FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 23
Mathematik 2 f¨ur KMUB 24./30. Juni 2009
Prof. Dr. H.-R. Metz
Laplace-Transformation 2
Anwendungen: Differentialgleichungen, ¨ Ubertragungsvorg¨ ange
• Beispiel: Gegeben sei die lineare Anfangswertaufgabe mit konstan- ten Koeffizienten
˙
x+ 3x= 0, x(0) = 5.
Wir berechnen die L¨osung mit Hilfe der Laplace-Transformation in folgen- den Schritten.
1. Schritt: Transformation der Differentialgleichung.
2. Schritt: Aufl¨osen nachL{x}.
3. Schritt: R¨ucktransformation.
• Prinzip:
– Gegeben sind eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koef- fizienten sowie Anfangsbedingungen.
– Durch Anwendung der Laplace-Transformation kommt man vom Ori- ginalraum in den Bildraum.
– Man erh¨alt eine algebraische Gleichung f¨ur die Transformierte der L¨osungsfunktion.
– Die algebraische Gleichung wird gel¨ost.
– Durch R¨ucktransformation der L¨osung kommt man vom Bildraum zur¨uck in den Originalraum.
– Man hat die spezielle L¨osung der Differentialgleichung, d.h. die L¨osung der Anfangswertaufgabe.
• Anmerkung: Die R¨ucktransformation aus dem Bild- in den Originalraum ge- schieht ¨ublicherweise mitTabellen von Korrespondenzen aus Formelsamm- lungen. Um diese verwenden zu k¨onnen, wird die Bildfunktion zun¨achst in Ausdr¨ucke umgeformt, die in den Tabellen stehen.
Dabei ist der folgende Satz ¨uber die Linearit¨at der R¨ucktransformation n¨utzlich.
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• Satz
Die inverse Laplace-Transformation (R¨ucktransformation) ist linear, d.h. es gilt
L−1{aF(s) +bG(s)}=aL−1{F(s)}+bL−1{G(s)}
mit Konstanten a und b.
• Beweis
• Beispiel: Die spezielle L¨osung der Differentialgleichung ¨x+ 9x= 0 mit den Anfangsbedingungen x(0) = 7 und ˙x(0) =−15 wird berechnet.
• Beispiel: Ein speziellerelektrischer Vierpol wird verwendet, um die An- wendung der Laplacetransformation auf ¨Ubertragungsvorg¨ange zu demon- strieren.
Gegeben ist dabei der Vierpol zusammen mit der Eingangsspannung ue. Gesucht ist die Ausgangsspannung ua.
Es zeigt sich, daß die durch
G(s) = L{ua} L{ue}
definierteUbertragungsfunktion¨ G(s) eine wesentliche Rolle spielt.G(s) ist charakteristisch f¨ur den Vierpol, d.h. unabh¨angig von ue und ua.
• Prinzip: Ein System (z.B. eine elektrische Schaltung) zur ¨Ubertragung von Signalen (z.B. Spannungen) wird durch eineUbertragungsfunktion¨ G(s) charakterisiert. F¨ur Eingangssignale fe(t) und Ausgangssignale fa(t) gilt
L{fa(t)}=G(s)· L{fe(t)}
beziehungsweise
L{fa(t)}
L{fe(t)} =G(s).
Ist f¨ur ein System die ¨Ubertragungsfunktion G(s) bekannt, muß zur Be- stimmung von fa lediglich
1. L{fe(t)}, 2. G(s)· L{fe(t)}, 3. L−1{G(s)· L{fe(t)}}
berechnet werden.
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