Der Satz von Stokes und das ¨ außeres Differential in ihrer geschichtlichen Entwicklung

Der Satz von Stokes und das ¨ außeres Differential in ihrer geschichtlichen Entwicklung

1813 C.F.Gauss R

∂Ω

hν, e_iidS= 0, ν Einheitsnormale auf∂Ω

1826 M.Ostrogradsky R

∂Ω

hν, XidS=R

Ω

div(X)dR³ (Divergenzformel)

1828 D.Poisson, F.Sarrus Ω⊂R³, X ∈X(R³)

1828 G. Green R

Ω

f∆g dR³+ R

∂Ω

f^dg_dνdS=R

Ω

g∆f dR³+ R

∂Ω

g_dν^df dS

Ω⊂R³, f, g∈C^∞(R³), _dν^df =hgradf, νi

1846 A.Cauchy H

∂Ω

X·ds=R

Ω

³∂X2

∂x1 −^∂X_∂x¹

2

´ dR²

1851 B.Riemann Ω⊂R², X ∈X(R²)

1850 W. Thomson

(Lord Kelvin)

H

∂F

X·ds=R

FhrotX, νidS (Rotationsformel)

1854 S.Stokes F ⊂R³ eine Fl¨ache, X∈X(R³)

1861 H.Hankel

1870 P.Tait Formuliert Integrals¨atze mithilfe von Hamiltons Quaternionen

1873 C.Maxwell Definiert die Begriffe Divergenz und Rotation als Grundlage der modernen Vektoranalysis 1889

1899

V.Volterra H.Poincare

Verallgemeinerung der Integrals¨atze auf beliebi- ge Dimension. Der Ausdruck des Volumenele- ments alsDeterminante gestattet eine einheitli- che Formulierung.

1899 E.Cartan F¨uhrt den Begriff der Differentialformen und des¨außeren Differentials ein

1922 E.Cartan Formulierung eines Integralsatzes mit d

1945 E.Cartan R

∂M

ω= R

M

dω, ω∈Ωⁿ⁻¹(M), dimM =n

1959 R.Palais

d: Ω^p(M)→Ω^p+1(M) ist der einzigenat¨urliche Operator bis auf skalare Vielfache. Ferner gibt es keinen nat¨urlichen Operator Ω^p(M) → Ω^p+2(M), d.h. notwendigerweised² = 0.

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Literatur

[K79] Viktor J. Katz The History of Stokes’ Theorem Mathematics Magazine, Vol. 52, No.

3. (1979), pp. 146-156

[P59] Richard S. Palais Natural operations on differential forms Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 92 (1959), pp. 125–141

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