сы д о к л а д о в научн ой конф ерен ции М А П , п освящ ен н ой XXII с ъ е з д у К П С С . М о сква, 1961, стр. 22.
16. К о м п л е к сн ы е че р т еж и вто ри чны х проекций. Сб. научн. тп. Эст. с.-х.
а к а д , 1963, 25, 108— 117.
17. P r o je k ts io o n i m õ is te ü l d is ta m is e s t k u j u t a v a s g e o m e e tr ia s . L o o d u s ja m a t e m a a t ik a , 1963, 3, 114— 124.
18. О п р о е к ти р о ва н и и при пом ощ и к о о р д и н а т н ы х линий п р о с тр а н с тв е н н ы х систем к о о р д и н ат. Т руды М о с ковског о научи.-мет. сем. по начерт.
геом. и ин ж. г раф и ки , М о ск в а, 1963, 2, 75— 78.
19. П ри м енение к о л еб ат ел ь н о г о с ж а т и я - р а с т я ж е н и я пл оскост и пр оекции при решении з а д а ч на пересечение по верхн ос те й. Сб. научи, тр. Эст. с.-х.
ака д., 1963, 31, 111 — 121.
20. K u j u t a v a g e o m e e t r i a k o d u s e id h a r j u t u s ü l e s a n d e i d I. Т ар т у , 1963, 28 стр.
(совм ест но с 3. Р и й в ес ) .
21. K u j u t a v a g e o m e e t r i a k o n t r o ll t ö ö d e m e t o o d i li n e ju h e n d . Т арту, 1964, 16 стр. (со вм естн о с 3. Р и й в ес ) .
22. P ö ö r d k e h a r u u m a l a g r a a f i li s e s t m ä ä r a m i s e s t . M a t e m a a t i k a m e t o o d i li s t e artik lite k o g u m ik , T allin n , 1964, 2, 41— 45.
23. М а т е м а т и к а в Советской Эстонии за послед ние д в а д ц а т ь лет. Уч. зап.
Т артуск. ун- та, 1964, 150, 12— 52 (совм. с Ю. Л у м н с те , Э. Т а м м е и д р .).
24. H o r n e r i sk eem g r a a f i li s e s k ä s itlu s e s . M a t e m a a t i k a m e to o d ilis te a r ti k l it e k o g u m ik , T allin n , 1965, 3, 60— 67.
25. V äike e e s ti - v e n e ja v e n e-e es ti m a t e m a a t i k a o s k u s s õ n a s t ik . Т ар т у , 1965, 89 стр. ( K a a s a u t o r i d J. G a b o v i tš , H. E s p e n b e r g jt. ).
26. О сн о вн ы е теорем ы к р у г о в о й аксоном етри и. Сб. научн. тр. Эст. с.-х.
акад ., 1965, 42, 78— 81.
27. О с н о в н а я з а д а ч а к р у г о в о й аксон ом етри и . Сб. научи , тр. Эст. с.-х. акад., 1965, 42, 82— 91.
28. So fia K o v a l e v s k a j a , M a t e m a a t i k a ja k a a s a e g , 1966, 10, 61— 69.
29. K u j u t a v a g e o m e e t r i a k o n t r o ll t ö ö d e m e to o d ilin e j u h e n d . ( Ü m b e r t ö ö t a t u d v ä l j a a n n e ) . Т ар ту , 1966, 16 стр. (совм. с 3. Р и й в ес ).
30. О б о б щ е н н а я акс о н о м е тр и я . Т ар т у , 1967, 13 стр.
31. О б общ ени е м ет о д о в о т о б р а ж е н и я , п р и м е н я е м ы х в н а ч е р та т ел ь н о й г е о метрии. Сб. научн. тр. Эст. с.-х. ака д., 1967, 55, 322— 333.
32. A k s o n o m e e tr ia . Т ар т у , 1968, 66 стр. (совм. с 3. Р и й в ес ) .
33. K u j u t a v a g e o m e e t r i a k o n t r o ll t ö ö d e m e to o d ilin e ju h e n d ( t ä i e n d a t u d ja p a r a n d a t u d k o r d u s v ä l j a a n n e ) . Т ар т у , 1968, 16 стр. (совм. с 3. Р и й в е с ) . 34. О б а лг е б р аи ч е ск о м изуче нии о б об щ енног о п р о е ц и р о в а н и я с у четом д о полни тельны х услови й. Уч. за п. Т ар т у ск . ун- та, 1970, 253, 127— 133.
