WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse
I. Kreiszahl 1. Kreis:
Fläche des Kreissektors: =
°∙ ∙
Länge des Kreisbogens: =
°∙ 2 ∙
Im Einheitskreis gilt: =
° ⟺ =
°∙
2. Kugel:
Oberflächeninhalt: = 4 Volumen: =
II. Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Sinusfunktion Kosinusfunktion
Eigenschaften
= ℝ
= [−1; 1]
Nullstellen:
= 0 ⟺ = ∙ , ∈ ℤ
= 0 ⟺ = 2 + 1
2 ∙ , ∈ ℤ Sinus- und Kosinuskurve sind periodisch mit Periode 2 :
= sin( + 2 ) , ∈ ℤ = cos( + 2 ) , ∈ ℤ
Punktsymmetrisch zum Ursprung:
sin(− ) = −sin ( )
Achsensymmetrisch zur y-Achse:
cos(− ) = cos( )
Die allgemeine Sinusfunktion
( ) = ∙ sin( + ) + = ∙ sin + + , ∈ ℝ, ≠ 0, > 0
| |: Amplitude; für < 0 kommt eine Spiegelung an der x-Achse hinzu : Periode
> 0 ( < 0): Verschiebung der Sinuskurve in x-Richtung nach links (rechts) um
> 0 ( < 0): Verschiebung der Sinuskurve in y-Richtung nach oben (unten) um
III. Exponentielles Wachstum und Logarithmen
Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum Ein Wachstum mit konstantem Zuwachs in
gleichen Schritten nennt man lineares Wachstum.
Ein Wachstum mit konstantem Wachstumsfaktor in gleichen Schritten nennt man exponentielles Wachstum.
Funktionsgleichung
( ) = + ( ) = ∙
> 0: lineare Zunahme
Beispiel: ( ) = 2 + 1,5
< 0: lineare Abnahme
Beispiel: ( ) = −3 + 2,5
= Anfangswert ( (0) = ) = Wachstumsfaktor ( > 0)
Beispiel: ( ) = 0,5 ∙ 2
Logarithmus von b zur Basis a: = ⟺ = log
Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen (für > 0, > 0, > 0, ≠ 1):
1) log ( ∙ ) = log + log 2) log ( : ) = log − log 3) log = ∙ log
Umrechnungsformel: log =
IV. Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Mengendiagramme
Schnittmenge: ∩ Vereinigungsmenge: ∪
Vierfeldertafel
Für zwei Ereignisse und :
| ∩ | | ∩ | | |
| ∩ | | ∩ | | |
| | | | |Ω|
Baumdiagramme
Für zwei Ereignisse und – analog zu obiger Vierfeldertafel
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sind A und B Ereignisse eines Zufallsexperiments mit ( ) ≠ 0, so versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit ( ) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B unter der Bedingungen des Eintretens von A.
Es gilt: ( ) = ( ∩ )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
V. Ausbau der Funktionenlehre 1. Graphen ganzrationaler Funktionen
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
gerade ungerade
> 0
Bsp.: ( ) = 0,3 Bsp.: ( ) = 0,5
Charakteristischer Verlauf
„von links oben, nach rechts oben“
„von links unten, nach rechts oben“
< 0
Bsp.: ( ) = −0,5 Bsp.: ( ) = −0,3
Charakteristischer Verlauf
„von links unten, nach rechts unten“
„von links oben, nach rechts unten“
Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen
Funktionen der Form : ( ) = + + ⋯ + + + mit = ℝ,
∈ ℕ, , , … , , , ∈ ℝ und ≠ 0 nennt man ganzrationale Funktionen n-ten Grades.
Charakteristischer Verlauf
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion wird für betragsmäßig große x-Werte durch den Summanden mit dem höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt. (vgl. Tabelle unter „Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten“)
Charakteristische Punkte
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0) = → (0| ) Nullstellen: Lösen der Gleichung: ( ) = 0
Eine ganzrationale Funktion vom Grad hat höchstens Nullstellen. Eine Funktion besitzt eine k-fache Nullstelle bei = , wenn der Linearfaktor − in vollständig faktorisierter Form des Funktionsterms k-mal vorkommt.
Nullstelle ungerader Ordnung:
Vorzeichenwechsel Beispiel: ( ) =
Nullstelle = 0 mit Ordnung 3
Nullstelle gerader Ordnung:
kein Vorzeichenwechsel Beispiel: ( ) = ( − 1) Nullstelle = 1 mit Ordnung 2
2. Vertiefen der Funktionenlehre
Überblick über Funktionstypen
Lineare Funktionen (vgl. Grundwissen 8. Klasse)
Quadratische Funktionen (vgl. Grundwissen 9. Klasse)
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
Ganzrationale Funktionen
Einfach gebrochen-rationale Funktionen (vgl. Grundwissen 8. Klasse)
Trigonometrische Funktionen
Exponentialfunktionen
Eigenschaften ausgewählter Graphen
Definitionsmenge
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Symmetrieverhalten
o Achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn (− ) = ( ) gilt o Punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn (− ) = − ( ) gilt
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs:
Grenzwerte
Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für beliebig groß werdende x-Werte einer Zahl a beliebig nahe, so nennt man a den Grenzwert der Funktion f für x gegen plus
unendlich.
Schreibweise: lim → ( ) =
Steigungsverhalten und Extrempunkte
Wertemenge
Parameter verändern Funktionsgraphen Verschiebungen:
( ) = ( + ) +
Der Graph entsteht aus dem Graphen von durch Verschiebung um – in x- Richtung und um in y-Richtung Strecken von Funktionsgraphen
( ) = ( ) Streckung für | | > 1 (Stauchung für 0 < | | < 1) in y-Richtung
( ) = ( ) Streckung für 0 < | | < 1 (Stauchung für
| | > 1) in x-Richtung
Spezialfälle: Spiegelungen
( ) = ( ) Zusätzlich Spiegelung an der x-Achse für
< 0
( ) = ( ) Zusätzlich Spiegelung an der y-Achse für
< 0
