Lösungen der Übungsaufgaben vom 21.Mai 2008 Aufgabe I.

Lösungen der Übungsaufgaben vom 21.Mai 2008

Aufgabe I. (siehe Übungsaufgabe 5 vom 14.Mai 2008)

Wegen lim_𝑛→∞^𝑛 1= lim_𝑛→∞ ^{𝑛 1}_𝑛 = lim_𝑛→∞ ^𝑛 _𝑛¹₂ = 1 haben alle drei Reihen den Konvergenzradius 1. Bleiben die Randpunkte zu untersuchen

1 𝑛

∞

𝑛=0

divergiert

(−1)^𝑛 𝑛 ,

∞

𝑛=0

1 𝑛² ,

∞

𝑛=0

(−1)^𝑛 𝑛²

∞

𝑛=0

Konvergieren

𝑥^𝑛

∞

𝑛=0

konvergiert für −1 < 𝑥 < 1, also in keinem Randpunkt 𝑥^𝑛

𝑛

∞

𝑛=1

konvergiert für −1 ≤ 𝑥 < 1, also in einem Randpunkt 𝑥^𝑛

𝑛²

∞

𝑛=1

konvergiert für −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, also in beiden Randpunkten Aufgabe II.

Bestimmen Sie eine Potenzreihe von

a) 𝑓 𝑥 = 1

3 4𝑥= 1

3 4 ⁻¹₃ 𝑛

(𝑥 − 1)⁻¹³

∞

𝑛=0

b) 𝑓 𝑥 = 1

𝑥 + 2

3 = ⁻¹₃ 𝑛

(𝑥 + 1)⁻¹³

∞

𝑛=0

c) 𝑓 𝑥 = 1

16 𝑥 − 1

4 = 1

2 ⁻¹₄ 𝑛

(𝑥 − 2)⁻¹⁴

∞

𝑛=0

Aufgabe III.

Die Taylor-Reihe lautet:

𝑓 𝑥 = 2 + 𝑥

1 + 𝑥 − 2𝑥² = 1

1 − 𝑥+ 1

1 + 2𝑥 = 𝑥^𝑛 + (−2𝑥)^𝑛 = (1 + −2 ^𝑛)𝑥^𝑛

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

Aufgabe IV.

Berechnen Sie eine Reihendarstellung von:

a) 𝑓 𝑥 = 4

4 − 𝑥= 2 ∙ 𝑥 − 2 2

∞ 𝑛

𝑛=0

b) 𝑓 𝑥 = 3

−𝑥² + 6𝑥 − 8= 3 ∙ (𝑥 − 3)^2𝑛

∞

𝑛=0

c) 𝑓 𝑥 = 3

−𝑥² − 2= 3 ∙ (𝑥²+ 3)^𝑛

∞

Aufgabe V. (siehe Übungsaufgabe 6 vom 14.Mai 2008) 𝑛=0

Berechnen Sie die Fourierreihe von

a) 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) ∙ cos²(𝑥

2) b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 +𝜋

2 𝑓ü𝑟 −𝜋

2≤ 𝑥 ≤𝜋 3𝜋 2

2 − 𝑥 𝑓ü𝑟 𝜋

2≤ 𝑥 ≤3𝜋 2𝜋 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑠𝑐ℎ 2

c) d) 𝑓 𝑡 = 1 𝑓ü𝑟 𝑡₁= −𝑒 ∙ 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡₂ = 𝑒 ∙ 𝜋

0 𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡 2𝜋 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑠𝑐ℎ 𝑢𝑛𝑑 0 < 𝑒 < 1

a) 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) ∙ cos²(𝑥 2) =1

2sin 𝑥 +1

4sin(2𝑥)

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 +𝜋

2 𝑓ü𝑟 −𝜋

2≤ 𝑥 ≤𝜋 3𝜋 2

2 − 𝑥 𝑓ü𝑟 𝜋

2≤ 𝑥 ≤3𝜋 2

=𝜋 2+4

𝜋(sin 𝑥 −1

9sin 3𝑥 + 1

25sin 5𝑥 ± ⋯ 2𝜋 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑠𝑐ℎ

c) 𝑓 𝑡 = 𝑒 sin 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 2 ∙ 𝜋

𝑛 ∙ 𝜋 ∙ cos 𝑛 ∙ 𝜔₀∙ 𝑡 +

∞ 𝑛=0

1 − cos⁡(𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 2 ∙ 𝜋)

𝑛 ∙ 𝜋 ∙ sin 𝑛 ∙ 𝜔₀∙ 𝑡

d) 𝑓 𝑡 = 𝑒 2 ∙sin 𝑛 ∙ 𝑒 ∙ 𝜋

𝑛 ∙ 𝜋 ∙ cos 𝑛 ∙ 𝜔₀∙ 𝑡

∞ 𝑛=0