35. K u j u t a v a g e o m e e t r i a h a r j u t u s ü l e s a n d e i d k o n t r o l l k ü s i m u s t e g a II. Т арту, 1972, 96 стр. (совм. с 3. Р и й в ес ).
36. K u j u t a v a g e o m e e t r i a h a r j u t u s ü l e s a n d e i d k o n t r o l l k ü s i m u s t e g a III. Т а р т у , 1972, 73 стр. (совм. с 3. Р д й в е с ) .
37. Ü b e r die a lg e b r a i s c h e U n t e r s u c h u n g der v e r a l l g e m e i n e r t e n P r o j i z i e r u n g m it B e r ü c k s i c h t i g u n g v o n N e b e n b e d i n g u n g e n ( A u t o r e f e r a t) . Z e n t r a l b l a t t für M a t h e m a t i k u n d ihre G r e n z g e b ie te , 1972, 232, 5007.
О РЕ Д УК ТИВ НЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Д В У М Е Р Н Ы Х ОРБИТ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р 3
А. Фляйшер
К а ф е д р а а лгебры и геометрии
Пусть G -— с в я зн а я группа Л и с алгеброй Л и g и Я — з а м к н у т а я подгруппа в ней с п одалгеброй Л и /г. Однородное про
странство М — G /H н азы вается (л о к а л ь н о ) редуктивным [4, 12], если в алгебре g существует такое подпространство т , что g — h 4- m (п р я м а я сум ма подпространств) и [/г, т ] с т . В этом случае п ар а (,g , h) н азы ва ется редуктивной парой [13].
Хорош о известно, что в редуктивном однородном пространстве всегда существует и н в ар и ан тн ая а ф ф и н н а я связность. Редуктив- н ая п ара (g, h) с фиксированным разл ож е н и ем g = h 4- ш н а зы ва ется симметрической, если [m, m ] с : /г; тогда у н и в ер с ал ь ное н акры ваю щ ее многообразие п ространства G /H является симметрическим однородным пространством [ 11].
В раб отах [7, 8 ] среди однородных пространств орбит в проективном пространстве Рз были выделены редуктивные од
нородные пространства. В данной работе редуктивные прост
ран ства орбит изучаю тся подробнее. Основное внимание у д е л я етс я связи м еж д у алгебраическим строением компонент редук- тивного р а зл о ж е н и я g = h 4 - m и геометрией соответствующего однородного п ространства орбит. П ростота проективной группы G P (3) д ает возмож ность среди редуктивных пространств орбит выделить те, которые л окал ь н о определяю тся парой К иллинга [9], т. е. д опускаю т ортогональное оснащение подалгебры h относительно формы К иллинга алгебры g.
§ 1. Редуктивные пространства орбит
Здесь приведем кра ткую сводку о редуктивны х п ро стр ан ст
в а х орбит (подробнее см. [7, 8 ] ).
О д н о р о д н о е п р о с т р а н с т в о о р б и т о б щ е г о в и д а Р1. С та ц и о н а р н а я подгруппа Н Р{ рас см а тр и в ае м о й ор
биты за д а е т с я системой д и ф ф ерен ц иальн ы х уравнений
9
0 1 = о ) 3 = О ,
02 = ( о31 — üjl = 0,
0 s ZEŽCO32 — О)2 — О ,
6>* ==—o i\ — e b ü ) i + { a — 1/ 2 )(у2= 0,
<95 г =— — e ( a + l/2 ) w 2= 0 , 06 = — o>i1+ l / 2&»i=0,
6>7 = — w22— \12(ох = 0, ( 1. 1)
08 = _ W33 + awl + öw2==0,
0 9 = — ( а + 1/ 2 ) ^ 1— Ь(о2= 0, e i03E2— (öh — е&ы1 — (а — 1 /2) « 2= 0 , e 11 = oj°i = 0,
6>12= , 6ü°2= 0 , 0 13= .ы ° з = О .
