Bewegung eines Körpers im Zentralkraftfeld (z.B. Gravitationsfeld, Coulomb-Feld).

Wiederholung

Bewegung eines Körpers im Zentralkraftfeld (z.B. Gravitationsfeld, Coulomb-Feld).

1) Statt Bewegung von 2 Körpern um den gemeinsamen (kräftefreien) Schwerpunkt wird die Bewegung eines Körpers mit reduzierter Masse m um einen anderen ortsfesten Körper betrachtet.

Oft ist die Position des Schwerpunkts fast gleich der Position der größeren Masse

(z.B. Erdmasse ist nur 3∙10

^-6

der Sonnenmasse, Jupitermasse ist 10

^-3

der Sonnenmasse, die Masse von Raumsonden gänzlich vernachlässigbar).

2) Energie- und Drehimpulserhaltung in Polarkoordinaten

3) Effektives Potenzial: Eindimensionale Bewegungsgleichung. Lösung:

Separation der Variablen. Allgemein: "Separable" DGL 1. Ordnung

Statt r(t) ist oft eher die Bahngleichung r( j ) von Interesse. Lösung:

r r

F    



 m ) (

const.

) 2 (

1 2

2

1

₂

2 2

2

-    

 



 r V r

r r r L

E   m 

_eff

m m

0 )

(

0 0

ˆ ˆ )

( ˆ ) 2

2 (

t t t r d

V E

r r d

V dt E

dr

^t

t t

r

r eff

eff

   -

 - -



 _m ^m  

) ˆ (

ˆ ) ˆ (

ˆ ) ( ) 1

( ) (

0 0

x f y x

d x a y y d y b

b x dx a

dy

^x

x y

y













  

2

Das Kepler-Problem

Bewegung eines Körpers in Gravitationspotenzial:

Substitution:

) ( )

( )

(

2 2 1 2

1

r r F

m G m r

dr V d

r r

m G m r

V

 -

 -

-

 -

 

 _{- - }







-

₀ ^{( )} _{2 2 2}

0

ˆ / ˆ /( 2 ˆ )

ˆ 2

j

m m 

j

j

^r

r

r E r L r

r d L

 







-





 - -



 -



-



 -



 -





) ( / 1

/ 1

2 2 2

) ( / 1

/ 1

2 2

) ( / 1

/ 1

2 2 0 2

0 0

0

/ 2

/ 2 )

2 2 /(

) 2 ˆ /(

ˆ / ˆ 2

ˆ 1

j j

j

 m m

m m 

m m 

j j

r

r r

r

r

r

s L s L

E

ds s

L s E

ds L

s L s E

r d ds r

ds L

r d ds s r





  _ ^





 





 



  -  -



 - -

 



 



  

 



 



 -  -



 - -

2 2

2 4

2 2 2

2 2

2

2

2 2 1

2

a b a s

a b L s

E L

s L s

L s L

E m  m  m  m

m

Substitution:

ds a du a

b

u  s -  1 _      -   

 -

-

^{( )} ₀

0 2

0

arccos arccos

1 j

j

j

^u

u

u u u

 du

     

 

 arccos{ }  cos( ) z.B. 0

cos )

(

arccos arccos

1 1

0 0

0 0

 -

 -



-



j j

j j

j j

j j



 u u

u

u

) ( ) 1

( j  j

u r p



 

Endergebnis: Kegelschnitte

 = 0: Kreis r( j ) konstant 0 <  < 1: Ellipse

 = 1: Parabel

 > 1: Hyperbel

 < 0? andere in der Literatur verwendete Konvention, entspricht j

₁

= p, Kegelschnitte gespiegelt

) cos(

) 1

( j  j



  p r

 _{m }  ^{m } _m 1 2 ^{m } /  ^{m }  ^{/  1}

1 ) /(

/ 2

/

/ /

1

2 2

2

2 2 2

2

 -





-



 









 -

 - p r

EL r L

L E L

L r

a b u s

Substitution zurück:

p : Halbparameter

 : Exzentrizität

Ellipse: Summe von r und r' (Entfernungen des Punkts P von den Brennpunkten B und B') ist immer 2a, wobei a die große Halbachse ist.

Die Entfernung zwischen B und B' ist 2e < 2a.

Aus a und e ergibt sich die kleine Halbachse b gemäß

4

  a

a e a e b

p x

x p

r r

p x r

p x r r

r x

r x

a e a

p b r p

2 2

2 2 2

1

: ) cos(

mit

) cos(

) 1 (

2 2 2

 



 



 







 





 



 



 -



 -

 



 

  -





 

 -









 j

j  j 

2 2

2

b a

e  

b

a e

x' x

r r'

j a Beschreibt die Gleichung wirklich eine Ellipse?

Z.B. mit der "Minus"-Konvention (s. Gerthsen, Physik):

B B'

P

1. Keplersches Gesetz:

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen mit der Sonne (eigentlich: Schwerpunkt von Sonne und Planet) in einem der Brennpunkte.

r

 x j  cos

B B'

e p

a b

j

P r

r'

Hyperbel: Differenz von r und r' (Entfernungen des Punkts P von den Brennpunkten B und B') ist immer 2a. Die Steigung der asymptotischen Geraden ist ± b /a . Die Entfernung vom Kreuzungspunkt der Asymptoten ist e. Hier gilt

Der Halbparameter p ist bei der Ellipse und bei der Hyperbel die senkrechte Entfernung vom Brennpunkt zur Kurve.

2 2

2

b e

a  

 ⁴  ^{4 const.}

4 /

4 4

2 2

2 2

2 1

2 3

2

3 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2

 

 





 









 

 







m G m

m G a

T

a a

b

b a L

T A

L T

A L

dt dA

p p

 m p

 m p m m

m m

 m

 m

 m p











 









a p b

L p L

b a A

2 2

2

Was ist mit dem 3. Keplersches Gesetz? Flächensatz:

Fläche der Ellipse Definition

3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen.

Vis-viva-Gleichung: wichtig z.B. für die Bahnmechanik von Raumsonden.

vis viva (lat.) = "lebendige Kraft", Bezeichnung von Gottfried Leibnitz für die Konstante m∙v

²

 

    ^{a a}

E

E L EL

2 1 1

2 1

2 1 1 1 2

2 2 2

2 2 2

2 2



 m





 m



 m



 m

-

 

 -

 - 



  -



 







²



2 2 2 2 2 2 2

1 





m ^{  -}

 -

 -

 

 a

a a a a

e a a b p L

mit

2

2

2 1

1    

  -







 -



 -





 m  

6

Effektives Potenzial beim Keplerproblem und "Potenzialmulde"

Das effektive Potenzial ergibt sich aus einer attraktiven Kraft (Gravitation) und einer repulsiven Scheinkraft (Zentrifugalkraft). Zusammen bilden sie ein Minimum bei einem bestimmten Abstand.

Das anschauliche Bild eines Körpers in einer "Potenzialmulde" findet sich in verschiedenen

Bereichen der Physik wieder (Atom- und Kernphysik, Festkörperphysik, Beschleunigerphysik, etc.).

Das Potenzial eines harmonischen Oszillators ist parabolisch. Andere Potenzialmulden kann man für kleine Auslenkungen mit einer Parabel nähern. Im Fall der Gravitation:

const.

) 2 (

1 2

2

1

₂

2 2

2

-    

 



 r V r

r r r L

E   m 

_eff

m m