Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Wintersemester 2016/17 9. Dezember 2016

Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Wintersemester 2016/17 9. Dezember 2016

Aufgabenblatt 10

Hinweise:

• Abgabe der handschriftlichen L¨ osungen bis sp¨ atestens Donnerstag, 15. Dezember 2016, 10:30 Uhr (vor der Vorlesung) in Postfach 110 gegen¨ uber dem Fachbereichssekretariat.

• Geben Sie deutlich lesbar Ihre Matrikelnummer an (Namen sind optional).

• Heften Sie Ihre Bl¨ atter zusammen!

Aufgabe 1 (Operationen auf Mengen)

Gegeben seien die folgenden Mengen:

A := {Fortuna K¨ oln, 1860 M¨ unchen, RB Leipzig, 1899 Hoffenheim, Bonner SC}

B := {RB Leipzig, Bonner SC, FC Liverpool}

C := {CF Barcelona}

D := ∅

Bilden Sie die folgenden Mengen: A ∩ B, D ∪ B, B × C, C × B, P (B), D \ C. (3 Punkte)

Aufgabe 2 (Verkn¨ upfungseigenschaften)

Es seien A, B, D Mengen. Zeigen Sie:

(a) (A ∩ B)

= A

∪ B

(b) A ∩ (B ∪ D) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) (c) A × (B ∪ D) = (A × B) ∪ (A × D) (d) A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B

Es seien A

, . . . , A

Mengen. Zeigen Sie:

(e)

n

\

i=1

A

!

=

n

[

i=1

A

Hinweis: vollst¨ andige Induktion (je 2 Punkte)

Aufgabe 3 (Beweis f¨ ur Mengengleichheit)

(a) Zeigen Sie:

{7m − 8|m ∈ Z } = {7m + 13|m ∈ Z }

(3 Punkte) (b) F¨ ur i ∈ N sei A

= {x ∈ R |1 −

≤ x ≤ 2 +

}. Zeigen Sie:

∞

\

i=1

A

= {x ∈ R |1 ≤ x ≤ 2}

Hinweis: Dies ist der Beweis zu Beispiel 5.8. (4 Punkte)

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