Однородное пространство орбит Р1 изоморфно ф а к то р -п р о стр ан ству G P ( 3 ) / H p! левых см ежны х классов проективной группы С Р ( 3 ) по подгруппе И Р1. Однородное пространство орбит Р1 яв л яе тся редуктивным в следующих двух случаях:
1) а — — 1/ 2, b — любое;
2) а
=
0, b ф 0.О снащ аю щ ее подпространство т подгруппы Я Р1 з а д а е т с я ка к аннулятор системы форм
1) при а = — 1/ 2 , 6 = 0 :
= l(yi+6>7+<98 _ 0 9+ ( d + 1) 0 и + а 0 13,
№ = w2+ 1 / 2е (6>3+<95+6>12) — 1 /2<910+ j8 (6>и +6>13) ; 2 ) при а = — 1/2 , b ф 0 :
'õ'i = oolJ\-£ba.3@2Jr £ {bai — аз) 6>Н-Ьа2<94— е(Ьа2+аз)6>5 —
— - Ь а * , в в — ( b a 5 + ' « 2 ) 6>7 + a i ( 9 8 + a 2 0 9 + а 3 0 1о+ ' « 4 0 11- ! -
+ «50 12+ а б 6>13, где
a i = e b a 3 — a 2 — b a s , « 4 = « 6 — «2, — 2 0 а 6 = « з + е « 5 ,
3baz — 2 « з — ö«i = 0, (1 — 4 eb2) a z— бе&аз— ai-{-2 = 0.
№ = ( i )2+ ebß 3ß2j r £ ( b ß 2— ß 3) e * + b ß26>4 — e {bß2+ ß S) 6>5 —
— b/350 6+ (.ß2 — b ß 5)0 7+ i 0i 0 8+jÖ209+ / З з ^ + А ^ - Ь + ^ б ^ + ^ е ©13
и
ß i = ß2— b ß 5-\-ebß3, ß/t = ße— /З2, — 2 b ß ^ = ß ^ e ß b , 2^з — 36#H -fy8i+1 = 0 , (1 — 4eö2) ß 2 — беЬДз — 2^i = 0.
3) при а = О, b ф О:
— J L
в 2
---7— (0 3+ (95) — — 0 4 —2 40 4eb
- ( ъ ?1+ \ у г ) ( & + № ) - ^ г в * + ~ е ™ + + yi0 12+ y 26>13,
где
Г‘ = — ( 2ь + 2 е Ь у ^ ) ' ? г = 2еЬ Щ еЬ2 — 1) '
^ = й 2 _ ± ( е б + е , + е 8 ) + _ ^ е12 9 Ч Здесь при а — — 1/2 допускаемы е о сн ащ аю щ и е подп ростран ства составляю т двуп арам етри ч еское семейство.
О д н о р о д н о е п р о с т р а н с т в о н е в ы р о ж д е н н ы х к в а д р и к kQ2{R4) в пространстве Рз (и вообщ е н ев ы рож ден ных ги перквад рик в Р п) яв л яе тся симметрическим псевдорима- новым пространством [5]. Новое д о к аза тел ь ств о этого р езу л ь т а т а с помощью структурны х уравнений М а у р е р а — К а р т а н а д ан о в [ 6 ], где дополнительно показано, что сущ ествует только одно подпространство т в g, определяю щ ее в hQ2(R4) структуру редук- тивного пространства. С т а ц и о н а р н а я подгруппа H Q кв ад ри ки в jP3 з а д а е т с я системой диф ф ерен ц иальн ы х уравнений
8х= ы3= 0, 6,4= 6 J 1o4-e6j3i + « 13 = 0 , 62,= (O3i-\-ü)i = 0, 0 5 = Tü)2i+ { ü 12:=O ,
<9 3 =
О)3 2+ Ш2 = 0, 6>6 = «°2+ £ ^ 32+ ш 2з = 0,
6 1 == й)22 —
0 8= ^ ° o - f ( y 33 — 2<у11 = 0 ,
<99==<у°3-\-£ (со3з — (üh) = 0 ,
где т = ± 1 , £ = 0, + 1 . Однородное пространство kQ2(R*) изо
морфно ф ак торпростран ств у G P ( 3 )/H q . О снащение т подгруппы H Q единственно и з а д а е т с я к а к аннулятор системы форм
Ц 2 в 2, ^4=,а>°о-Ь1/2е6>1-Ь1/46>7— 1 /4 в 8,
№ = ojZ— 1/2 т6>3, $ 5= а>°1+ 1 /2е© 2 — 1 / 2 в \ (1.2)
^3 = ^ 2l— l/2r<95, tf6= ü A - M / 2 e < 9 3~ 1/2<96.
О д н о р о д н о е п р о с т р а н с т в о р а з в е р т ы в а ю щ и х с я о р б и т R i . С т а ц и о н а р н а я подгруппа Я Д1 р а с с м а т р и ваемой орбиты з а д а е т с я системой ди ф ф ерен ц и а ль н ы х у р а в н е ний
0 1 = О Г = О , в 5 = й)11+ 3 ( И22 = 0 , 6>9 = ^ 2 = 0 ,
0 2 = w31 = o5 6>6= w 0! — 3 ^ 2 = 0 , 6>10= ü ) 03 = 0 , (1.3) 6>3= w 32 — ы2= 0, 6»7= ^ ° o + 'W 22 = 0, 0 i i = u ü °2 — 4 ü ) i = 0 , 0 4= o ä = O, 0 « ^ 13= О , 0i2~ ( o23 — 3W1 = 0 . Однородное пространство орбит R1 изоморфно факторпрост- ранству GP (3) / Я Л1. Оно яв ляется редуктивным с единственным подпространством т, определяю щ им в G P ( 3 ) / H m редуктивную структуру. При этом т з а д а е т с я к а к аннулятор системы форм
W = (ol -\- 1 / Ю ( 0 1Ч - 0 12),
# 2 = « 2+ 1 / Ю ( 3 0 3-}-06), 0 а=,а)22— 1/1О(305+ 2 0 7).
О д н о р о д н о е п р о с т р а н с т в о л и н е й ч а т ы х о р б и т L3. Подгруппа стационарности Я ьз этой орбиты з а д а е т с я си
стемой уравнений
e ^ w s= 0 , в 1 =.й)°,о —3ft>22 = 0 , 0 2= f t j 31 — o / = O , 0 8 = ш ° з — w2= 0, 0 2 = = ^ — .<w2= 0 , 0 9 С « 2= 0 ,
0 3= , w32 __ wi = о, 0 1О= 6J23 — ш1 = 0, (1 .4) 0 4 = (У21=0> 0 Ц = w°i — 6,1= 0,
05 = ^ 12 _ ^2 = О, 0 12=ft)°2—- Cft)2 = 0, 0 6 = lft)l1-fftj)22 = O, 013~ f t ) 22_Q_
Однородное пространство линейчаты х орбит L3 изоморфно фак- торпространству G P ( 3 ) / HL3 левы х см еж ны х классов п роекти в
ной группы G P (3) по подгруппе Я ьз. О снащ аю щ ее п о дп ростран ство т подгруппы Я ьз за д а е т с я к а к аннулятор системы форм
1) при С — 0:
0i = Wl-j-a(01+04_J_ 09+012) + 1 /4 (0 з+ в 1о+ в н ) )
$ 2 ;== ft)2“|—/3 ( 01-|— ©4—f— 09—j— 012) 1 /4 ( 02_j_ 05—|- 0®) , 2) при С ф 0:
fli = ü>i+- C“ ~ 1 •• et (0 i—j~ 0 4) -j— ( 0 ^~|~ 0 io —I— 011) —|—
u 4t
-\-а6ъ — — а ( 09-j- 0 i 2) ,
4 ( C * _ 1 ) ^ + 1 ^ ( 1 ^ , 1 — 4/?
^ = „ 2+ _ i — 4С^ ' -(б"+е4) + т е2+ ^ 5 , 4 C
Итак, однородное пространство линейчатых орбит L3 всегда редуктивно, причем допускаемые оснащающие подпространства
в алгебре Ли проективной группы составляют двупараметриче
ское семейство.
§ 2. Исследование редуктивных пространств орбит I. К ак видим, стаци он арн ы е подалгебры р а с см а тр и в ае м ы х памп орбит либо двумерны, либо трехмерны (и склю ч ая шести
мерную стационарную п одалгебру к в а д р и к и ). Все такие а л гебры Л и (алгебры Л и м а лы х разм ерностей) описаны (см. [1], стр. 20). Д л я целостности и зл ож ен и я приведем здесь их к р а т кое описание. Если g — ал геб р а Л и, то под g ' будем понимать подпространство, порожденное всеми ком м утаторам и.
\. dim g = 2 .
а) g ' — 0 , g — аб ел ева алгебра;
б) g ' ф 0. С уществует единственная н еаб ел ев а ал геб ра Л и размерности 2 с базисом ( х , у ) таким, что
[ х , у ] = х = — [ у , х ] . (2.1)
Итак, существуют две неизоморфные неполупростые алгебры Л и размерности 2.
II. dim g = 3.
а) g ' = 0, g — абелева;
б) d i m g ' ^ 1; g ' cz Z, где Z — центр ал геб ры g.
В этом случае ал геб ра g имеет базис (х, у, z) с табли цей у м н ожения
[ x , y ] = ^ z , [ x ,z ] = [ y , z ] =0-, (2.2) в) dim g ' = 1, g ' ф-Z , где Z — центр алгебры g.
В этом случае ал геб р а g имеет базис (х, у, z) с таблицей ум н о
ж ения
[ x ,y ] = [ y , z ] = 0, [ x , z ] = z - , (2.3) г) dim g ' = 2. В этом случае ал геб ра g имеет базис (х , у , г) с табли цей ум н ож ени я
[ х ,у ] = 0, [x , z ] = x, j\ y , z \ = a y , а Ф 0; (2.4)
* [ х , У ] = 0, [х, z] = x + ß y , [ y , z ) = y , ß ф 0 . (2.5) Р азл и чн ы м элем ен там а соответствуют различные алгебры , по
этому получаем бесконечно много неизоморфных алгебр.
д) d i m ;g/ = 3. С уществует две неизоморфные т р ех м ер ные алгебры Ли, д л я которых d i m g = d i m g '. Их таб ли ц ы у м н ожения имеют вид
[ x , y ] = z , [ y , z ] = x , [ x , z ] = — у, (2.6) [ х , у ] = 2 у , [ x , z \ = — 2z, [ y , z ] = x . (2.7) Алгебры Ли, д л я которых dim g = dim g', просты, т. е. не имеют идеалов, отличных от нуля и самих себя.
(m od ва )
2. Согласно критерию К а р т а н а (см. [ 1], стр. 82), ал геб ра Л и g над полем нулевой характери сти ки полупроста тогда и только тогда, когда ее ф орм а К ил ли нга н евы рож дена. Знан и е структурных постоянных Chij алгебры Л и g д ает возм ож н ость найти ее тензор К ил л и нга по формуле
§ij~= O ik & il.
Н евы рож денность матрицы Ц^-Ц у к а ж е т на полупростоту р а с см атри ваем ой алгебры Ли.
В ы я сн яя строение стаци он арн ы х подалгебр р а с с м а т р и в а е мых орбит, получаем:
Д л я однородного редуктивного п ростран ства орбит Р1 с dim hpi = 2 п ода лге бра hP\ аб ел ев а и неполупроста.
Д л я однородного п ростран ства линейчаты х орбит L3 с dim hLз = 2 п ода лге бра hLз неаб ел ева и неполупроста.
В случае однородного редуктивного п ространства н е в ы р о ж денных кв ад ри к hQ2(R A) с dim h Q = б
d W = W Д ^ + $ 4 Д ^ d w = $ l / \ № + № А # 6, d /dA= i P Д Д $ 6, d № = № Д гЯ + 0 4 д
d W = № Д Д
и и ском ая м атриц а К ил л и нга принимает вид
\\gij\\ =
Она н евы рож дена и, таким образом, ста ц и о н ар н ая п одалгебра h Q полупроста.
Д л я однородного редуктивного п ространства р а з в е р т ы в а ю щихся орбит R1 с dim/iHi = 3 имеем
d&l = — 2&1 Д # 3,1
d № = 2 № / \ № , I (mod 6»“) (2.8)
д #2
Отличными от нуля элем ен там и матрицы К ил ли нга являю тся g 12 = g2\ = 16, i s 3 = 32, в силу чего det \\gij\\ ф 0 и потому подалгебра h R\ полупроста. С р а в н и в а я теперь в ы р а ж е н и я (2.8) с соотношениями ком мутации (2.7), зак л ю ч ае м , что д а н н а я под
ал геб ра h R\ проста.
3. С ледуя [13], осн ащ аю щ е е подпространство т мож но п ревратить в антикомм утативную алгебру, п олож ив д л я
X , Y е= т
0 0 0 0 16 0
0 0 0 0 0 16
0 0 16 0 0 0
0 0 0 16 0 0
16 0 0 0 0 0
0 16 0 0 0 0
X ' Y = [ X , Y ]m= [ X , Y ] - [ X , Y ] h,
где [X, Y ] m (соответственно [X, Y]h) я в л яе тся проекцией э л е мента [X, F] e g на m (соответственно h). А лгебра m н а з ы в а ется простой, если m 2 = m • m ф 0 и m не сод ерж ит собствен
ных идеалов. Строение алгебры m о к а зы в ае тся тесно с в я з а н ным с геометрией соответствующего однородного п ространства
[13, 14]. В частности, имеет место сл ед у ю щ а я
Теорема 1.(С эйгл [ 1 3 ] ) . Пусть GJH — о д нос вязное редуктив- ное однородное пространство и g — h 4 - m — редуктивное р а з ложение. Е с л и ш 2 Ф 0 и G jH голоном н о н е п р и во д и м о относи
тельно естественной связности без кручения, то а л ге б р а m п р о ста. Обратно, если G/H является псевд о р и м а но вы м пространст
вом и m проста, то G jH голо н о м н о неприводимо.
Об алгебре m в случае рас см а тр и в ае м ы х нами пространств мож но привести следующие результаты.
Однородное редуктивное п ространство н евы рож денны х к в а д рик k~Q2(R 4) с dim m = 9 яв л яется симметрическим, в силу чего т2 — 0 и а л г еб р а т непроста по определению.
Ввиду несимметричности однородного редуктивного прост
ранства р азв ер ты в аю щ и х ся орбит R1 с dim т — 12, [ 8 ], имеем т 2 ф 0. П ростота алгебры Л и проективной группы д ает в о з можность использовать теорему 8 из [14], в силу которой из простоты алгебр g и h следует простота алгебры т.
4. Р ед у кти вн ая п ара (g, h) с ф иксированным р а зл о ж е н и е м g — h 4- т н а зы ва ется п р и в о д и м о й, если ал геб ра Л и ad h д ей
ствует приводимо в т\ она н а зы ва ется н е п р и в о д и м о й, если ad ^-и н ва ри ан тн ы только 0 и т.
Однородное симметрическое п ространство kQ2( R4) н е в ы р о ж денных к в а д р и к яв л яе тся неприводимым (см. [3], стр. 358) и потому, в силу теоремы 10 из [9], ста ц и о н ар н ая п о д а л г е б р а h Q является макси м альн ой в алгебре Л и проективной группы, т. е.
не содерж ится ни в какой подалгебре этой алгебры.
Н айд ем структурные у равн ен ия приводимого редуктивного пространства. Пусть р ед укти в ная * п а р а (g, h) приводим а с ad /z-инвариантным подпространством т { а т и векторы
еа, бр, ev . . . образую т базис п одалгебры h, еа, еъ, ес .. . об разую т базис п одпространства т х,
et, eh, e t . . . об разую т базис дополнительного п одп ространства т2 к в tn.
Тогда структурные ур ав н ен и я зап и ш утся в виде d 0 a = Caßb№
Д 6>b+ C aß7i?>P Д
e k+ C abde b" A e d+\+ C abh0 b
Д
0 h + C akl0 hД
01,d 0 % —
Д
0 h-{-Clki0 kД
0 lJr С гъи0ьД
0 k-j-C lbd0bД
0 d, d № = ; C aßy№Д Д
0 d+ C abk0 b A 0 h-\-Cahi0kД
О1, где уравнения 0а — 0 , 0 1 — 0 з а д а ю т стаци он арн ую п одгруп 15
пу Я, а у равн ен ия = 0 — осн ащ аю щ ее подпространство т.
Н епосредственная п роверка показы вает, что сп раведли во сл е
дующее
Предложение 1. Е с л и стационарная по д гр у п п а орбиты п р о ективного пространства Р 3 оставляет инвариантной плоскость
(EqE\E2), л и б о плоскость {Е ХЕ2Е3), л и б о точку Е ь л и б о точку Ё 2и л и б о точку Е 3, то однородное редуктивное пространство таких орбит приводимо.
К а к следует из результатов работ [7, 8 ], стационарные под
группы орбит Р1 и L3 оставляю т инвариантной плоскость ( Е ХЕ2Ез) и потому редуктивные пространства орбит Р \ и L3 приводимы .
5. Д л я выяснения вопроса макси м альн ости стаци он арн ы х подалгебр о б рати м ся к работе [ 2 ], где дано описание всех м а к симальных связны х комплексных (вещественных) подгрупп в группе S L ( N) всех уним одул ярн ы х линейных п реоб разован ий /V-мерного комплексного (вещественного) пространства.
Теорема 2 (Д ы нкин [ 2 ]) . Пусть R ' — п р о и зв о л ь н о е п о д п р о странство пространства R^N\ отличное от н у л я и R^N\ Тогда г р у п п а всех л и н е й н ы х п р ео б р а зо ва н и й из S L ( N ) , п р е о б р а з у ю щ их R ' в самого себя, является м а к с и м а л ь н о й под гр у п п о й в гр уп п е S L ( N ) и все приво д и м ы е п о дгру ппы описываются этой конструкцией.
К а к п о к а за л Э. К артам в [3], в с я к а я н еприводим ая группа уним одулярны х линейных п реоб разован ий полупроста. С л е д о в а тельно, неполупростые группы линейных преобразований, к о торыми яв л яю тся Hpi и Н ьз, приводимы в R4 (т. е. оставляю т инвариантным подпространство разм ерности 1, 2 или 3) и по
тому з а д а ю т с я матриц ам и вида
А 0
В С
Н о тогда м а к с и м а л ь н а я п рив од им ая подгруппа G c z S L ( 4 , R ) д о л ж н а иметь разм ерн ость dim G ^ 6 , и потому стационарные подалгебры hp\ и hL3 не явл яю тся м акси м ал ьн ы м и в алгебре Л и проективной группы G P (3), изоморфной, к а к известно, ф а к т о р группе GL(4, R ) / Z полной линейной группы G L ( 4 , R ) по ее центру Z из ск ал яр н ы х матриц. Тем самы м выяснен вопрос о максимальности стационарны х п одалгебр редуктивны х п рост
ранств 2-мерных орбит в пространстве Рз.
§ 3. Редуктивные пространства орбит с ортогональным оснащением подалгебры h
Простота алгебры Л и проективной группы G P (3) д ает в о з можность выделить среди редуктивных пространств орбит те,
которые л о к ал ь н о определяю тся парой К иллинга, т. е. допускают ортогональное оснащение относительно формы К и лл и н га а л гебры Л и проективной группы (подробнее о п а р а х К илли нга см. [ 9 ] ) .
Т ак как л ю б а я симм етри ческая п а р а ( g , h ) с п олупросто
той g явл яется парой К иллинга (см. [11], стр. 219), то о сн а
щение стационарной подгруппы однородного симметрического п ростран ства н евырож денны х к в ад р и к kQ2{R4) ортогонально к h.Q относительно формы К илл и нга алгебры Л и проективной группы.
По теореме IV работы [4] п а р а (g, h) с полупростыми а л гебрами g и h яв ляется парой К илл и нга и потому полученное нами оснащение стационарной подгруппы однородного редук
тивного п ространства р азв ер ты в аю щ и х ся орбит R1 т а к ж е орто
гонально к hm относительно формы К ил л и нга алгебры Л и про
ективной группы.
Пусть GJH — однородное пространство, л о к ал ь н о о п ред ел яе
мое парой К иллинга (g, h) с разл ож е н и ем g = h -j- т. Тогда ограничение формы К илли нга В на т определяет G-и н ва ри а н т
ную неопределенную риманову метрику на GjH (см. [9 ] ) и .п о тому GjH яв л яе тся псевдорим ановы м однородным п ростран ст
вом. По теореме 1 редуктивное пространство разверт ы ваю щ ихся орбит R1 является голоном н о неп р и во д и м ы м относительно есте
ственной связности без кручения.
Д ал ьн ей ш е е выделение редуктивных пространств орбит с ор
тогональным оснащением основывается на теореме 1 работы [9], согласно которой п ар а (g, h) с полупростой g яв л яе тся парой К иллинга тогда и только тогда, когда ограничение формы К иллинга алгебры g на h X h невырождено.
К а к уж е было указан о, д л я н ахож д ен и я матрицы К иллинга некоторой алгебры Л и необходимо зн ать все ее структурные по
стоянные. З а кобази с алгебры Л и проективной группы G P (3) мож но принять формы
Ф1 = o j \ Ф2 = 0)2, Ф3 = с о 3, Ф4 =OJ°l,
Ф5 = ü)21, ф 6 = (031, Ф7 =6J°2, Ф8 = 0) \ (3.1) Ф9 = '(032, 0 iO = <Q)°3, Ф п = 0 ) 1з, Ф 12= ( 0 23,
ф 15^ ( й °0 — ыЧ, Ф ^ = <(011---О)22, Ф 15:=(Х)22----ft)33- С помощью структурных уравнений
й Ф 1 = Ф13 Д Ф1:+ Ф 2 Д Ф8+,Ф3 Д Ф 1\
с1Ф* = (Ф ^+ Ф 14) Д ф ^ + ф 1 Д Ф5+ Ф 3 Д ф*2,
d O ib=гф7 Д ф 2+ ф 8 Д ф5_(_2ф9 Д ф 12 — ф 10 Д Ф3 — Ф н Д Ф8 находим отличные от нуля структурные константы:
2 Т р у д ы по м а т е м а т и к е и м е х а н и к е X V I I 17
С Ч , = 1 , CV« = ! , C*3,ü = l, C V = 1 .
С 151о,з = — 1, С 15и , е = - — 1-
Наконец, пользуясь формулой
gij = ClihChji (i, j, k, 1 = 1 , 15),
находим отличные от нуля элементы симметричной матрицы Киллинга:
gl,4 = g2,7 = g3,10 = g'5,8 = g6,ll = g'9,12 = 8;
£13,13= 6; g'i3.i4=4; g'i3,i5=2;
^14,14 = 8; g'i4,i5=4; £15.15= 6.
Полученная матрица WgaW, как и следовало ожидать, оказалась невырожденной. При переходе от базиса {Фа} к новому базису { 0 а} матрица Киллинга рассматриваемой алгебры заменится новой, согласно известному правилу. Именно, если ЦЛ^-Ц есть матрица перехода от старого базиса к новому, то в новом базисе
11^11 = 1 1 ^ | М Ы М 1 Л ^ , (3.2) причем llg^žjll сохраняет свойства невырожденности и симмет
ричности матрицы llgijll.
О д н о р о д н о е р е д у к т и в н о е п р о с т р а н с т в о о р б и т Р 1. Пусть Ь = 0. В этом случае из формул (1.1) и
(3.1) имеем
0 1 = ф ' \ 06 = — ф13--- — ф15 — — ф!4 4- — ф!
4 4 2 2
в 2 = ф 6— ф \ Q1 = _ 1 ф 1 3 _ _ 1 015 I J _ ф14 ___ - L ф1
4 4 2 2
1 3 1 1
03 — фд _ £ф2 08 = - - - ф13 _|_ - - - -ф15 _ J _ - - - - ф14 - - - - ф !?
2
0 4 = _ ф > _ ф 2 ;
05 = ~ ф 8,
0 9 = _ ф И
0 1О= -- ф!2 -j- Ф2, 0 И= Ф 4,
012—. ф7^
6 i3 = Ф10,
0 1 4 = ф 1 _ } _ 0 7 _ ) _ 0 8 _ 0 9 + а 0 1 1 _ |_ ( ^ _ ! ) 0 1 3 ?
1 1
0 1 5 = ф 2 + _ £ ( 0 3 + 0 5 4 . 0 1 2 ) _ _ _ 0 1 О + ^ ( 0 1 1 + 0 1 3 )
